数学提高题复习平行四边形练习题含答案

数学提高题专题复习平行四边形练习题含答案

一、选择题

1.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD.结论：①EG_LFH；

②四边形EFGH是矩形；③HF平分NEHG；®EG=-BC；⑤四边形EFGH的周长等于

2

2AB.其中正确的个数是（）

2.在菱形ABCD中，NADC=60°,点E为AB边的中点，点P与点A关于OE对称,

连接£>P、BP、CP,下列结论：①DP=CD；@AP2+BP2=CD2；

③“CP=75。；@ZCPA=\50°,其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

3.如图，△ABC中，ZBAC=60°,NB=45。，AB=2,点D是BC上的一个动点，点D关于

AB,AC的对称点分别是点E,F,四边形A£GF是平行四边形，则四边形AEGF面积的最小

值是（）

A.1B.—C.72D.73

2

4.如图，正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，连接AE交BD于F,过F作

FH_LAE于F,过H作HG_LBD于G.则下列结论：①AF=FH；②NHAE=45°；③BD=

2FG；④ACEH的周长为8.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在菱形A8CD中，AB=5cm,ZADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发，分别

沿AB.CB方向向点8匀速移动（到点8为止），点E的速度为lcm/s,点F的速度为

2cm/s,经过t秒4DEF为等边三角形，则t的值为（）

6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B.C.E三点在同一直线上，点。在CG

上.BC=1,CE=3,连接是AR的中点，连接CH,那么C”的长是（）

D.4a

7.如图，正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方形ABC。四边的中点得到第一个正方

形A⑸GR，又顺次连接正方形44GA四边中点得到第二个正方形

，以此类推，则第六个正方形。的面积是（）

A2B2C2D2,……466c66

D\C^/C<

D

8.如图，在平行四边形ABCD中，NC=120°,4）=4,AB=2,点E是折线

BC-CD-ZM上的一个动点（不与A、8重合）.则八48七的面积的最大值是（）

D

B，-------------------EC

A.B.1C.3亚D.2G

9.如图，分别以HfAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形

ABDE，连结CE、BG、GE.给出下列结论：

①CE=BG；

②EC工BG

③尸G?+B尸=2Bb+B°2

④8。2+6炉=2AC2+2A4其中正确的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④

10.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC,CF_LBE交AB

于点F,P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分/CBF；②CF平分/DCB；③BC=

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.如图，正方形A8C£＞的边长为4,点E为CO边上的一个动点，以CE为边向外作正

方形ECFG,连结8G,点〃为BG中点，连结E“，则E”的最小值为

12.如图，某景区湖中有一段“九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

或BD平行，若AB=100m,/A=/B=60。，则此“九曲桥"的总长度为.

D

Z6Q。60%

A100加5

13.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形4BCD中,

他=3,AC=2,则3。的长为.

14.如图，正方形ABCD中，ND4c的平分线交DC于点E,若P,Q分别是AD和AE上

的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为.

15.在ABCO中，AD=5,/班。的平分线交CD于点E,/ABC的平分线交CD于点

F,若线段EF=2,则AB的长为.

16.如图，在矩形ABCD中，A5=16,8C=18,点E在边AB上，点F是边BC上不

与点B、C重合的一个动点，把△£»尸沿EF折叠，点B落在点8,处.若AE=3,当

CDB'是以DB'为腰的等腰三角形时，线段DB'的长为.

17.如图，在矩形纸片A8CD中，A8=6,BC=10,点E在CD上，将△8CE沿8E折叠，点

C恰落在边上的点F处，点G在AF上，将AASG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的

3

点H处,有下列结论：①NEBG=45°；②SAABG=5SAFGH;©ADEF^AABG；

④AG+DF=FG.其中正确的是.（把所有正确结论的序号都选上）

B

18.如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EF〃BC,分别

交AC、AB于点G、F,M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是

19.如图，长方形ABCD中AB=2,8c=4,正方形AEFG的边长为1.正方形AEFG绕点A

旋转的过程中，线段CF的长的最小值为.

20.李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片

对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE,再折叠，

使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B,如果AD=",那么AB长是多少？"常

明说；"简单，我会.AB应该是

常明回答完，又对李刚说："你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，

折痕不经过点B,而是经过了AB边上的M点，如果AD=a,测得EC=3BM,那么AB长是

多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=.

三、解答题

21.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=AD，对角线AC,BD交于点、0，

AC平分®。，过点C作CELAB交A6的延长线于点E，连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AE=5,0E=3,求线段的长.

22.如图，在平行四边形A8CO中，44。的平分线交8。于点E，交。。的延长线于

F，以EC、CF为邻边作平行四边形EC尸G.

(1)求证：四边形ECFG是菱形；

(2)连结30、CG,若NA3C=120°,则AB0G是等边三角形吗？为什么？

(3)若NABC=90。，AB=10,AD=24，M是EF的中点，求。M的长.

23.如图，点A、F、C、。在同一直线上，点8和点E分别在直线A。的两侧，且AB=DE,

ZA=ZD,AF二DC.

(1)求证：四边形8CEF是平行四边形：

(2)若NDEF=90°,DE=8,EF=6,当AF为时，四边形8CEF是菱形.

24.如图，在矩形ABCD中，N8AD的平分线交BC于点E,AE=AD,作DF_LAE于点F.

(1)求证：AB—AF；

(2)连BF并延长交DE于G.

①EG=DG；

②若EG=1,求矩形4BCD的面积.

25.类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边

形”.

(1)已知：如图1,在“准等边四边形”A8CD中，BC^AB,BDJ.CD,AB=3,8。=4,求8c

的长；

(2)在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请

你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；

(3)如图2,在△ABC中，AB=AC=y/2<N847=90。.在AB的垂直平分线上是否存在点

P,使得以A,B,C,P为顶点的四边形为“准等边四边形”.若存在，请求出该“准等边

四边形”的面积；若不存在，请说明理由.

26.感知：如图①，在正方形ABC。中，E是A3一点，F是AD延长线上一点，且

DF=BE，求证：CE=CF；

拓展：在图①中，若G在AD，且NGC£=45°,则GE=BE+G£>成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形ABC。中，AD//BC(BOAD),NA=NB=90。，

AB=BC=\6,E是AB上一点，且N£>CE=45°,BE=,求。E的长.

图①图②

27.如图，点A的坐标为(一6,6),轴，垂足为3,AC_Ly轴，垂足为C,点

2E分别是射线3。、上的动点，且点。不与点3、。重合，ZDAE=45°.

(ffii)02)

（1）如图1,当点。在线段8。上时，求ADOE的周长；

（2）如图2,当点。在线段8。的延长线上时，设AADE的面积为耳，ADOE的面积为

S1,请猜想5与，之间的等量关系，并证明你的猜想.

28.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE,以

CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.

（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为；

（2）如图2,当点E在线段AD上时，若AE=1,求BF的长；（提示：过点F作BC的垂

线，交BC的延长线于点M,交AD的延长线于点N.）

（3）当点E在直线AD上时，若AE=4,请直接写出BF的长.

29.问题背景

若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶

针点；若再满足两个顶角的和是180。，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点.

如图1,四边形A8CO中，8C是一条对角线，A/B=AC，DB=DC，则点A与点。

关于8c互为顶针点；若再满足NA+NO=180。，则点A与点。关于BC互为勾股顶针

点.

图4

备用图”

初步思考

⑴如图2,在ABC中，AB=AC,ZABC=30°,。、E为ABC外两点，

EB=EC，ZEBC=45。,△OBC为等边三角形.

①点A与点关于8c互为顶针点；

②点。与点关于互为勾股顶针点，并说明理由.

实践操作

(2)在长方形ABC。中，AB=8,AO=10.

①如图3,点E在AB边上，点尸在AO边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F.

使得点E与点C关于互为勾股顶针点.(不写作法，保留作图痕迹)

思维探究

②如图4,点E是直线A8上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股

顶针点，直线CP与直线AO交于点尸.在点E运动过程中，线段BE与线段AE的长度

是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由.

30.如图，在平行四边形ABCD中，N84£＞的平分线交于点E,交。。的延长线于

F,以EC、C户为邻边作平行四边形ECEG。

(1)证明平行四边形ECFG是菱形；

(2)若NABC=120°，连结3G、CG、DG,①求证：DG8BGE；②求NBDG

的度数；

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.C

解析：C

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱

形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断

即可得答案.

【详解】

：E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，

1111

；.EF=—CD,FG=-AB,GH=-CD,HE=-AB,

2222

VAB=CD,

•\EF=FG=GH=HE,

二四边形EFGH是菱形，故②错误，

.\EG±FH,HF平分NEHG；故①③正确，

二四边形EFGH的周长=EF=FG=GH=HE=2AB,故⑤正确，

没有条件可证明EG=』BC,故④错误，

2

,正确的结论有：①③⑤，共3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与

AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键.

2.C

解析：C

【分析】

如图，设DE交AP于0,根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；

【详解】

解：如图，设DE交AP于O.

•••四边形ABCD是菱形

/.DA=DC=AB

・・・A.P关于DE对称，

ADE1AP,OA=OP

ADA=DP

・・・DP=CD,故①正确

VAE=EB,AO=OP

AOE//PB,

・・・PB_LPA

.\ZAPB=90°

PA1+PB2=AB2=CD2,故②正确

若NDCP=75°，则NCDP=30°

VLADC=60°

；.DP平分NADC,显然不符合题意，故③错误：

VZADC=60°,DA=DP=DC

/DAP=/DPA,NDCP=NDPC,NCPA=(360°-60°)=150°,故④正确.

故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中考常考题型.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出NEAF=2NBAC=120。，当

ADJ_BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，求出AD=0,

即可得出四边形AEGF的面积的最小值.

【详解】

由对称的性质得：AE=AD=AF,

•.•四边形AEGF是平行四边形，

四边形AEGF是菱形，

AZEAF=2ZBAC=120",

当ADJ_BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，

；/ABC=45°,AB=2,

.,.AD=V2，

四边形AEGF的面积的最小值=gx(及JxQ.

故选：D

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的

性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键.

4.D

解析：D

【分析】

①作辅助线，延长HF交AD于点L,连接CF,通过证明4ADF丝ZXCDF,可得：AF=CF,故

需证明FC=FH,可证：AF=FH；

②由FH±AE,AF=FH,可得：ZHAE=45°；

③作辅助线，连接AC交BD于点。，证BD=2FG,只需证OA=GF即可，根据

△AOF^AFGH,可证。A=GF,故可证BD=2FG；

④作辅助线，延长AD至点M,使AD=DM,过点C作a〃HL,则IL=HC,可证AL=HE,再

根据ZiMEC也△MIC,可证：CE=IM,故ACEH的周长为边AM的长.

【详解】

・・,BD为正方形ABCD的对角线，

AZADB=ZCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

AAADF^ACDF.

AFC=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

AZLHC+ZDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

AZFHC=ZFCH,

AFH=FC.

AFH=AF.

②・.・FH_LAE,FH=AF,

.•.ZHAE=45°.

③连接AC交BD于点O,可知：BD=2OA,

・.,NAFO+NGFH=NGHF+NGFH,

/.ZAFO=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

AAAGF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=2OA,

ABD=2FG.

④连接EM,延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI〃HL,贝lj：LI=HC,

VHL1AE,CI〃HL,

AAElCI,

AZDIC+ZEAD=90",

：/EAD+/AED=90°,

.••ZDIC=ZAED,

VED1AM,AD=DM,

EA=EM,

AZAED=ZMED,

AZDIC=ZDEM,

AZCIM=ZCEM,

VCM=MC,ZECM=ZCMI=45°,

.♦.△MEC丝△CIM,可得:CE=IM,

同理，可得:AL=HE,

，HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

...△CEH的周长为8,为定值.

故①②③④结论都正确.

故选D.

【点睛】

解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等.

5.D

解析：D

【分析】

由题意知道AE=t,CF=2t,连接BD,证明△DEBgADFC,得到EB=FC=2t,进而

AB=AE+EB=3t=5,进而求出t的值.

【详解】

解：连接DB,如下图所示，

:四边形ABCD为菱形，且NADC=120。，

/CDB=60°

.'△CDB为等边三角形，；.DB=DC

又「△DEF为等边三角形，.,.ZEDF=60°,DE=DF

.,.ZCDB=ZEDF

ZCDB-ZBDF=ZEDF-ZBDF

，NCDF=/BDE

在4EDB和4FDC中：

DE=DF

<^EDB=Z.FDC,.,.△EDB^AFDC(SAS)

DB=DC

：.FC=BE=2t

；.AB=AE+EB=t+2t=3t=5

5

，t=-.

3

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD后证明三角形全

等，本题是动点问题，将线段长用t的代数式表示，化动为静.

6.A

解析：A

【分析】

如下图，根据点H是AF的中点和HM〃FE,可得HP是4ANF的中位线，四边形MPNE是

矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt^HCM中求CH

即可

【详解】

如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M,延长AD交FE于点N,交HM于点P

,四边形ABCD、CEFG是正方形，AADlEF,ZE=90°

VHM1BE

/.四边形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

；.NE=1,.,.FN=2.PM=1

VHM±BE,FE_LBE,点H是AF的中点

；.HM是AANF的中位线

.".HP=-EF=1,AP=PN=2

2

.•.在RtZXCHM中，CH=75

故选：A

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.

7.A

解析：A

【分析】

计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.

【详解】

顺次连接正方形A3CD四边的中点得到第一个正方形

则正方形AUGA的面积为1x1=1

正方形A/ZGA的面积为

1

正方形AAGA的面积为8-

正方形A,B“C”D”的面积为(；)"=+

根据规律可得，第六个正方形4B6c的面积为(-)6=^=—

2264

【点睛】

本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.

8.D

解析：D

【分析】

分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD

上时，4ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，^ABE的面积最大，根据三

角形的面积公式可得结论.

【详解】

解：分三种情况：

①当点E在BC上时，E与C重合时，4ABE的面积最大，如图1,

过A作AF_LBC于F,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

AZC+ZB=180°,

VZC=120°,

AZB=60°,

Rtz^ABF中，ZBAF=30°,

.♦.BF=；AB=1,AF=5

此时^ABE的最大面积为：；X4X6=2JL

②当E在CD上时，如图2,此时，Z\ABE的面积=LS,ABCD=LX4X6=2JL

22

③当E在AD上时，E与D重合时，^ABE的面积最大，此时，4ABE的面积=26，

综上，4ABE的面积的最大值是2百；

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题.

9.C

解析：c

【分析】

利用SAS证明△AGBg^ACE,即可判断①；证明/BNM=/MAE=90。，即可判断②；假设

③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC=8C,而AC与8。不一定相等，即可判断

③；利用勾股定理证得BC2+EG2=BE2+CG2.从而证得结论④成立.

【详解】

V四边形ACFG和四边形ABOE都是正方形，

；.AC=AG,AB=AE,

VZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

SAAGB和AACE中，

AG=AC

•/JNGAB=NCAE,

AB=AE

.,.△AGB^AACE(SAS),

，GB=CE,故①正确；

G

VAAGB^AACE,

.".ZGBA=ZCEA,

又：NBMN=/EMA,

/.ZBNM=ZMAE=90°,

：.EC±BG,故②正确；

设正方形ACFG和正方形ABDE的边长分别为。和b,

VAC8为直角三角形，且AB为斜边，

•••AB2-AC2=b2-a2=BC2>

假设FG2+BF2=2BD2+BC2成立，

则有/+（“+3。）2=2〃+8。2,

整理得：2aBC=2（b2-a2y即。BC=BC?，

a=BC,即AC—BC>

与BC不一定相等，

假设不成立，故③不正确；

连接CG,BE,设BG、CE相交于N,

G

ECLBG,

•••BC2+EG2=BN2+NC2+EN2+NG2=BN2+EN2+NC2+NG2=BE2+CG2，

•.•四边形ACHG和四边形ABOE都是正方形，

二BE2=2AB2，CG2=2AC2.

BC2+EG2=2AB2+2AC2，故④正确；

综上，①②④正确，

故选：C.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定

义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键.

10.D

解析：D

【分析】

分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答

案.

【详解】

BC=EC,

.\ZCEB=ZCBE,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

，DC〃AB,

NCEB=NEBF,

•\NCBE=NEBF,

...①BE平分NCBF,正确；

：BC=EC,CF1BE,

NECF=NBCF,

...②CF平分NDCB,正确；

：DC〃AB,

.\ZDCF=ZCFB,

：NECF=NBCF,

NCFB=NBCF,

，BF=BC,

...③正确；

：FB=BC,CF±BE,

，B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC,

APF=PC,故④正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知

识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键.

二、填空题

11.V2

【分析】

过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，得到B0=2HE,其中0点在线

段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出B0的长即可求解.

【详解】

解：过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，如下图所示：

VH是BG的中点，且BO与HE平行，

AHE为△BOG的中位线,且BO=2HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

当E点位于C点时，则。点与C点重合，

当E点位于D点时，则。点与A点重合，

故E点在CD上运动时，。点在AC上运动，

由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO_LAC时，此时B0最短，

•.•四边形ABCD是正方形，

・•.△BOC为等腰直角三角形，且BC=4,、

80=半=，=2近，

V2V2

HE=-BO=yf2,

2

故答案为：yf2■

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识

点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段B0上.

12.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，AABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

：/A=/B=60°

ZE=ISO一ZA—ZB=60

••.△ABC是等边三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为：200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

13.472

【分析】

首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过A点分别作DC

和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明4ADF空△ABC来证明四边形ABCD为菱形，

从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.

【详解】

解：连接AC和BD,其交点为。，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E,

1.,ABHCD,ADIIBC,

...四边形ABCD为平行四边形,

ZADF=ZABE,

•・•两纸条宽度相同，

/.AF=AE,

ZADF=NABE

,.•<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

：.△ADFM△ABE,

AD=AB,

四边形ABCD为菱形,

•••AC与BD相互垂直平分，

•••BD二2y/AB2-AO2=472

故本题答案为：4后

【点睛】

本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定

要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.

14.472

【分析】

作P点关于线段AE的对称点P',根据轴对称将DQ+PQ转换成DP'，然后当

OPLAC的时候OP是最小的，得到。P'长，最后求出正方形边长DC.

【详解】

•；AE是ZDAC的角平分线，

•••P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为P

由轴对称可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如图，当。P_LAC的时候。P'是最小的，也就是。Q+PQ取最小值4,

•••。尸=4，

由正方形的性质产'是AC的中点，且r)p'=p'c,

在mDCP中，DCZDP'PC?7『+不=®=4曰

故答案是：40.

【点睛】

本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出力Q+PQ取最小值的状态,

并将它转换成QP去求解.

15.8或12

【分析】

根据平行四边形的性质得到BC=AD=5,ZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,根据角平分线的性质

得到DE=AD=5,CF=BC=5,即可求出答案.

【详解】

在ABCD中，AB〃CD,BC=AD=5,

AZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,

,//胡。的平分线交CD于点E,

.\ZBAE=ZDAE,

AZDAE=ZDEA,

；.DE=AD=5,

同理:CF=BC=5,

；.AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12,

故答案为：8或12.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中

注意分类思想的运用，避免漏解.

16.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情况讨论：(1)当DB，=DC=16；(2)当BD=B，C时，作辅助线，构建平

行四边形AGHD和直角三角形EGB',计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；

【详解】

••・四边形ABCD是矩形,

DC=AB=16,AD=BC=18.

分两种情况讨论：

(1)如图2,当DB'=DC=16时,即△CDB'是以DB为腰的等腰三角形

B

图2

(2)如图3,当B'D=B'C时，过点B作GHIIAD,分别交AB与CD于点G、H.

图3

四边形ABCD是矩形，

ABIICD,ZA=90"

又GHIIAD,

四边形AGHD是平行四边形，又NA=90。，

四边形AGHD是矩形，

AG=DH,ZGHD=90\即B'H_LCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-C£>=8,AG=DH=8,

3

•••AE=3,

/.BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtZkEGB'中，由勾股定理得：

GBZ=7132-52=12-

B'H=GHXGB'=18-12=6,

在RtAB'HD中，由勾股定理得：Q'D=762+82=10

综上，DB'的长为16或10.

故答案为：16或10

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论.

17.①②④.

【分析】

利用折叠性质得NCBE=NFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,则可得到

/EBG=；NABC,于是可对①进行判断；在Rt^ABF中利用勾股定理计算出AF=8,则

DF=AD-AF=2,设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到x?+42=(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可对②④进行判断；接着证明△ABFS/\DFE,利用

DFAF4AB6ABDF

相似比得到芸=嚓=；,而——=?=2,所以——丰——，所以4DEF与4ABG不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可对③进行判断.

【详解】

解：•.•△BCE沿8E折叠，点C恰落在边AD上的点尸处；点G在AF上，

将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

:./CBE=NFBE,/A8G=NFBG,8F=8C=10,BH=BA=6,AG=GH,

，NEBG=NEBF+NFBG=gNCBF+；NABF=；/ABC=45°,所以①正确;

在RtAABF中，AF=yjBF2-AB-=7102-62=8，

Z.DF=AD-AF=W-8=2,

设AG=x,贝I」GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=W-6=4,

在RtAGFH中，

'：GH2+HF2^GF2,

：.x2+42=(8-x)2,解得x=3,

：.GF=5,

.：AG+DF=FG=5,所以④正确；

「△BCE沿8E折叠，点C恰落在边AD上的点F处，

AZBf£=ZC=90°,

：.ZEFD+ZAFB=90°,

而NAFB+NABF=90°,

NABF=NEFD,

：./XABF^/XDFE,

,AB_AF

"DF-DE)

•DE_AF_8_4

"DF-AB-6-1)

=AB6

而——=一=2,

AG3

ABDE

------w-------,

AGDF

.'△DEF与AABG不相似；所以③错误.

11

「SAABG=-X6X3=9,SAGHF=—X3X4=6,

22

3_

••SAABG——SAFGH>所以②正确.

故答案是：①②④.

GD

【点睛】

本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有

的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质

时，主要利用相似比计算线段的长.也考查了折叠和矩形的性质.

18.5

【分析】

先判断四边形BCEF的形状，再连接RW、FC,利用正方形的性质得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性质得出MN=1EC即可.

2

【详解】

四边形ABCP是边长为4的正方形，EF//BC,

二四边形3CEE是矩形，

•；PE=1，

/.CE=3,

连接fM、FC,如图所示：

•.•四边形ABCP是正方形，

AZBAC=45，AEG是等腰直角三角形，

是AG的中点，即有AM=MG,

AFM1AG,是直角三角形，

又TN是FC中点，MN=-FC,

2

FC=^BF2+BC2=5

:.MN=25,

故答案为：2.5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在

于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解.

19.2^/5-V2

【分析】

连接A凡CF,AC,利用勾股定理求出AC、AF,再根据三角形的三边关系得到当点A,

F,C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2石-V2.

【详解】

解：如图，连接AF,CF,AC,

:长方形A8CD中AB=2,BC=4,正方形AEFG的边长为1,

：.AC=2y/5,AF=6，

"：AF+CF>AC,

：.CF>AC-AF,

.•・当点A,F,C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为26-0,

故答案为：26-V2.

G

【点睛】

此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.

20.伍豆U

2

【分析】

（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED为正方形，CE=GE=BF,

/AEB+/GBE=/ABE+/EBC,即ZAEB=/ABE，得出AB=AE,继而可得

解；

（2）结合（1）可知，AE=AM=41a-因为EC=3BM,所以有BM=，EW,求出

2

BM,继而可得解.

【详解】

解：（1）由折叠的性质可得，

CE=GE=BF,NAEB+/GBE=/ABE+/EBC,即/AFR=/AAF,,

/.AB=AE,

AE=也月、=\[2ci

•••AB=缶•

（2）结合（1）可知，AE=AM="z，

FM=V2tz—a>

VEC=3BM,

BM=-FM

2

/.BM=

2

.AD仄^/la—a3>/2—1

♦•AB=72aH------------=----------a-

22

故答案为：!——―-a-

2

【点睛】

本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间

的数量关系是解题的关键.

三、解答题

21.(1)见解析；(2)VTT

【分析】

(1)根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱

形；

(2)根据菱形的性质得出0A的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=gAC,在

2

RfAACE应用勾股定理即可解答.

【详解】

(1)证明：；CD,

ZOAB=ZDCA,

•；AC为NDW的平分线，

ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

CD=AD=AB,

•；AB//CD,

四边形ABC。是平行四边形，

,/AD^AB，

•••ABC。是菱形；

(2)

•..四边形ABC。是菱形

，AO=CO

CELAB

：.ZAEC=90°

AC=2OE=6

22

在MAACE中，CE=S!AC-AE=Vii

故答案为（2）Jfl.

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定

理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

22.（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）1372

【分析】

（1）平行四边形的性质可得AD〃BC,AB〃CD,再根据平行线的性质证明NCEF=NCFE,

根据等角对等边可得CE=CF,再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱

形，即可解决问题；

（2）先判断出NBEGEZO啾NDCG,再判断出AB=BE,进而得出BE=CD,即可判断出

△BEG^ADCG（SAS）,再判断出NCGE=60。，进而得出aBDG是等边三角形，即可得出结

论；

（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明ABME四△DMC可得DM=BM,

ZDMC=ZBME,再根据NBMD=/BME+NEMD=/DMC+/EMD=90。可得到△BDM是等腰直

角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】

（1）证明：

VAF平分/BAD,

；./BAF=/DAF,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AB/7CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZCFE,

.\ZCEF=ZCFE,

；.CE=CF,

又四边形ECFG是平行四边形，

.••四边形ECFG为菱形；

（2）二•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃DC,AB=DC,AD〃BC,

•.*ZABC=120\

AZBCD=6O°,ZBCF=120°

由（1）知，四边形CEGF是菱形，

1

；.CE=GE,/BCG=-/BCF=60°,

2

，CG=GE=CE,NDCG=12O°,

VEG/7DF,

AZBEG=12O°=ZDCG,

VAE是/BAD的平分线，

ZDAE=ZBAE,

；AD〃BC,

/.ZDAE=ZAEB,

.\ZBAE=ZAEB,

；.AB=BE,

；.BE=CD,

.".△BEG^ADCG(SAS),

；.BG=DG,NBGE=NDGC,

NBGD=NCGE,

VCG=GE=CE,

...△CEG是等边三角形，

.\ZCGE=60\

/BGD=60°,

VBG=DG,

/.△BDG是等边三角形；

(3)如图2中，连接BM,MC,

VZABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,

...四边形ABCD是矩形，

又由(1)可知四边形ECFG为菱形，

ZECF=90",

四边形ECFG为正方形.

VZBAF=ZDAF,

；.BE=AB=DC,

VM为EF中点，

/.ZCEM=ZECM=45",

AZBEM=ZDCM=135",

在ABME和ADMC中，

BE=CD

•：lNBEM=ADCM,

EM=CM

.♦.△BME丝△DMC(SAS),

；.MB=MD,

ZDMC=ZBME.

AZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,

.•.△BMD是等腰直角三角形.

VAB=10,AD=24,

•*-BD=y/AB2+AD2=V102+242=26，

/.DM=—=.

2

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定

与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识

点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

14

23.