中考数学圆的综合综合题汇编附详细答案

2023中考数学圆的综合综合题汇编附详细答案

一、圆的综合

1.如图，点A、B、C分别是00上的点，CD是。。的直径，P是CD延长线上的一点,

AP=AC.

(1)若NB=60。，求证：AP是。。的切线；

(2)若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E,CD=4,求BE-AB的值.

【答案】(1)证明见解析；(2)8.

【解析】

(1)求出NADC的度数，求出NP、ZACO、N0AC度数，求出NOAP=90。，根据切线判定

推出即可；

(2)求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.

试题解析：连接AD,0A,

---ZADC=ZB,ZB=60°,

ZADC=60°,

CD是直径，

ZDAC=90°,

/.ZAC0=180°-90o-60°=30°,

•••AP=AC,0A=0C,

Z0AC=NACD=30°,ZP=NACD=30°,

ZOAP=180°-30°-30°-30°=90°,

即0A±AP,

1••0A为半径，

AP是切线.

(2)连接AD,BD,

ZDBC=90°,

•/CD=4,B为弧CD中点，

4

・•.BD=BC与

ZBDC=ZBCD=45°,

ZDAB=ZDCB=45°,

即NBDE=ZDAB,

•/ZDBE=ZDBA,

/.△DBE~△ABD,

BDAB

DEBD

•.•'~'，

BE・AB=BD・BD=2\/2X2«2=8

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.

2.如图，0M交x轴于B、C两点，交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(-3百，0),

C(73.0).

(1)求0M的半径；

(2)若CE_LAB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.

(3)在(2)的条件下求AF的长.

【答案】⑴4；(2)见解析；(3)4.

【解析】

【分析】

(1)过M作MT_LBC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出

BM的长；

(2)连接AE,由圆周角定理可得出NAEC二NABC,再由AAS定理得出△AEa△AFH,进

而可得出结论；

(3)先由(1)中△BMT的边长确定出NBMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG

的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.

【详解】

(1)如图(一)，过M作MTJ_BC于T连BM,

丁BC是。。的一条弦，MT是垂直于BC的直径，

BT=TC=-BC=2J3,

2

BM;Ji2+4=4；

(2)如图(二),连接AE,则NAEC=NABC,

,/CE±AB,

/.ZHBC+ZBCH=90°

在^COF中，

,/ZOFC+ZOCF=90°,

ZHBC=ZOFC=ZAFH,

在^AEH和^AFH中，

ZAFH=/AEH

<ZAHF=ZAHE,

AH=AH

・•・△AEH在△AFH(AAS),

「・EH=FH；

(3)由(1)易知，ZBMT=ZBAC=60°,

作直径BG,连CG,则NBGC=ZBAC=60°,

OO的半径为4,

/.CG=4,

连AG,

,/ZBCG=90°,

/.CG±x轴，

/.CGIIAF,

•・•ZBAG=90°,

AG±AB,

/CE±AB,

/.AGIICE,

••・四边形AFCG为平行四边形，

/.AF=CG=4.

y，y

【点睛】

本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根

据题意作出辅助线是解答此题的关键.

3.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.

(1)如图1,四边形ABCD内接于。。，ZDCB-ZADC=ZA,求证：四边形ABCD为圆内

接倍角四边形；

(2)在(1)的条件下，00半径为5.

…4

①若AD为直径，且sinA=1,求BC的长;

②若四边形ABCD中有一个角为60。，且BC=CD,则四边形ABCD的面积是一

求证：d2-b2=ab+cd.

；(3)见解析

【解析】

【分析】

(1)先判断出NADC=180。-2NA.进而判断出NA8C=2NA,即可得出结论;

(2)①先用锐角三角函数求出BD,进而得出A8,由(1)得出NADBN8DC,即可得出

结论；

②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；

(3)先得出B£=BC=b,DE=DA=b,进而得出CE=d-c,再判断出△EBC-△EDA,即可得出

结论.

【详解】

(1)设NA=a,则NOCB=180°-a.

ZDCB-ZAOC=NA,：.ZADC=NDCB-Z4=180°-a-a=180°-2a,ZABC=1SO°-

NADC=2a=2NA,/.四边形ABCD是。。内接倍角四边形;

（2）①连接8D.

4

••,AD是。。的直径，ZABD=90°.在R3ABD中，AD=2x5=10,sinZA=-,SD=8,根

据勾股定理得：AB=6,设NA=a,AZADB=90°-a.

由(1)知，ZADC=180°-2a,ZBDC=90°-a,ZADB=Z.BDC,BC=AB=6；

②若NADC=60°时.

1•,四边形ABC。是圆内接倍角四边形，.INBCD=120°或NBAD=30。.

I、当N8CD=120。时，如图3,连接。4OB,OC,OD.

1

BC=CD,:.NBOC=NCOD,二NOCD=NOCB=—N8CD=60°,/.ZCDO=60°,AD^OO

2

的直径，(为了说明AD是直径，点。没有画在AD上)

ZADC+NBCD=180°,：.BCIIAD,AB=CD.

■：BC=CD,：.AB=BC=CD,：.AOAB,△BOC,△C。。是全等的等边三角形，5四.

QC756

ABCD=3SAAOB=3X--X52=----------.

44

口、当NBAD=30。时，如图4,连接OA,OB,OC,OD.

■：四边形A8CD是圆内接四边形，，NBCD=180°-ZBAD=150°.

1

•/BC=CD,：.ZBOC=Z.COD,NBCO=NDCO=-NBCD=75°,；.NBOC=NDOC=30°,

2

N。8A=45°,ZAOB=90°.

连接AC,ZDAC=-ZBAD=15°.

2

ZADO-Z.OAB-ZBAD=15°,ZDAC=NADO,：.ODWAC,：.S&OAD=S^OCD.

过点C作CH±08于H.

..15

在RtAOCH中,CH=—0C=—,..SmnKABCD=ShCOO+SAeoc+SaAOB~

22

15175

SAAOD=S^BOC+SAAOB=—X—x5+—x5x5=.

2224

故答案为：叁8或经；

44

D

(3)延长OC,八B交于点£.

,/四边形488是。。的内接四边形，.BCE二NA二ABC.

2

ZABC-Z.BCE+Z.A,ZE=NBCE-Z.A,BE=BC=b,DE=DA=b,/.CE=d-c.

CEBCd-cb,

Z.BCE=NAfNE-Z-E,△EBC~△EDA,-------=-------，---------=—,d2~

AEADa+hd

备用图

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性

质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

4.如图，在。。中，直径A8J_弦CD于点E,连接AC,8C,点F是BA延长线上的一点,

且NFCA=NB.

⑴求证：CF是。。的切线；（2）若AE=4,tanzACD=-,求AB和FC的长.

2

【答案】⑴见解析;⑵⑵AB=20,CF=y

【解析】

分析：（1）连接0C,根据圆周角定理证明OCJ_CF即可;

(2)通过正切值和圆周角定理，以及NFCA=NB求出CE、BE的长，即可得到AB长，然

后根据直径和半径的关系求出0E的长，再根据两角对应相等的两三角形相似(或射影定

理)证明AOCEsACFE,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

详解：⑴证明：连结OC

•••AB是。。的直径

ZACB=90"

ZB+ZBAC=90°

OA=OC

ZBAC=ZOCA

ZB=ZFCA

ZFCA+ZOCA=900

即NOCF=90°

C在。0上

ACF是。O的切线

1

（2）\-AE=4,tanzACD——=-

EC2

/.CE=8

•・•直径AB_L弦CD于点E

•*-AD=AC

•/ZFCA=NB

ZB=ZACD=ZFCA

/.ZEOC=ZECA

CE1

tanzB=tanZACD=------=—

BE2

・•・BE=16

AB=20

OE=AB4-2-AE=6

•「CE_LAB

ZCEO=ZFCE=90°

/.△OCE~△CFE

,OCOE

~CF~~CE

点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合

相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的

突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.

5.如图，△ABC中，NA=45。，D是A。边上一点，。。经过D、A、B三点，ODIIBC.

(1)求证：BC与。0相切；

当(2)若0D=15,AE=7,求BE的长.

【答案】⑴见解析乂2)18.

【解析】

分析：(1)连接0B,求出NDOB度数，根据平行线性质求出NCBO=90。，根据切线判定

得出即可；

(2)延长B0交。。于点F,连接AF,求出NABF,解直角三角形求出BE.

详解：(1)证明：连接0B.

,,,ZA=45",

ZDOB=90°.

­,•ODIIBC,

ZDOB+ZCBO=180°.

/.ZCBO=90°.

直线BC是O。的切线.

(2)解：连接BD.则4ODB是等腰直角三角形,

ZODB=45°,BD=V3OD=15l,

1.,ZODB=ZA,ZDBE=NDBA,

△DBE-△ABD,

BD2=BE»BA,

(1572)2=(7+BE)BE,

BE=18或-25(舍弃)，

BE=18.

点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进

行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大.

6.如图，AB是。。的直径，弦BC=OB,点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD

分别交OC,0E于点F,G.

(1)求NDGE的度数；

,,CF1BF

(2),求二■的值;

OF2GF

CFS,

(3)记ACFB,△DGO的面积分别为Si,S2,若——=k,求丁的值.（用含k的式子表

OFS,

7Sik?]

【答案】⑴NDGE=60°：⑵一；⑶---------

2S2左+1

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得NDGE的度

数；

（2）过点F作FH_LAB于点H设CF=L则。F=2,0C=0B=3,根据勾股定理求出BF的

BF

长度，再证得△FGOs△FCB,进而求得一■的值；

GF

（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表

5,

示出寸的值.

【详解】

解：⑴；BC=OB=OC,

ZCOB=60°,

1

/.ZCDB=—NCOB=30°,

2

•・・OC=OD,点E为CD中点，

・,.OE±CD,

・•・ZGED=90°,

ZDGE=60°；

（2）过点F作FHLAB于点H

设CF=1,则OF=2,0C=0B=3

,/ZCOB=60°

1

OH=-OF=1,

2

HF=V30H=73，HB=OB-0H=2,

22

在RSBHF中，BF=7HB+HF=V7>

由OC=OB,ZCOB=60°得：Z0cB=60°,

又TZOGB=ZDGE=60°,

ZOGB=ZOCB,

•/ZOFG=ZCFB,

△FGO—△FCB,

OFGF

~BF~~CF'

2

，GF=

BF7

GF2

⑶过点F作FH_LAB于点H,

设0F=l,则CF=k,OB=OC=k+l,

•••ZCOB=60°,

11

OH=-OF=-,

22

]

HF=J30H=—,HB=OB-OH=k+-,

22

在RtABHF中，

BF=7HB2+HF2=Vk2+k+l>

由(2)得：△FGOs△FCB,

GOOF„„GO_1

CBBFk+1yjk2+k+i

k+1

•••GO=-/,,

+k+l

过点C作CP_LBD于点P

ZCDB=30°

I

/.PC=-CD,

2

,点E是CD中点，

1

DE=-CD,

2

PC=DE,

DE±OE,

【点睛】

圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和

勾股定理、数形结合的思想解答.

7.如图，AB是半圆。的直径，半径OC_LAB,0B=4,D是OB的中点，点E是弧BC上的

动点，连接AE,DE.

（1）当点E是弧BC的中点时，求AADE的面积；

3

（2）若tanNAE0=—,求AE的长；

2

（3）点F是半径0C上一动点，设点E到直线0C的距离为m,当△DEF是等腰直角三角

形时，求m的值.

【答案】（1）SADE-6A/2；（2）AE=—y/5；（3）m=2vJ，m=2-72>

m=币-I.

【解析】

【分析】

（1）作EH_LAB,连接OE,EB,设DH=a,则HB=2-a,OH=2+a,贝UEH=OH=2+a,

根据RtZiAEB中，EH2=AH»BH,即可求出a的值，即可求出SAADE的值；

AFAD

（2）作DF_LAE,垂足为F,连接BE,设EF=2x,DF=3x,根据DFUBE故一-=—

EFBD

得出AF=6x,再利用RtAAFD中,AF2+DF2=AD2,即可求出x,进而求出AE的长；

（3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.

【详解】

解：（1）如图，作EHLAB,连接OE,EB,

设DH=a,则HB=2-a,0H=2+a,

.・.点E是弧BC中点，

ZCOE=ZEOH=45°,

EH=0H=2+a,

在RtZkAEB中，EH2=AH>BH,

(2+a)2=(6+a)(2-a),

解得a=±2及-2，

.・a=2V2—2，

EH=2&，

SAADE==6及；

2

DH

（2）如图，作DF_LAE,垂足为F,连接BE

设EF=2x,DF=3x

DFIIBE

AFAD

EFBD

AF=6x

在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2

(6x)2+(3x)2=(6)2

解得X=yV5

（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图

由DF=DE,NDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,

ZDFO=ZEDH

△ODFM△HED

OD=EH=2

在R3ABE中，EH2=AH・BH

(2)2=(6+a)•(2-a)

解得a=±2百-2

m=2V3

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH=a,则GE=a,EH=FG=2+a

在RtAABE中,EH2=AH»BH

(2+a)2=(6+a)(2-a)

解得a=±2&-2

•••m=2夜

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设OF=a,则ME=a,MF=OD=2

EH=a+2

在RSABE中，EH2=AH・BH

(a+2)2=(4+a)•(4-a)

解得a=±4—1

m=币-1

【点睛】

此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的

判定与性质.

8.已知：如图，在四边形ABCD中，ADIIBC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为

ZDAB和NCBA的平分线.

（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结

论；

（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点0,并以AB为直径作。0（要求：尺规作图，保

留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下，交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,

【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的

图形见解析；（3）圆。的半径为2.5.

【解析】

分析：（1）添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；

（2）作出相应的图形，如图所示；

（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为

角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可

得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到NAGF=NAEB,根据sinNAGF的值，

确定出sinNAEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.

详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：

证明：,•,ADIIBC,AD=BC,

四边形ABCD为平行四边形；

故答案为：AD=BC；

（2）作出相应的图形，如图所示；

(3),/ADIIBC,

...ZDAB+ZCBA=180°,

/AE与BE分别为NDAB与NCBA的平分线，

/.ZEAB+ZEBA=90°,

ZAEB=90°,

「AB为圆0的直径，点F在圆O上，

ZAFB=90°,

・•・ZFAG+ZFGA=90°,

,/AE平分NDAB,

ZFAG=ZEAB,

ZAGF=ZABE,

4AE

sinZABE=sinZAGF=—=------,

5AB

•・,AE=4,

・•・AB=5,

则圆0的半径为2.5.

点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平

分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.

9.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上/AEF=90°,

AE=EF,过点F作射线BC的垂线，垂足为H,连接AC.

⑴试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2)求证：ZACF=90°；

⑶连接AF,过A,E,F三点作圆，如图2.若EC=4,ZCEF=15°,求费的长.

【答案】(1)BE="FH"；理由见解析

(2)证明见解析

⑶妞=2兀

【解析】

试题分析:(1)由△ABE空△EHF(SAS)即可得到BE=FH

(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形，ZFCH

为45。，而NACB也为45。，从而可证明

(3)由已知可知NEAC=30。，AF是直径，设圆心为O,连接E。，过点E作EN_LAC于点N,

则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到

尼所对圆心角的度数，从而求得弧长

试题解析：(1)BE=FH.理由如下：

•••四边形ABCD是正方形ZB=90°,

•••FHXBCZFHE=90°

又；ZAEF=90"ZAEB+ZHEF="90°"且NBAE+ZAEB=90"

ZHEF=ZBAEZAEB=NEFH又AE=EF

.♦.AABE2△EHF(SAS)

BE=FH

(2),.'△ABE空△EHF

BC=EH,BE=FH丈:BE+EC=EC+CH；.BE="CH"

/.CH=FH

ZFCH=45",ZFCM=45"

；AC是正方形对角线，,ZACD=45"

ZACF=ZFCM+ZACD=90°

(3)•二AE=EF,.I△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为0.连结EO得NAOE=90。

过E作EN±AC于点N

RtAENC中，EC=4,NECA=45。，/.EN=NC=272

RtAENA中，EN=2混

又NEAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧对等角)

/.ZEAC=30°

•••AE=4应

RtAAFE中，AE=4^2=EF,AF=8

AE所在的圆。半径为4,其所对的圆心角为NAOE=90。

费=2十4(90--r3600)=2n

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4,三角函数

10.如图，。。的直径AB=8,C为圆周上一点，AC=4,过点C作。。的切线/,过点8

作/的垂线8D,垂足为D,B。与。。交于点E.

(1)求NAEC的度数；

(2)求证：四边形OBEC是菱形.

c

-4VOBj

【答案】（1）30。；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）易得△4X是等边三角形，则N4X=60。，根据圆周角定理得到NAEC=30。；

（2）根据切线的性质得到。C，/,则有。CllBD,再根据直径所对的圆周角为直角得到

NAEB=90。，则NEA8=30。，可证得A8IICE,得到四边形O8FC为平行四边形，再由。8

=OC,即可判断四边形。BEC是菱形.

【详解】

（1）解：在AAOC中，AC=4,

AO=OC=4,

△AOC是等边三角形，

ZAOC=60°,

ZAEC=30°；

（2）证明:•••OC±I,BD±I.

：.OCWBD.

：.ZABD=NAOC=60°.

AB为。。的直径，

/.ZAE8=90°,

J.△AEB为直角三角形，NEAB=30°.

ZEAB=Z.AEC.

CEWOB,文:COWEB

四边形。BEC为平行四边形.

又：O8=OC=4.

四边形。8EC是菱形.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以

及菱形的判定方法.

11.如图，已知△ABC,AB=&，BC=3,NB=45。，点D在边BC上，联结AD,以点A

为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E,点F在圆A上，且AF_LAD.

（1）设BD为x,点D、F之间的距离为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）如果E是o尸的中点，求3£>:Cr）的值；

【答案】⑴y=V4-4x+2x2（0<x<3）;（2）3；（3）8。的长是1或上逅.

【解析】

【分析】

（1）过点A作AHLBC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求

得AD的长度.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在R3ADF中，利用锐角

三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式.

（2）由勾股定理求得：AC7AH2+DH?■设DF与AE相交于点Q,通过解RtADCQ和

DQ1

RtAAHC推知不刁=不.故设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DC

的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.

（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：①当AFIIDC、②当ADIIFC.根据相

似三角形的判定与性质，结合图形解答.

【详解】

（1）过点A作AHL8C,垂足为点H.

z8=45°,AB=O,BH-AH=AB-cosB—1.

BD为x,：.DH.

在RtAADH中，ZAHD=90°,AAD=\/AH2+DH2=^2-2x+x2-

联结。F,点D、F之间的距离y即为。F的长度.

・点F在圆A上，且AF_LAD,AZ)=AE，Z4DF=45°.

AF)I-------------------

在R3AD尸中，ZDAF=90°,ADF=------------=V4-4x+2x2.

cosZADF

y=,4—4X+2%2•(0<x<3)；

(2)E是方声的中点，.•・A£，£>E,AE平分。E.

,8c=3,..HC—3-l=2..AC=JA/7?+HC，-V5,

设DF与AE相交于点Q,在RtZiOCQ中，ZDQC=9Q°,tanZDC0=-^

AH1

在R3AHC中，ZAHC=9Q°，tanZACH

~HC~2

•••ZDCQ=ZACH,黑=1.

设DQ=k,CQ-2k,AQ=DQ=k,

,：3k=M，k=旦，：.DC=^DQ2+CQ2=1

33

44

...BD=BC-DC=~,BD:CD=-.

35

（3）如果四边形ADCF是梯形

贝|J①当AFIIoc时，ZAFD=NFDC=45。.

ZAZ）F=45°.AD1BC,即点。与点”重合.,BD=L

②当ADIIFC时，ZADF=NCFD=45。.

ZB=45°,ZB=ZCFD.

..ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,AZBAD=ZFDC.

-ABAD

^ABD-\DFC•----=-----.

DFDC

DF=4iAD-DC=BC-BD.

AD2=BC-BD.即（，2-2X+X2）=3-X,

整理得x2-x-l=O＞解得光=上好（负数舍去）.

2

综上所述，如果四边形ADCF是梯形，B。的长是1或上渔.

2

【点睛】

此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值

以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合

能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

12.我们知道，如图1,AB是。。的弦，点F是的中点，过点F作EFLAB于点E,

易得点E是AB的中点，即AE=EB.。。上一点C(AC>BC),则折线ACB称为。。的一

条"折弦

(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF_LAC于点E,求证：点E是"折弦

ACB”的中点，即AE=EC+CB.

（2）当点C在弦AB的下方时（如图3）,其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若

成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证

明.

（3）如图4,己知RtAABC中，ZC=90",ZBAC=30°,由△ABC的外接圆。。的半径为

2,过。。上一点P作PHJ_AC于点H,交AB于点M,当NPAB=45。时，求AH的长.

【答案】（1）见解析；（2）结论AE=EC+CB不成立，新结论为：CE=BC+AE,见解析;

⑶AH的长为0-1或6+1.

【解析】

【分析】

（1）在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,证明△FAGg△FBC,根据全等三角形

的性质得到FG=FC,根据等腰三角形的性质得到EG=EC,即可证明.

（2）在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,证明△FCG2△FCB,根据全等三角形的性

质得到FG=FB,得到FA=FG,根据等腰三角形的性质得到AE=GE,即可证明.

（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.

【详解】

解：（1）如图2,

B

图2

在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,

:点F是4/75的中点，FA=FB,

在^FAG和AFBC中,

FA=FB

«NFAG=NFBC

AG^BC,

：.△FAG空△FBC(SAS),

FG=FC,

FE±AC,

EG=EC,

AE=AG+EG=BC+CE；

(2)结论AE=EC+CB不成立，新结论为：CE=BC+AE,

理由:如图3,

C

图3

在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,

:点F是AFB的中点，

FA=FB,FA=FB，

NFCG=NFCB,

CG=CB

在小FCG和△FCB中，，NFCG=NFCB

FC=FC,

」.AFCG之△FCB(SAS),

：FG=FB,

FA=FG,

,/FE±AC,

AE=GE,

/.CE=CG+GE=BC+AE；

(3)在R3ABC中，AB=2OA=4,ZBAC=30°,

1

2-

当点P在弦AB上方时，如图4,

图4

在CA上截取CG=CB,连接PA,PB,PG,

ZACB=90°,

.AB为。0的直径，

,•ZAPB=90°,

・•ZPAB=45°,

ZPBA=450=NPAB,

PA=PB,ZPCG=NPCB,

CG=CB

在^PCG和△PCB中，<Z.PCG=ZPCB

PC=PC,

△PCG空△PCB(SAS),

PG=PB,

PA=PG,

「PH±AC,

•・AH=GH,

AC=AH+GH+CG=2AH+BC,

•-2>/5=2AH+2,

•.AH=6-1,当点p在弦AB下方时，如图5,

在AC上截取AG=BC,连接PA,PB,PC,PG

.*ZACB=90°,

•.AB为。O的直径，

•・ZAPB=90°,

•/ZPAB=45°,

ZPBA=45°=NPAB,

PA=PB,

在^PAG和^PBC中，

AG=BC

<NPAG=NPBC

PA=PB,

：.APAG要APBC(SAS),

/.PG=PC,

PH±AC,

CH=GH,

/.AC=AG+GH+CH=BC+2CH,

2月=2+2C”，

•••CH=6-1,

A”=AC-C”=2V5-(山-1)=6+1,

即：当NPAB=45。时，AH的长为6-1或Ji+1.

【点睛】

考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较

强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.

13.如图，已知4C,A5=AC,O为AA3C外心，。为。。上一点，BO与AC的交

点、为E，且BC?=ACCE.

①求证：CD=CB；

②若NA=30°，且。。的半径为3+6，/为ABCD内心,求0/的长.

D

【答案】①证明见解析；（2）273

【解析】

【分析】

①先求出生=空，然后求出△BCE和AACB相似，根据相似三角形对应角相等可得

ACBC

Z4=ZCBE,再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得NA=ND,然后求出

ZD=NCBE,然后根据等角对等边即可得证；

②连接。8、0C,根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出

ZBOC=60°,然后判定^OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形

的内心的性质可得。C经过点/,设。C与8。相交于点F,然后求出CF,再根据/是三角形

的内心，利用三角形的面积求出/F,然后求出a,最后根据。/=oc-c/计算即可得解.

【详解】

BCCE

(1).BC^—AC9CEf——....

ACBC

■：ZBCE=ZECB,：.△BCE-△ACB,：.ZCBE=ZA.

Z4=ND,ZD=ZCBE,/.CD=CB；

②连接OB、OC.

ZA=30°9ZBOC=2N^=2x30°=60°.

OB=OC,：.△OBC是等边三角形.

CD=CB,/是△BCD的内心，.〔OC经过点/,设。C与BD相交于点F,则

CF=BCxsin30°=—SC,BF=BC»cos30°=—BC,所以，BD=2BF=2x12-BC=J3BC,设△8C。

222

11即;•石11

内切圆的半径为r,则5A88-BD»CF=-(BD+CD+BC)»r,BC*-BC=-

2222

23

(y/jBC+BC+BC)»r,解得：r=—BC=^-BC,即IF=267BC,所以,

'2(2+6)22

12月-3

CI=CF-IF=-BC-BC=(2-73)BC,OI=OC-CI=BC-(2-73)BC=(73-1)

22

BC.

的半径为3+百，J.BC=3+6,。/=(百一1)(3+73)=373+3-

3—百=26.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆

周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三

角形并证明得到0C经过△BCD的内心/是解题的关键.

14.对于平面内的OC和OC外一点Q,给出如下定义：若过点Q的直线与。C存在公共

点，记为点A,B,设k=AQ#,则称点A（或点B）是。C的伙相关依附点"，特别

地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ,上=看（或舞）.

已知在平面直角坐标系xoy中，Q（-l,0）,C（l,0）,0C的半径为r.

（1）如图1,当厂=也时，

①若Ai（0,l）是OC的"k相关依附点”，求k的值.

②A2（l+J5，0）是否为OC的"2相关依附点

（2）若OC上存在"k相关依附点"点M,

①当r=l,直线QM与OC相切时，求k的值.

②当斤=6时，求।■的取值范围.

（3）若存在r的值使得直线旷=-氐+人与OC有公共点，且公共点时OC的"若相关依

附点"，直接写出b的取值范围.

y

Q~c

备用图

【答案】（1）①②是；（2）①％=G；②r的取值范围是lWr<2；（3）

-A/3<Z?<3^•

【解析】

【分析】

(1)①如图1中，连接AC、2A.首先证明QA是切线，根据氏=弩计算即可解决

问题；

②根据定义求出k的值即可判断；

(2)①如图，当r=1时，不妨设直线QM与0c相切的切点M在X轴上方(切点M在

x轴下方时同理)，连接CM,则QMJ.CM,根据定义计算即可；

②如图3中，若直线QM与OC不相切，设直线与0c的另一个交点为N(不妨设

QN〈QM,点、N,M在x轴下方时同理)，作于点。，则可得

MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，CQ=2,推出

2

k=MQ+NQ=2D^=DQ可得当％=6时，OQ=G，此时8=性-Z5Q?=1,

假设OC经过点0,此时厂=2,因为点。早