北京西城3中2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

北京西城3中2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是定义在上的可导函数，的图象如图所示，则的单调减区间是（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．下列命题为真命题的个数是（）①，是无理数；②命题“∃∈R，”的否定是“∀x∈R，＋1≤3x”；③命题“若,则”的逆否命题为真命题；④。A．1 B．2 C．3 D．44．函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．5．设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．设，则的值为（）A．2 B．0 C． D．17．已知向量，，则（）A． B． C． D．8．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．90°B．0°C．锐角D．钝角9．设方程的两个根为，则（）A． B． C． D．10．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，2011．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．12．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量满足，，则的最大值是____．14．若的展开式中的系数是，则．15．设地球O的半径为R，P和Q是地球上两地，P在北纬45°，东经20°，Q在北纬，东经110°，则P与Q两地的球面距离为__________。16．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．18．（12分）学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．21．（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．22．（10分）已知函数.（1）求；（2）证明：在区间上是增函数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.详解：因为当时，，所以当时，，所以的单调减区间是，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.2、B【解题分析】，，，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：．3、B【解题分析】

由①中，比如当时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案.【题目详解】对于①中，比如当时，就不成立，所以不正确；对于②中，命题“”的否定是“”，所以正确；③中，命题“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于④中，根据导数的计算，可得，所以错误；故选B.【题目点拨】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、A【解题分析】

根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【题目详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：．【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题．5、A【解题分析】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：的周长为，∴故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6、C【解题分析】

分别令和即可求得结果.【题目详解】令，可得：令，可得：故选【题目点拨】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.7、C【解题分析】

由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【题目详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.【题目点拨】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.8、C【解题分析】,函数f(x)的图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为锐角。9、D【解题分析】

画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。【题目详解】画出函数与的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，根据是减函数可得，所以有图像可知所以即，则，所以，而所以故选D【题目点拨】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。10、A【解题分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【题目详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.11、A【解题分析】

判断函数的奇偶性，排除B，确定时函数值的正负，排除C，再由时函数值的变化趋势排除D．从而得正确结论．【题目详解】因为是偶函数，排除B，当时，，，排除C，当时，排除D.故选：A.【题目点拨】本题考查由解析式选图象，可能通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，通过特殊的函数值、特殊点如与坐标轴的交点，函数值的正负等排除一些，再可通过函数值的变化趋势又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一个选项就是正确选项．12、C【解题分析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【题目详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【题目点拨】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

根据已知条件可设出的坐标，设，，，利用向量数量积的坐标表示，即求的最大值，根据，可得出的轨迹方程，从而求出最大值.【题目详解】设，，，，点是以为圆心，1为半径的圆，，，的最大值是2.故填：2.【题目点拨】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.14、1【解题分析】

先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.【题目详解】展开式的的通项为，令，的展开式中的系数为，故答案为1.【题目点拨】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15、【解题分析】

首先计算出纬圈半径，再根据经度差可求得长；根据长度关系可求得球心角，进而可求得球面距离.【题目详解】由题意可知：纬圈半径为：两点的经度差为即：两地的球面距离：本题正确结果：【题目点拨】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，属于基础题.16、216【解题分析】

分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【题目详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意；当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有个五位数满足题意.所以满足题意的五位数共有个.故答案为：216【题目点拨】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),；(2)．【解题分析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得，所以，进而求得面积为.试题解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）将代入得得，所以因为的半径为1，则的面积为考点：坐标系与参数方程.18、(1)可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.(2)①见解析②，【解题分析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评12060180对教师教学水平不满意10515120合计22575300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：01234②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．19、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到的取值范围.详解：（1）∵，∴，∴，∴的解集为；（2）∵，∴当时，恒成立，∴，∴对一切均有成立，又，当且仅当时，等号成立.∴实数的取值范围为.点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由题可得：,，可得：，即可证得，再利用证得，即可证得平面，问题得证．（2）利用及锥体体积公式直接计算得解．【题目详解】（1）由题可得：,所以所以又所以，又所以平面，又平面所以（2）【题目点拨】本题主要考查了线线垂直的证明，考查了转化能力及线面垂直的定义，还考查了锥体体积公式及计算能力，属于中档题．21、（1）；（2）【解题分析】

分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即，由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，∴|ME|+|MP|=|ME