小学四年级下册 数学《奥数》知识点讲解第13课 三角形的等积变形 试题附答案

小学四年级下册数学奥数知识点讲解第13课《三角形的等积变形》试题附答案

第十三讲三角形的等积变形

我们已经掌握了三角形面积的计算公式：

三角形面积=底乂高+2

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如

果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角

形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）.这说明；当三角形

的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底

和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来

的3倍，底变为原来的,则三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三

角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的

变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个

不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.

为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等.

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底

平行的直线上，这两个三角形面积相等.

③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一

个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.

例如在右图中，若AABD与ZXAEC的底边相等（BD=DE=EC=1BC）

,它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积

相等.

同时也可以知道AABC的面积是AABD或AAEC面积的3倍.

例如在右图中，△ABC与ADBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两

个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三

角形的面积相等.

例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC）,ZXABC的高是△

DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD,有AH=2DE）,则AABC的面积是ADBC面积的

2倍.

例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.

例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比

为及1：3：4.

例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△女08与4

8D面积相等.

例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.

例5如右图，已知在ZXABC中，BE=3AE,CD=2AD.若AADE的面积为1平方厘

米.求三角形ABC的面积.

例6如下更图，在△ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=

jBC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？

答案

例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.

方法1：如右图，将BC边四等分(BD=DE=EF=FC=2BC),连结

4

AD、AE、AF.则AABD、AADE,Z\AEF、△AT,积.

方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD,得到两个等积三角形，

即AABD与AADC等积.然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF.以而得到四个

等积三角形，即AADF、ABDF.ADCE,ZkADE等税.

方法3：如右图，先将BC四等分，即BD=：BC,连结AD,再将AD三

等分，即AE=EF=FD=gAD,连结CE、CF,从而得到四个等积的三角形

,即△ABD、ACDF,ACERZ\ACE等积.

例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比

为及1：3：4.

方法1：如下左图，将BC边八等分，取1：3：4的分点D、E,连结AD、AE,

从而得到Z\ABD、AADE,△AEC的面积比为1：3：4.

方法2：如上右图，先取BC中点D,再取AB的"分点E,连结AD、

DE,从而得到三个三角形：/XADE、ABDE.AACD.其面积比为1：3：4.

方法3：如右图，先取AB中点D,连结CD,再取CD上:分点E,连结

AE,从而得到三个三角形；△ACE、AADE.ABCD,其面积比为1:3:

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.

例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：

C0D面积相等.

证明：:△ABC与ADBC等底等高，

/.SAABC=SADBC

又「SAAOB=SAABC—SABOC

SADOC=SADBC—SABOC

/.SAAOB=SACOD.

例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.

分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形

与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，

D

XBC

把顶点A移到CB的延长线上的A，处，AA，BD与AABD面积相等，从而AA，

DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形

△A，DC.问题是A，位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平

行的直线与CB的延长线交于A，点.

解：①连结BD；

②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A，.

③连结A，D,则4A，CD与四边形ABCD等积.

例5如右图，已知在AABC中，BE=3AE,CD=2AD.若AADE的面积为1平方厘

米.求三角形ABC的面积.

解法1：连结BD,在AABD中

BE=3AE,

SAABD=4SAADE=4（平方厘米）.

在AABC中，•「CD=2AD,

SZ\ABC=3SZ\ABD=3X4=12（平方厘米）.

解怯2：连结CE,如右图所示，在AACE中,

CD=2AD,

二.SAACE=3SAADE=3（平方厘米）.

在△ABC中，：BE=3AE

SAABC=4SAACE

=4X3=12（平方厘米）.

例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=

|BC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？

解：连结BG,在^ADG中，

BD=2AD，...SAQG=!SAABG，在AABC中，

•AG=2CG,••S&MG=1$&师，

.」2__2

-S&ADG=百X△秒C=§S&ABC，

_21

同理S&BDE=冲c；S&CFG=§SAABC•

SAADG+SABDE+SACFG

(221、c_5

=SA_ABC=§SAABC

...阴影部分面积=(15*SAMC\4S3；.

习题十三

一、选择题（有且只有一个正确答案）：

1.如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与

△ABE等积的三角形一共有个.

（A）。个（B）1个

（C）2个（D）3个

2.如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么

与aBEC等积的三角形一共有个.

（A）。个（B）1个

（C）2个（D）3个

3.如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共

有对.

（A）。对（B）1对

（C）2对（D）3对

4.如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱

形，那么草地与空地面积之比是.

（A）1：1（B）1：1.1

（C）1：1.2（D）1：1.4

5.如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，

以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有个.

ABCDE

KJIHG

（A）24个（B）25个

（C）26个（D）27个

二、填空题:

1.如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方

形面积的.

BC

2.如右图，E是长方形ABCD的BC上一点，使S^ABE=梯席他CD，

=9厘米，求BE是多少厘米.

2.如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积

是.

3.如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，SABEG：SACEG=2：1,S

△CFG:SADFG=1：1,那么这四个小三角形面积之和.

4.如上右图，在AABC中，EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面

积的连比是.

三、解答题：

1.如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知SZ\ABC=27平方

厘米，求SZXDEF.

3.如下左图，在平行四边形ABCD中,E、F分别是AC、BC的三等分点，且

SABCD=54平方厘米，求SZXBEF.

4.如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至A\B\C\D'.连接

这些点得到一个新的四边形A'B'C'D\如果四边形ABCD的面积是1,求四边

形A'B'CD'的面积.

5.如右图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如

果四边形ABCD的面积是1,求ZXEFG的面积？

D

C

四年级奥数下册：第十三讲三角形的等积变形习题解答

习题十三解答

一、选择题：

1.（D）2.（D）3.（D）4.（A）5.（C）.

提示：以KH为边，再在对边的五个点A、B、C、D、E中任取一点为顶点，可

分别构成5个面积为3平方厘米的三角形.同理，以JG、AD、BE为边也各自可以

构成5个面积为3平方厘米的三角形.又因为△AFI、ABFJ,Z\CFK、AELL△

DLH^ZXCLG也是面积为3平方厘米的三角形.所以面积为3平方厘米的三角形一

共有26个.

二、填空题：

3-、3-

1.2.10平方厘米；3.一平方厘米.

o1U

提示：如右图连结BD,

设I=SZ\BEG,II=SACEG,III=SACFG,IV=SADFG,

SABDE=2SACDE,两边分别减去I和2H,

可得：SABDG=2SACDG,即S,=2S:,因此：

sa=1SABCD=7X7=所以Si=2S」=卷，

DJ乙1U1M

故所求四个三角形面积为木+/=磊.

4.甲：乙：丙二1：2：6,

提示：,/EF//BC,AB=2AE

二AC=3AF,BC=3EF,甲:乙=1：2,

又：（甲+乙）：丙=1：2

/.甲：乙：丙二1：2：6.

三、解答题:

L解：$4必》=!$4卵,=:'27=9平方厘米，

29

SA.D=^S/杷c=,X27=18厘米，

SgBE=聂9=%8=6平方厘米，

•••$谢5=/加甘=3乂12=4平方厘米，

22

S&DEF=萨ABDE=3*12=8平方厘米・

7