重庆市第十一中学2024届数学高二第二学期期末联考试题含解析

重庆市第十一中学2024届数学高二第二学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A． B． C． D．2．集合，，则（）A． B． C． D．3．若，则的展开式中常数项为A．8 B．16 C．24 D．604．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是()A． B． C． D．5．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集（）A． B．C． D．6．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．在空间给出下列四个命题：①如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥；②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥．其中正确的个数是A． B． C． D．8．若，则（）A． B．C． D．9．我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A．2 B．4 C． D．10．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有()A．12种 B．7种 C．24种 D．49种11．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为()A．14 B．13 C．112．为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量的观测值，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过()附表：A．0.001 B．0.005 C．0.010 D．0.025二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量，若，则__________.14．一根木棍长为4，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3的概率为______．15．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）16．的化简结果为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式的解集为，求实数的值.18．（12分）已知曲线在平面直角坐标系中的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线.（1）将的方程化为普通方程，并求出的平面直角坐标方程；（2）求曲线和两交点之间的距离.19．（12分）已知函数.（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的最大值；（2）若存在正实数对，使得当时，能成立，求实数的取值范围.20．（12分）为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生.（1）完成下列列联表：喜欢看书不喜欢看书合计女生1550男生25合计100（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）21．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人数510151055使用手机支付人数31012721（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用不适用合计（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；参考数据如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828参考格式：，其中22．（10分）设函数的定义域为集合，集合，（1）若，求；（2）若，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由算筹含义直接求解．【题目详解】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为．故选C．【题目点拨】本题考查中华传统文化中的数学问题，考查简单的合理推理、考查函数与方程思想，是中等题.2、B【解题分析】由，得，故选B.3、C【解题分析】因为所以的通项公式为令，即∴二项式展开式中常数项是，故选C.4、C【解题分析】分析：分别计算当时，，当成立时，，观察计算即可得到答案详解：假设时成立，即当成立时，增加的项数是故选点睛：本题主要考查的是数学归纳法。考查了当和成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。5、D【解题分析】

构造函数，再由导函数的符号判断出函数的单调性，不等式，构造为，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，设，则，所以函数在上是减函数，因为，所以，所以，所以，解得．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中根据条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6、A【解题分析】

根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。【题目详解】不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。故选：A【题目点拨】充分、必要条件有三种判断方法：1、定义法：直接判断“若则”和“若则”的真假。2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。3、若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若,则A是B的充要条件。7、A【解题分析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．8、A【解题分析】

根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.【题目详解】①令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即，故A正确．B错误.②令，则，令，则，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，易知C，D不正确，故选A．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.9、D【解题分析】

由已知求出三棱柱外接球的半径，得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值．【题目详解】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．故选：D．【题目点拨】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．10、D【解题分析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．11、C【解题分析】

在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率．【题目详解】因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题，第2次抽到理科题的概率为P=24=【题目点拨】本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解．12、D【解题分析】

把相关指数的观测值与临界值比较，可得判断30岁以上的人患胃病与生活无规律有关的可靠性程度及犯错误的概率．【题目详解】∵相关指数的观测值，∴在犯错误的概率不超过的情况下，判断岁以上的人患胃病与生活无规律有关．故选：D．【题目点拨】本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握在独立性检验中，观测值与临界值大小比较的含义是解题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】

由向量平行关系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【题目详解】因为，所以，解得，则，故．【题目点拨】本题考查向量平行以及向量模的计算公式，属于基础题．14、【解题分析】

试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果．【题目详解】设“长为4的木棍”对应区间，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3”为事件，则满足的区间为或，根据几何概率的计算公式可得，．故答案为．【题目点拨】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15、1【解题分析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．

然后再把这3组小球全排列，方法有种．

再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，

故答案为1．点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题16、18【解题分析】

由指数幂的运算与对数运算法则，即可求出结果.【题目详解】因为.故答案为18【题目点拨】本题主要考查指数幂运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）或；（II）2.【解题分析】

（I）代入a的值，求出不等式的解集即可；（II）解不等式，根据对应关系得到关于a的方程组，解出即可．【题目详解】（I）当时，由，得或，解得：或，故不等式的解集是或.（II），，又不等式的解集为，，解得.【题目点拨】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，方程思想，是一道基础题．18、(1)，.(2)6.【解题分析】试题分析：(1)结合题意整理所给的方程可得的方程化为普通方程，并求出的平面直角坐标方程分别为：，.(2)结合点到直线的距离公式和图形的几何特征可得曲线和两交点之间的距离是6.试题解析：（1）消参后得为，由得，∴的平面直角坐标方程为.（2）∵圆心到直线的距离，∴.19、（1）4（2）【解题分析】

（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出的范围，（2）根据题意可得，因此原问题转化为存在正实数使得等式成立，构造函数，利用导数求出函数的值域，即可求出的取值范围．【题目详解】解析：（1）由题意得，函数在其定义域内单调递增，则在内恒成立，故.因为（等号成立当且仅当即）所以（经检验满足题目），所以实数的最大值为4.（2）由题意得，则，因此原问题转化为：存在正数使得等式成立.整理并分离得，记，要使得上面的方程有解，下面求的值域，，故在上是单调递减，在上单调递增，所以，又，故当，，综上所述，，即实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，属于中档题．20、(1)见解析;(2)不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.【解题分析】分析：（1）根据题意，补充完整列联表；（2根据题意，计算的值，即可得出结论；详解：（1）列联表如下：喜欢看书不喜欢看书合计女生351550男生252550合计6040100（2）根据列联表中数据，计算，对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.点睛：本题考查独