江西省抚州市临川二中、临川二中实验学校2024届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

江西省抚州市临川二中、临川二中实验学校2024届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A．B．C．D．2．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①3．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（）A． B． C． D．4．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（）A． B． C． D．5．设且，则“”是“”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件6．已知，，，则（）A． B． C． D．7．设平面向量，则与垂直的向量可以是（）A． B． C． D．8．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．289．对于实数，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则10．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数11．已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是（）A． B． C． D．12．某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2018)=________.14．给出定义：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．15．某市有1200名中学生参加了去年春季的数学学业水平考试，从中随机抽取了100人的考试成绩统计得到如图所示的频率分布直方图，据此可以估计这1200名学生中考试成绩超过80分的人数为___________人。16．若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，平面，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况，从中随机抽取了16名男同学和14名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱.（1）根据以上数据完成以下列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）将以上统计结果中的频率视作概率，从我市中学生中随机抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值.参考数据：19．（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）求;（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．20．（12分）已知函数．（1）求函数的最小值；（2）当时，记函数的所有单调递增区间的长度为，所有单调递减区间的长度为，证明：．（注：区间长度指该区间在轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关．）21．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．22．（10分）函数，，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.考点：定积分的应用，几何概型.2、A【解题分析】

根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【题目详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；

②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，

在上的值为负数，故第三个图象满足；

③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；

④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，

故选A．【题目点拨】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．3、B【解题分析】根据等差数列的性质得：，变为：，解得（舍去），所以，因为数列是等比数列，所以，故选B.4、A【解题分析】

首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.【题目详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：目标函数转化为，由图易得，直线在时，轴截距最大.所以.因为，即，当且仅当，即，时，取“”.故选：A【题目点拨】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.5、C【解题分析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.6、D【解题分析】

根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系.【题目详解】；；且本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.7、D【解题分析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．详解：由题意，得，因为，，，，故选D．点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．8、C【解题分析】试题分析：根据题意：，故选C.考点：排列组合.9、D【解题分析】试题分析：对于A．若，若则故A错；对于B．若，取则是假命题；C．若，取，则是错误的，D．若，则取，又，所以，又因为同号，则考点：不等式的性质的应用10、C【解题分析】分析：直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.11、B【解题分析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.详解：因为当时，，所以当时，，所以的单调减区间是，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.12、B【解题分析】

由于射击一次命中目标的概率为，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【题目详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有种情况，所以所求概率为.选B.【题目点拨】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1【解题分析】

由已知分析出函数f（x）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案．【题目详解】∵函数f（x）满足：f（1）=2，f（x+1）=，∴f（2）=﹣1，f（1）=﹣，f（4）=，f（5）=2，……即函数f（x）的值以4为周期，呈周期性变化，∵2018=504×4+2，故f（2018）=f（2）=﹣1，故答案为：﹣1．【题目点拨】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题．14、-4037【解题分析】

由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.【题目详解】函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称,故，两式相加得，则.同理,,,令,则,,故函数关于点对称,,两式相加得,则.所以当时,解得:,所以则.故答案为:-4037.【题目点拨】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.15、420【解题分析】

在频率分布直方图中，求出成绩超过80分的小组的面积之和，求出频率，最后估计这1200名学生中考试成绩超过80分的人数.【题目详解】成绩超过80分的小组分别是，面积之和为，因此这1200名学生中考试成绩超过80分的人数估计为.【题目点拨】本题考查了频率直方图的性质及应用，考查了数学运算能力.16、5【解题分析】

令和，作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.【题目详解】令得：令得：奇数项的系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项式系数的性质应用问题，关键是采用赋值的方式快速得到系数和.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值．【题目详解】（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，则，，，因为，所以．因为平面，且，所以平面．（2）设平面的法向量为，则因为，所以．令，则．所以是平面的一个法向量．因为平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，与的夹角的余弦值为．根据图形可知，二面角的余弦值为．【题目点拨】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系．18、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】分析：（1）本题是一个简单的数字的运算，根据a，b，c，d的已知和未知的结果，做出空格处的结果；（2）假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关；（3）喜爱运动的人数为ξ，ξ的取值分别为0，1，2，3，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．详解：（1）（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得，因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.（3）统计结果中喜爱运动的中学生所占的频率为.喜爱运动的人数为的取值分别为：0,1,2,3，则有：喜爱运动的人数为的分布列为：因为，所以喜爱运动的人数的值为.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.19、（1），，；（2），证明见解析【解题分析】

（1）先求得的值，利用求得的表达式，由此求得的值.（2）根据（1）猜想，用数学归纳法证明数列的体积公式为.【题目详解】（1）且于是从而可以得到，猜想通项公式（2）下面用数学归纳法证明.①当时，满足通项公式；②假设当时，命题成立，即由（1）知即证当时命题成立；由①②可证成立.【题目点拨】本小题主要考查已知求，考查数学归纳法证明与数列的通项公式.20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）首先求函数的导数，然后判断函数的单调性，最后求最值；（2）根据（1）首先求函数的零点，从而去掉的绝对值，分段求函数的单调区间，最后再比较单调区间的长度.【题目详解】解（1）因为，所以在单调递减，单调递增，所以.（2）由（1）可知，在单调递减，单调递增又，，所以存在，使得，则当时，，当时，所以，记，当时，，所以在单调递增，在单调递减.当或时，当时即在单调递增.因为，所以则当时，令，有所以当时，，在单调递减综上，在与单调递减，在与单调递增.所以，又所以，即【题目点拨】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，属于中档题型，本题的一个难点是函数的零点，其中一个是，另一个不确定，只能估算其范围，设为，所以再求当或时，函数的单调区间时，也需估算比较的范围，确定时函数的减区间，这种估算零点存在性问题，是导数常考题型.21、（1）－（2）【解题分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5s