有关几何最值存在型压轴问题-2021年中考数学经典题型讲练案(解析版)【江苏专用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题20有关几何最值存在型压轴问题

【方法指导】

本专题原创编写的是几何最值问题，涉及到的有三角形中的几何最值、四边形中的几何最值、圆中的几

何最值.在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和

选择正确的解题方法.中考中，此类问题常考的模型和借助的方法有：两点之间线段最短、垂线段最短、

将军饮马、胡不归模型、翻折、对称、点到圆的举例、函数最值等.

【题型剖析】

【类型11三角形中的几何最值问题

［例I］（2020秋•仪征市期中）如图，在△4BC中，AB=6,8c=8,NB=90°,若P是AC上的一个动

点，则AP+8P+CP的最小值是（）

A.14.8B.15C.15.2D.16

【分析】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出8尸的最小值即可解决问题.

【解析】VZB=90°,AB=6,BC=8,

：.AC=\IAB2+BC2=V62+82=10,

'：AP+BP+PC=BP+AC=BP+\O,

根据垂线段最短可知，当BPLAC时，8P的值最小，最小值8尸=组界=等=4.8,

/IU3

C.AP+BP+CP的最小值=10+4.8=14.8,

故选:A.

【变式1.1］（2020•秦淮区一模）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为

4c,”和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（）

V3416107345V2

A.-----cmB.-cmC.---------cmD.------cm

25172

4EEF1

【分析】证明尸得出一=一=一，设则AD=CO=4xcnnDE=AD-AE=

DCCE4

3xcmf在RtZ\SE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解析】如图所示：

△CEF是直角三角形，ZCEF=90°,CE=4,EF=1,

：.ZAEF+ZCED=90°,

・・•四边形A8C£＞是正方形，

/.ZA=ZD=90°,AD=CDf

：.NDCE+NCED=90°,

・・・ZAEF=NDCE,

：./\AEF^/\DCE.

9AEEF1

••DC~CE~4

设AE=xcm,则AD=CD=4xcm9

：.DE=AD-AE=3xcm9

在RtZ\COE中，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=42,

解得：

.f一416

•»AD—4x5=-g-.

【变式1.2］（2020春•泰兴市校级期中）如图，在AABC中，乙4=48°,NABC与NAC。的平分线交于点

Ai,得NAi；N4BC与乙41CD的平分线相交于点A2,得NA2；……；NA*iBC与的平分线

交于点4“要使的度数为整数，则〃的最大值为（）

B1-D

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知芳，ZA2=1

N4=萼，…，依此类推可知NA“的度数

22

【解析】・・・NA8C与NACO的平分线交于点4,

11

AZAi=180°一与/ACD-NACB-/ABC

ii

=180°一-（N48C+NA）-（180°-ZA-ZABC）-^ZABC

48°

~21：

1AQO

同理可得NA2=—万，,,,

22

•ZA_48°

••NA”=-^n-.

...要使乙4"的度数为整数，则”的最大值为4,此时N4=3°.

故选：C.

【变式1.3］（2019秋•南开区期末）如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,A£>=3,连接B£）,BDLCD,

ZADB^ZC.若P是BC边上一动点，则。尸长的最小值为（）

【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出NA8O=/CBO,角平分线的性质定理得AO=O”，垂

线段定义证明D”最短，求出。P长的最小值为3.

【解析】过点。作DHLBC交BC于点H,如图所示:

BH

'：BD±CD,

80c=90°,

又•.•/C+N8Z）C+NZ）BC=180°,

ZADB+ZA+ZABD=\SO°

NADB=NC,ZA=90°,

/.NABD=NCBD,

：.BD是NABC的角平分线，

又,.•AQ_LA8,DH1BC,

：.AD=DH,

又•.•A/）=3,

：.DH=3,

又.•.点。是直线2C外一点，

...当点尸在BC上运动时，点P运动到与点”重合时DP最短，其长度为O”长等于3,

即QP长的最小值为3.

故选：C.

【类型2】：四边形中的几何最值

【例2】（2020春•邛江区期末）如图，以边长为4的正方形ABC。的中心。为端点，引两条相互垂直的射

线，分别与正方形的边交于E、F两点,则线段EF的最小值为（）

A.2B.4C.V2D.2V2

【分析】如图，作辅助线；证明aAOE/△。。尸，进而得到OE=OF,此为解决该题的关键性结论；求

出0E的范围，借助勾股定理即可解决问题.

【解析】如图，连接EF,

•.•四边形ABC。为正方形，

：.ZEAO=ZFDO=45°,AO=DO,

；NEOF=90°,ZAOD=90°,

：.ZAOE=ZDOF；

在△AOE与△OOF中，

/.EAO=乙FDO

AO-DO,

./.AOE=乙DOF

：./\AOE^ADOF（ASA）,

：.OE=OF（设为人）；

.•.△EO尸是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

222

EF=OE+OF=2）^;

：.EF=V2OE=V2A,

,/正方形ABCD的边长是4,

：.OA=2近,。到A8的距离等于2（。到43的垂线段的长度），

由题意可得：2W入W2a,

.,.2>/2WEFW4.

所以线段所的最小值为2vL

故选：D.

【变式2.1］（2020春•如皋市期末）如图，矩形A8CD中，A8=6,AO=4,E为A8的中点，尸为EC上一

动点，尸为。F中点，连接PB,则PB的最小值是（）

A.4B.4.5C.4.8D.5

【分析】由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段PP2,再由垂线段最短可得当8P_LPIP2时，P8取得

最小值，连接BP、8P2,作8PJ_PP2于P,作巴。，48于。，则8P的最小值为8P的长，P1Q

是△E4£＞的中位线，由勾股定理求出3P2、BPi、CE的长，由三角形中位线定理得出尸1巴的长，设P

P2=X,则，乃=|一X，由勾股定理得Pi=BP\1-P'Pi2,解得即可得出结果.

【解析】当点F与点C重合时，点P在尸1处，CP\^DP\,

当点尸与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2,

1

.^.尸1P2〃CE且P1P2=^CE,

当点尸在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP,

由中位线定理可知：尸1P〃CE且PiP=|CF,

点P的运动轨迹是线段PiP2,如图所示：

.".当8PLP1P2时,P8取得最小值,

•.•四边形A8CD是矩形，

：.AD=BC^4,AB=CD=6,NDAB=/BCD=NABC=90°,

.,.CPI=Q=3,

为A8的中点，

."£=8£=夕8=3,

连接BP、BP2,作8P'J_PIP2于P',作P2Q_LA8于Q,

则8P的最小值为8尸的长，P2。是△EA。的中位线，

：.P1Q=^AD=2,QE=AQ=^AE=j,

：.BQ=BE+QE=3+^3=三9

在RtZ\BP2Q中，由勾股定理得：BP2=[BQ2+P2Q2=岛2+22=孚,

在RlACBE中，由勾股定理得：CE='BE?+BC2=V32+42=5,

：.P\P1=1C£=I，

在RtZ\8CP中，由勾股定理得：BPi=JBR2+cp/=“+32=5,

设PP2=x,则尸'Pi=f-x,

22122

由勾股定理得：BP?-P'P2^BP\-PPi,即(—)2-A-2=52-(--x),

22

解得：x=告,

Ty/9711T2304

:.BP',2=(——)20.(一)2=镭，

210100

:.BP'=4.8,

故选：C.

【变式2.2］（2020•宁范县模拟）如图，菱形ABC。的的边长为6,NABC=60°,对角线上有两个动

点E、尸（点E在点尸的左侧），若EF=2,则AE+CF的最小值为（）

A.2V10B.4V2C.6D.8

【分析】作AMLAC,连接CM交8。于F,根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理

解答即可.

【解析】如图，连接AC,作AM_LAC,使得AM=EF=2,连接CM交BD于F,

鼠

/方

BC

,：AC,8。是菱形A8CO的对角线,

：.BD±AC,

VAM1AC,

：.AM//BD,

：.AM//EF,

,:AM=EF,AM//EF,

四边形AEFM是平行四边形，

：.AE=FM,

：.AE+CF=FM+FC=CM,

根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，

;四边形ABCO是菱形，A8=6,N48C=6（）°

：.BC=AB,

.♦.△ABC是等边三角形，

."C=A3=6,

在中，CM=y/AM2+AC2=V22+62=2V10

J.AE+CF的最小值为2V10.

故选：A.

【变式2.3］（2020春•宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、尸分别是边BC、CD上的

动点，且BE=CF,连接8尸、£>E,则8F+DE的最小值为（）

A.V12B.V20C.V48D.V80

【分析】连接A£，利用△越£g△8CF转化线段取得至则通过作4点关于8c对称

点H,连接。H交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可.

【解析】连接AE,如图1,

•••四边形48co是正方形，

：.AB=BC,NABE=NBCF=9Q°.

又BE=CF,

.♦.△ABE丝△3CF(SAS).

所以8F+OE最小值等于AE+OE最小值.

作点A关于3c的对称点H点，如图2,

连接8H,则A、B、H三点共线，

连接DH,DH与BC的交点即为所求的E点.

根据对称性可知AE=HE,

所以AE+QE=Z）H.

在RIYADH中，DH=5M"2+，。2=^82+42=V80,

.♦.8F+OE最小值为何.

故选：D.

【类型3】：圆中的几何最值问题

【例3】（2020秋•如皋市期中）如图，ZXABC的顶点A是。。上的一个动点，ZACB=90°,/B4C=30°,

边AC,AB分别交。。于点E,D,分别过点E,。作。0的切线交于点凡且点尸恰好在边BC上，连

接OC,若。。的半径为6,则OC的最大值为（）

A.V39+V3B.2V10+V3C.3V5+V3D.5V3

【分析】如图，取EF的中点T,连接C7,OT,OF.想办法求出CT,OT,根据OCWCT^OT,即可解

决问题.

【解析】如图，取EF的中点T,连接CT,OT,OF.

'：ZE0D=2ZA,乙4=30°,

：.ZEOD^60°,

,:EF,尸。是。。的切线，

:.FE=FD,NOEF=/ODF=90°,

：.ZEOF=ZDOF=30°,

.,.EF=OE«tan30°=2技

.,.ET=TF=V3,

J.OT=y/ET2+OE2=J(V3)2+62=V39,

•；NECF=9Q°,ET=TF,

：.CT=1£F=V3,

：.OC^：CT+OT,

：.OC<V3+V39.

故选：A.

a

【变式3.1］（2020秋•宜兴市期中）如图，已知直线y=*c-6与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C

（0,1）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连结热、PB.则△以8面积的最大值是（）.

21

A.21B.33C.—D.42

2

【分析】求出A、8的坐标，根据勾股定理求出A8,求出点C到48的距离，即可求出圆C上点到A8

的最大距离，根据面积公式求出即可.

【解析】：直线尸击-6与x轴、），轴分别交于A、8两点,

点的坐标为（8,0）,B点的坐标为（0,-6）,

即。4=8,。8=6,由勾股定理得：AB=V62+82=10,

过C作于M,连接AC,

111

则由三角形面积公式得：一xABXCM=^xOAXOC-^^xOAXOB,

222

・・・10XCM=8Xl+6X8,

.28

・・CM—5，

...圆C上点到直线,y=1x-6的最大距离是1+半=早

1QO

/.△MB面积的最大值是5xlOx号=33,

故选：B.

【变式3.2］（2020•鼓楼区二模）如图，△4BC中，ZBAC=45°,/A8C=60°,AB=4,。是边8C上的

一个动点，以为直径画。。分别交AB、AC于点E、F,则弦EF长度的最小值为（）

【分析】作4H_L3C于H,连接OE、OF,如图，利用圆周角定理得，利用等腰直角三角

形的性质得到EF=或0£所以当。。的半径最小时，EF的值最小，此时最小，AO的最小值为AH

的长，然后在RtAAB/7中计算出AH的长就可得到EF的最小值.

【解析】作4HLBC于“，连接OE、OF,如图，

•.•/EOF=2/EAF=2X45°=90°,

而OE=OF,

：.EF=y[2OE,

当OE的值最小时，E尸的值最小，

此时月。最小，AD的最小值为A”的长，

AU

在RtZvU?”中，VsinZABH=^=sin600,

:・AH=?AB=2®

・・・OE的最小值为8，

：.EF的最小值为V5xV2=V6.

故选：B.

BDH

【变式3.3]（2019秋•高邮市期末）如图，矩形A8C。中，AB=3,BC=8,点P为矩形内一动点，且满足

/PBC=NPCD,则线段的最小值为（）

A.5B.IC.2D.3

【分析】先证明NBPC=90°,则利用圆周角定理可判断点P在以BC为直径的。。上，连接0。交。0

于P',连接OP、PD,如图，由于PD^OD-OP（当且仅当0、P、D共线时，取等号），然后求出

DP'即可.

（解析】V四边形ABCD为矩形，

AZBCD=90°,

ZPBC=ZPCD,

：.ZPBC+ZPCB=90°,

：.ZBPC^9Q°,

...点P在以8c为直径的。O上，

连接。。交。。于P',连接OP、PD,如图，

「尸。》。。-O尸（当且仅当0、P、。共线时，取等号），

即P点运动到P'位置时，PO的值最小，最小值为。P',

1

在RtZ\OC£>中，0C=]8C=4,CD=AB=3,

：.OD=V32+42=5,

：.DP'=OD-OP'=5-4=1,

线段尸。的最小值为1.

【类型4】：一次函数与几何最值问题

【例4】（2020•梁溪区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10,0）,点P为线段。4上任意一

点.在直线产条上取点E,使PO=PE,延长PE到点F,使以=PF,分别取OE、A/中点M、N,连

结MN,则MN的最小值是（）

【分析】如图，连接PM,PN,设AF交EM于J,连接/V.证明四边形PM./N是矩形，推出MN=/V,

求出PJ的最小值即可解决问题.

【解析】如图，连接PM,PN,设A尸交EMTJ,连接/V.

■：PO=PE,OM^ME,

:.PMLOE,NOPM=NEPM,

'：PF=PA,NF=NA,

：.PN±AF,ZAPN=ZFPN,

1

:・NMPN=/EPMMFPN=WQOPF+NFPA)=90°,/PMJ=NPNJ=9C,

J四边形PM/N是矩形，

:・MN=PJ,

・••当JPLOA时，口的值最小此时M/V的值最小，

VAF±OM,A(10,0),直线OM的解析式为)=3，

直线AF的解析式为产-3+竽，

z3

dy=-XX-3T2

由j4

4

l24

y=--X+y-5

l3430

；.只/的最小值为W，即MN的最小值为三.

故选：A.

【变式4.1](2019•台州模拟)如图，在平面直角坐标系X。)，中，直线)，=-x+4与坐标轴交于A,8两点，

OCLAB于点C,P是线段OC上的一个动点，连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转45°,得到线段

AP,,连接CP,,则线段CP'的最小值为()

C.2>/3-1D.2-V2

【分析】由点尸的运动确定产的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN,当线段CP与垂直时,

线段CP的值最小.

【解析】由已知可得A(0,4)B(4,0)

三角形048是等腰直角三角形

'JOCLAB

：.C(2,2)

又是线段。C上动点，将线段A尸绕点4逆时针旋转45°,

在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，

当P在。点时和尸在C点时分别确定P的起点与终点，

二尸'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN

.••当线段CP与垂直时，线段CP'的值最小

在△403中，AO=AN=4,AB=4近

：.NB=4V2-4

又：R3BN是等腰直角三角形

：.HB=4-2y/2

，CP=4-(4-2V2)-2=2a一2

M

w

故选：A.

4C1

【变式4.2］如图，在RtZ\ABO中，NO8A=90°,A(4,4),点C在边4B上，且一=一，点。为。B

CB3

的中点，点P为边0A上的动点,当点P在。A上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()

匕

5588

A.(2,2)B.(一,一)C.(一,一)D.3,3)

2233

【分析1根据已知条件得到AB=03=4,ZAOB=45°,求得3c=3,0D=BD=2,得到。(0,2),

C(4,3),作。关于直线。4的对称点E,连接EC交04于P,则此时,四边形PCBC周长最小，E(0,

2),求得直线EC的解析式为)，=*计2,解方程组即可得到结论.

【解析】解：•..在RtZ\4?0中，ZOBA=90Q,A(4,4),

：.AB=0B=4,NAO8=45°,

AC1

5=£点。为。B的中点，

・・・8C=3,00=80=2,

：.D(2,0),C(4,3),

作D关于直线0A的对称点E,连接EC交OA于P,

则此时，四边形P。8c周长最小，E(0,2),

•・,直线04的解析式为y=x,

设直线EC的解析式为y=kx+b,

,fb=2

"Uk+h=3，

1

-

解得=4

=2

直线EC的解析式为y=3+2,

8

y-XX=-

3

得

解=1

8

y-X

y=-

43

故选：c.

【变式4.3］如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10,12）,点B在x轴上，AO=A8,点C在线段

OB上，且OC=3BC,在线段AB的垂直平分线MN上有一动点。，则△BCD周长的最小值为（）

C.6V5D.18

【分析】过A作AH_LO8于"，连接AO,根据MN垂直平分48,即可得到当A,D,C在

同一直线上时，△BCO周长的最小值为AC+8C的长，根据勾股定理求得4C的氏，即可得到△BCO周

长的最小值为13+5=18.

【解析】解：如图，过A作A”_LOB于”，连接A。,

点A坐标为（10,12）,AO^AB,

：.OH=BH=10,AH=\2,

又•；OC=3BC,

；.BC=5,C0=15,

；.CH=15-10=5,

垂直平分A8,

：.AD=BD,

：.BD+CD=AD+CD,

...当A,D,C在同一直线上时，△BCO周长的最小值为AC+BC的长,

此时，RtZSACH中，AC=y/AH2+CH2=V122+52=13,

...△8CO周长的最小值=13+5=18,

故选：D.

【类型5】：利用二次函数解决线段最值问题

【例5】（2020秋•太仓市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4与x轴、y轴分别交于点。、

E,二次函数丫=蛆2-3/7U-4/〃（w<0）与x轴交于A、B两点.

（1）A点坐标（-1,0）,B点坐标（4,0）；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在P点，使得以点A、B、尸为顶点的三角形与△。£。相似？若存在,

求〃?的值；若不存在，请说明理由；

（3）点。为（2）中抛物线上的动点，当Q到直线DE距离最小时，求。点坐标及最小值.

（备用图）

【分析】（1）令）'="/-3/nr-4机=0,解得x=-l或4,即可求解;

(2)以点A、B、P为顶点的三角形与△DE。相似时，只能是NAP8为直角，且两个三角形的相似比为

,,PMAM1b4-aJ

2或一,故——=——=2或一,即——=——=2或一,

2BNPN2a+1b2

解得｛：：；，则点P(3,2),进而求解;

(3)由HQ=NQsin/HNQ=会-1)]=^(1+3+1),即可求解.

【解析】(1)令yn/wc2-3"优-4，〃=0,

解得x=-I或4,

故点A、8的坐标分别为(-I,0)、(4,0),

故答案为(-1,0)、(4,0)；

(2)存在，理由：

对■于一次函数y=2r+4,令),=2t+4=0,则x=-2,令x=0,则y=4,故点。、E的坐标分别为(-2,

0)、(0,4),

在RtZ\OZ)E中，lan/ECO=2,则sinNEZ)O=京，

当以点A、B、P为顶点的三角形与相似时，只能是/AP8为直角，如图1,设点尸的为(a,b),

1

VOE：。。=2,故以点4、B、P为顶点的三角形与△OEO相似时，两个三.角形的相似比为2或刁，

过点P作x轴的平行线，交过点A与)，轴的平行线于点M,交过点8与y轴的平行线于点M

VZMPA+ZBPN=90°,NBPN+NPBN=9Q°,

：.ZMPA=ZPBN,

:NPMA=NBNP=9Q°,

1

:ZMAsXBNP,且相似比为2或一,

2

PMAM2/b4-Q2号,

即即

BNPNa+1b

解得则点P(3,2),

将点P的坐标代入y=iwr-3rwc-4m得：2=9帆-9m-4/n,

解得tn=

(3)由(1)知，抛物线的表达式为)=一#+|.什2,

如图2,过点Q作x轴的平行线交DE于点N,则ZHNQ=AEDO,则sinNHNQ=sinNEDO=

设点Q的坐标为(/,―■■17^+$+2),点N(x,—^^+去+2),

y=2x+4=—；尸+$+2,则X——；尸+'-1,

过点。作OE于点H,则HQ为Q到直线OE距离，

图2

HQ=NQsinZHNQ=-(-1r+|/-1)]=^(1+方+1),

2-751

V—x(-)X),故HQ有最小值，

13V519

当仁一押，”。有最小值为7此时点。(-左,-).

【变式5.1](2020•镇江模拟)二次函数y="(x-3)2-1的图象记为抛物线C,它与x轴交于点A(2,0)、

B,其对称轴与x轴交于点E,顶点为。，点PCm,〃)在抛物线C上(异于点A、B、。).小聪以点E

为位似中心，把A、B、D、尸为顶点的四边形按相似比2：1放大，并画出了过A、B、力的对应点的抛

物线Ci(如图)，小明认为还可以找到一条过A、B、。的对应点的抛物线C2.

(1)a=1;抛物线Ci对应的函数表达式为a=-1(X-3)2+2；

(2)试证明：点P的对应点在抛物线Ci或C2上；(选择其中一种情形证明)

(3)设点尸(1,3)落在抛物线。、C2上的对应点分别为Pi、P2,点Q在这个平面直角坐标系上，P\Q

=2V13,2P2。的最小值为，、石(直接写出结果)

【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.

(2)如图1中：按照小聪的作法作出点P的对称点P.过点？("?，〃)作PA/Lx轴，过它的对应点产

(a,b)作轴，M、N是垂足(如图)，想办法求出P'坐标(用表示)，如何利用待定系数法

求解即可.

(3)如图2中，连接尸Q,PD,DQ,PiQ,P1Q,由题意点?(1,3),Pi(-1,6),Pi(7,-6),E

(3,0),证明△PQPS»|P2Q，推出券=言=(，推出PQ=考QP2,推出DQ+^QP2=DQ+PQ^

DP,求出PC即可解决问题.

【解析】(1)把点A(2,0)代入二次函数y=a(x-3)2-1中，

解得a—1,

由题意，抛物线C2的顶点(3,2),经过(1,0)和(5,0),

二可以假设抛物线C2的解析式为y=〃(x-3)2+2,

把(1,0)代入得到a=-米

；♦抛物线Q：y=—3)^+2.

故答案为：1,y=-2(x-3)2+2.

(2)如图1中：按照小聪的作法作出点尸的对称点P'.

图1

过点P(.m,»)作轴，过它的对应点P'(a,b)作PW_Lx轴，M、N是垂足(如图),

/.RtAPME^RlAPWE,相似比1：2,

.*.3-a=2(3-/?i),b-Q=2(«-0),

则点产的坐标为(2m-3,2〃)，

PCm,")在抛物线)=(x-3)2-|上，

'.n=Cm-3)2-1,即(，"-3)2="+l,

将x=2ni-3代入抛物线CI对应的函数表达式y=g(x-3)2-2中，

则y=1(2w-3-3)2-2=2(w-3)2-2=2(n+1)-2=2n

：.P(2m-3,2n)在抛物线Ci上.

(另一种情形的同法可证).

(3)如图2中，连接尸。，PD,DQ,P\Q,P1Q,由题意点P(l,3),P\(-1,6),Pi(7,-6),E

(3,0),

V

：.P\E=V42+62=2A<13,P\P=A/13,PIP2=V122+82=4>/13,DP=<22+42=2\/5,

•••点。是以点Pl为圆心，PE长为半径的圆上，

：.P\QL=P\P'P\P2,

.P1Q_P1P_I

,•忘一布-1

'：ZQP\P=ZQPiP2,

：./\P\QP^/\P\PiQ,

.PQPPX1

•・获一记—1

；/。=如2,

1-

。。+处P2=DQ+PQ2DP,

：.DQ+^QP2^2y/5,

，。。+占2。的最小值2的.

故答案为2遍.

【变式5.2】综合与探究

如图，抛物线y=-拿——挈r+b与x轴交于A、8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,直

线/经过2、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点2运动，连接CM,将线段MC

绕点M顺时针旋转90°得到线段M£>,连接C。、BD.设点M运动的时间为fG>0）,请解答下列问题：

(1)求点A的坐标与直线/的表达式；

(2)①请直接写出点。的坐标(用含，的式子表示)，并求点。落在直线/上时，的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值.

【分析】(1)解方程求出点4、点8的坐标，根据二次函数的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求

出直线/的表达式：

(2)①分点M在A0匕运动、点M在02上运动两种情况，£W_Lx轴于N,证明△MC0丝ZXOMM根

据全等三角形的性质得到MN=0C=百，DN=OM=3-3得到点。的坐标，根据一次函数图象上点的

坐标特征求出，；

②根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答.

【解析】解：(1)当y=0时:一年产一竽x+g=0,

解得xi=l,Xi--3,

:点A在点8的左侧，

：.A(-3,0),8(1,0),

当x=0时，)，=次，即C(0,V3),

设直线/的表达式为)，=日+6,

将5,C两点坐标代入得,"I：/'

解得，9=或&,

S=百

则直线/的表达式为y=—V3A-+V3；

(2)①如图1,当点M在A0上运动时，过点。作EWLi一轴于N,

由题意可知，AM=t,0M=3-t,MCA,MD,

则/OMN+/CMO=90°,ZCMO+ZMCO=90°,

:.乙MCO=4DMN,

在△MC。与△DWN中，

(NOCM=/NMD

、乙COM=AMND'

(MC=MD

:AMCO04DMN(A4S),

：.MN=OC=y/3,DN=OM=3-t,

：.D(r-3+V3,L3)；

同理，如图2,当点M在OB上运动时，

点。的坐标为：D(-3+Z+V3,r-3)

将。点坐标代入直线BC的解析式y=—值得，/-3=—y/3x(-3+?+V3)+V3,

t=6-2V3,即点。落在直线/上时，f=6-2百；

②•••△co。是等腰直角三角形，

••・线段CM最小时，线段C。长度的最小，

在A8上运动，

.•.当CM_LAB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=b，

根据勾股定理得，CD的最小值为伤.

点尸是抛物线在第一象限上的一个

动点.

(1)如图1,若4=1,点尸的坐标为(|,1).

①求》的值；

②若点。是y上的一点，且满足NQPO=NPOA,求点。的坐标；

(3)如图2,过点P的直线BC分别交y轴的半轴、x轴的正半轴于点8、C.过点C作CCx轴交射

线。尸于点。.设点尸的纵坐标为yp,若0B・CD=6,试求)，P的最大值.

【分析】(1)①把〃=1和点P的坐标代入)=/+法中其出b就即可得到抛物线解析式；

②讨论：当点Q在y轴的正半轴时，利用NQPO=NPOA得到PQ//OA,从而得到此时Q点的坐标；

当点Q在y轴的负半轴时，设PQ交x轴于点E,利用/QPO=NPOA得到OE=PE,设OE=PE=f,

5525

作轴于点”，利用勾股定理得到户=(-)2+(--/)2,解方程求出，得到E(一,0),然后利用

4216

待定系数法求一次函数解析式，再计算自变量为0时的函数值即可得到此时Q点坐标；

(2)如图2,作PTLx轴于点H,利用平行线分线段成比例定理得到三=瞿①，二=丝②，利

OBCOCDOC

用①+②得黑+詈=1，变形得到yp=OB+CD,根据完全平方公式得到OB+CD^OBCD,即O8+CO

^2V6(当且仅当。B=C。时取等号)，从而得到yp的最大值.

【解析】解：(1)①：点P@，$是抛物线上的一个动点，且。=1,

255s

-4--b=］，解得b=-2；

424

②当点。在)，轴的正半轴时，

u：ZQPO=ZPOA,

：.PQ//OAf

5

：.Q(0,-)；

4

当点。在y轴的负半轴时，设尸。交x轴于点，

•:/QPO=4POA,

:.OE=PE,

设。E=PE=f,作PT_Lx轴于点“，则PH=9，EH=W-t,

在RtZiPEH中，U：PE1=PH2+EH2,

.*.?=(-)2+(--02,解得

4216

25

:.E(―,0),

16

由尸(1,3),E(||,0)可求出直线PE的解析式为y=3一裳

25

*,•(2(①—诵)；

综上所述，点。的坐标为。(0,|)或(0,-11)；

(2)如图2,作PT_Lx轴于点，，

：C£>_Lx轴，08_Lx轴,

OB//PT//CD,

PHCH…PHOH…

—=—①，—=—②,

OBCO^CD

〜PHPH

①+②得一+—=1,

J50BCD

1i1

—+—=

OBCD~PH,

.111OB+CD

-I

"ypOBCD一'OBCD

•OBCD6

•*yp—OB+CD—OB+CD'

VOB+CD^2y/OB-CD,即OB+CO>2通(当且仅当OB=C£>时取等号),

即)阵坐，

V6

•9•yp的最大值为

y八

图1图2

【达标检测】

一.选择题（共8小题）

1.（2020秋•江阴市期中）如图所示,在等边△ABC中，点£>、E、尸分别在边BC、AB,AC上，则线段

DE+D尸的最小值是（）

匕

BDC

A.8c边上高的长B.线段EF的长度

C.8C边的长度D.以上都不对

【分析】作AOL8C于点。，当DE_LA8、£>F_LAC时,线段。E+QF有最小值，根据等边三角形的性质

可得OE+£>F=A。，进而得结论.

【解析】如图，作AD_L8c于点。，

当OEJ_A8、。尸，4c时，线段OE+。尸有最小值，

53C

BDQ

/\ABC是等边三角形，

：.ZBAC=60°,

VAD1BC,

.../84。=/。。=30°,

：.DE=^AD,DF=^AD,

：.DE+DF=AD,

线段OE+O尸的最小值是BC边上高的长.

故选：A.

2.（2020秋•高邮市期中）如图，在aABC中，乙4=60°,AC=2,BD平分NABC,E、F分别为BC、BD

上的动点，则CF+E尸的最小值是（）

【分析】作C〃_L4B,垂足为H,交BDTF点、,过户点作尸E'1BC,垂足为E',则C"E'尸为所

求的最小值，再根据BQ是NA8C的平分线可知FH=E'F,再由30度角所对直角边等于斜边的一半即

可得出结论.

【解析】如图，CH1AB,垂足为H,交8。于尸点，过尸点作FE'1BC,垂足为E',则CF+E'F

为所求的最小值，

•.•8〃是/A8C的平分线，

：.FH=E'F,

.•.CH是点B到直线AB的最短距离（垂线段最短），

：4C=2,/BAC=60°,

CH=V3,

'：CF+E'尸的最小值是CF+E'F=CF+FH=CH=V3.

故选：B.

3.（2020秋•灌云县期中）如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,4。平分NCAB交BC于。

点，E、F分别是A£>,AC上的动点，则CE+EF的最小值为（)

E

CDB

A.1.8B.2C.2.4D.2.5

【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+E尸的最小值即为点C到A8的垂线段

长度.

【解析】••,NACB=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=>/AC2+BC2=5,

在A8上取一点G,使AG=AF,

'：ZCAD=ZBAD,AE^AE,

：./\AEF^/\AEG（SAS）,

：.FE=EG,

：.CE+EF=CE+EG,

则当点C,E,G三点在一条直线且CG垂直A8时，CG的值最小，

V5A4BC=^AC^BC=^AB-CG,

；.3X4=5CG,