四川省达州市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

四川省达州市2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.-|的相反数是（）

A.--B.--C.-D.-

2332

【答案】c

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：-1的相反数是I.

故答案为：C.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

2.如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（）

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：由三视图中主视图的定义，可知几何体的主视图为:

E_]

故答案为：A.

【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，由此可得答案.

3.实数V2+1在数轴上的对应点可能是（）

ABCD

.-4-3-2-101234

A.4点B.B点、C.C点、D.D点

【答案】D

【考点】实数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：:&a1.414,

V2+1«2.414,

它表示的点应位于2和3之间，

所以对应点是点D,

故答案为：D.

【分析】利用估算无理数的大小，可知e+1表示的点应位于2和3之间，即可得答案.

4.下列计算正确的是()

A.\[2+V3=V5B.3/-±3

C.a-a-1=l(a丰0)D.(—3a2b2)2=-6a4b4

【答案】C

【考点】同底数塞的乘法，二次根式的性质与化简，同类二次根式，积的乘方

【解析】【解答】解：A.V2+V3,不能合并，故该选项错误，

B.正司=3,故该选项错误，

C.a-a-1=l(a0)，故该选项正确，

D.(—3a2b2)2=9a4b4,故该选项错误，

故答案为：C.

【分析】只有他了二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的性质：必=|a|,可对B

作出判断；利用同底数基相乘的法则和零次嘉的性质，可对C作出判断；利用积的乘方法则，可对D作出

判断.

5.如图，一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后，反射光线CD与AB平行，当ZABM=

40°时，NDCN的度数为()

【答案】B

【考点】垂线，平行线的性质，镜面对称

【解析】【解答】如下图，过点B作BE1OM,过点C作CE1ON,BE与CE相交于点E

M

ZCBE=ZABE=90°-ZABM=50°

NABC=NABE+ZCBE=100°

•・,CD与AB平行

••・NBCD=1800-NABC=80°

e•,NBCE=NDCE,NBCE+NDCE=/BCD

•••/BCE=/DCE//BCD"

■■■/DCN=90°-/DCE=50°

故答案为：B.

【分析】过点B作BE_LOM,过点C作CELON,BE和CE交于点E,利用镜面反射可证得NCBE=NABE,

由此可求出NCBE,NABC的度数；利用平行线的性质，可求出NBCD的度数，同时可求出NBCE的度数；

然后根据NDCN=900-ZDCE,代入计算可求解.

6.在反比例函数7（k为常数）上有三点yi），B（x2,y2），C（x3,y3），若/<0<

x

%2<3，则yi>yz>的大小关系为（）

A.yi<y2<丫3B.y2<yi<丫3C.yx<y3<y2D.y3<y2<yi

【答案】C

【考点】反比例函数的性质

【解析】【解答】解：：fc2+1>0,

・••反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随X的增大而减小，

B（X2,V2）,c（X3,y3）是双曲线y=B上的两点，且％3>%2>0，

.,.点B、C在第一象限，0—,

A（xi,yi）在第三象限，

yi<o,

%<丫3<•

故答案为：C.

【分析】利用非负数的性质，可知k2+l>o,利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第

一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用己知条件，可得到yi,y2,y3的大小关系.

7.以下命题是假命题的是（）

A.V4的算术平方根是2

B.有两边相等的三角形是等腰三角形

C.一组数据：3,-1,1,1,2,4的中位数是1.5

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】A

【考点】算术平方根，平行公理及推论，等腰三角形的判定，中位数，真命题与假命题

【解析】【解答】解：A,V4的算数平方根是V2,命题为假命题，符合题意；

B,有两边相等的三角形是等腰三角形，命题为真命题，不符合题意；

C,一组数据：3,-1,1,1,2,4的中位数是詈=1.5,命题为真命题，不符合题意；

D,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题为真命题，不符合题意,

故答案为：A.

【分析】利用算术平方根的性质，可对A作出判断；利用等腰三角形的定义，可对B作出判断；利用中

位数的求法，可对C作出判断；利用平行线公理，可对D作出判断，综上所述可得到是假命题的选项.

8.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12=1x10+2,212=2x

10X10+1X10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用O~F来表示0~15,满十六进

它与十进制对应的数如下表：

十进制012891011121314151617

十六进制01289ABC0EF1011

例：十六进制2B对应十进制的数为2x16+11=43,10C对应十进制的数为1X16x16+0X

16+12=268，那么十六进制中14E对应十进制的数为()

A.28B.62C.238D.334

【答案】D

【考点】有理数的加减乘除混合运算

【解析】【解答】由题意得，十六进制中14E对应十进制的数为：1x16x16+4x16+14=334,

故答案为：D.

【分析】利用已知条件生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，十六进制是满十

六进一，由此可得答案.

9.在平面直角坐标系中，等边AAOB如图放置，点A的坐标为(1,0),每一次将AAOB绕着点O逆

时针方向旋转60。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到』为。当，第二次旋转后得到

AA2OB2,依次类推，则点A2021的坐标为()

A.(-22020,-V3X22020)B.Q2021,-V3x22021)

C.(22020,-V3x2202。)D.(_22OII,—我x22021)

【答案】C

【考点】点的坐标，等边三角形的性质，坐标与图形变化-旋转

【解析】【解答】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，

••2021+6=371...........5,

42021点在第四象限，042021=22°21,ZxOA2Q2X=60°,

二点402。的横坐标为22021=22020,纵坐标为一些X2202]=一百X2202。，

•••^2021（22020,-V3x22020）,

故答案为：C.

【分析】利用已知条件，可知点A每6次绕原点循环一周，由此可推出点A2021在第四象限，再利用旋转

的性质及等边三角形的性质，分别求出OA2021,NXOA2021的度数；然后求出点A2021的坐标.

10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，arO）经过点（2,0）,且对称轴为

直线x=|,有下列结论：①abc>0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a,

b,c取何值，抛物线一定经过七，。）；⑤4am2+4bm-b>0.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数

y=axA2+bx+c的性质

【解析】【解答】①图象开口朝上，故a>0,根据对称轴"左同右异"可知b<0,

图象与y轴交点位于x轴下方，可知c<0

:.abc>0

故①正确；

②%=-/=[得£1=一匕

・•・Q+b=0

故②错误；

③vy=ax2+bx+c经过（2,0）

・•・4Q+2b+c=0

又由①得c<0

4a+2b+3cV0

故③正确；

④根据抛物线的对称性，得到、=2与％=-1时的函数值相等

:.当%=-1时y=0,即a—b+c=O

•・,a=-b

••・2Q+c=0即三=—1

:.y=ax2+bx+c经过（点,0）,即经过（—1,0）

故④正确；

⑤当%=|时，y=+c,当x=m时，y=am2+bm+c

va>0

・,・函数有最小值:Q+：b+c

42

11

••・am9£+bm+cN-a+-b+c

42

2

化简得4am+4bm—b>0f

故⑤正确.

综上所述：①③④⑤正确.

故答案为：D.

【分析】观察函数图象，利用抛物线的开口向上，可得到a的取值范围，抛物线与y轴的交点在y轴的负

半轴，可得到c的取值范围，根据左同右异，结合a的取值范围，可得到b的取值范围，由此可得到abc

的符号，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴为直线％=-方=：,可对②作出判断；抛物线经过

点（2,0）及c<0,可得到4a+2b+3c的符号，可对③作出判断；利用抛物线的对称性可知x=2和x=-l时

的函数值相等，可对④作出判断；分别求出当xg和x=m时的函数值，再根据当时函数有最小值，由

此可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.

二、填空题（共5题；共5分）

11.截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2,惠及建档立卡贫困户8.96万人.将

392.5亿元用科学记数法表示应为元.

【答案】3.925X1O10

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：1亿=108

将392.5亿元用科学记数法表示392.5亿=3.925x102x108=3.925x101。元.

故答案为：3.925X1O10.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：axion,其中is|a|<10,此题是绝对值较大的数，因此n=

整数数位-1（1亿=1。8）.

12.如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3,则输出y值为.

-y=kl-l（xW4）-

Ty=2x+3（x>4）

【答案】2

【考点】函数值

【解析】【解答】解：••・x=3V4

把x=3代入y=|x|-1(%<4),

解得：y=|3|-1=2,

y值为2,

故答案为：2.

【分析】x=3<4,因此将x=3代入y=|x|-l进行计算，可求出结果.

13.已知a,b满足等式a2+6a+9+=0,则。2。21b2。2°=.

【答案】-3

【考点】有理数的乘方，积的乘方，非负数之和为0

【解析】【解答】解：由a?+6a+9+=0，变形得(a+3)2+炉1=0,

Q+3=0,b—~=0,

••CL——3,b——,

3

a2021b2°20=(—3)2021x(|)2020=(_3)x(_3)2020x(|)2020=(_3)x(.3XA)2020=,3

故答案为：-3

【分析】将已知条件转化为(a+3)2+Jb-l=0,再利用几个非负数之和为0,则每一个数都为0,

可建立关于a,b的方程组，解方程组求出a,b的值，然后将a,b的值代入代数式进行计算.

14.若分式方程隼1—4=二中的解为整数，则整数a=

【答案】+1

【考点】解分式方程

【解析】【解答】解：笞一4=昔，

x-lX+1

2x—a—2x+a

----------------=4

x-lx+1

(2x—a)(x4-1)—(a-2x)(x—1)

-------------------------------=4

(%-l)(x+1)

整理得：X

若分式方程哲-4=二千的解为整数，

x-lX+1

••a为整数，

当<1=±1时，解得：x=±2,经检验：X-1r0,x+1力0成立；

当a=±2时，解得：x=±l,经检验：分母为0没有意义，故舍去；

综上：a=±1,

故答案是：±1.

【分析】先求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数，可求出符合题意的整数a的值.

15.如图，在边长为6的等边AABC中，点E,F分别是边AC,BC上的动点，且AE=CF,连

接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为.

【答案】2V3

【考点】解直角三角形，三角形全等的判定（SSS）,三角形全等的判定（SAS）,三角形-动点问题

【解析】【解答】如图所示，•••边长为6的等边AABC,

ZCAB=60°

又：AE=CF

△ACF=△BAEVAS)

/CAP=NPBA

/EPA=ZPBA+ZPAB=NCAP+ZPAB=NCAB=60°

/APB=120°

.・•点P的运动轨迹是以。为圆心，OA为半径的弧

此时ZAOB=120°

连接C。交。。于P',当点P运动到P'时，CP取到最小值

•••CA=CB,CO=CO,OA=OB

△ACO=△BCO(SSS)

•­.ZACO=NBCO=30°,ZAOC=ZBOC=60°

NCAO=NCBO=90°

又AC=6

0Pf=OA=AB-tan300=6x—=273,℃="百

32

CP'=OC-OP,=4V3-2V3=2V3

即C%in=2V3

故答案为：26

【分析】以AB为直径作圆，利用等边三角形的性质，可证得AB=AC,NACBNCAB,利用SAS证明

△AC0ABAE,利用全等三角形的性质可证得NCAP=NPBA,由此可证得NAPB=120。；可推出点P的运动

轨迹是以。为圆心，0A为半径的弧，此时NAOB=120。，连接CO交。。于P',当点P运动到P'时，

CP取到最小值；再利用SSS证明△ACO2ABCO,利用全等三角形的性质，可求出NCAO=NCBO=90。；然

后利用解直角三角形分别求出OP',OC,CP'的长，即可得到CP的最小值.

三、解答题(共10题；共90分)

16.如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，4B在x轴

上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M,反比例函数y=^(x<0)的图象恰

好经过点F,M,若直尺的宽CD=1,三角板的斜边FG=4,则k=.

【答案】-12

【考点】矩形的性质，等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：过点M作MNJ.4D,垂足为N,则MN=CD=1,

在Rt4FMN中，"FN=45°,MN=1,

•••FN=MN=1,

又「FG=4,

NA=MB=FG-FN=4—1=3,

设。4=a,则OB=a+1,

二点F(—a,4)>M(—a—1,3)>

又•••反比例函数y=：(x>0)的图象恰好经过点F,M.

・•・k=-4a=3(—a—1),

解得，Q=3,k.=—12,

故答案为：-12.

【分析】过点M作MN_LAD于点N,可得到MN=CD=1,利用等腰直角三角形的性质可求出FN的长，从

而可求出NA的长；设OA=a,可表示出OB的长，即可得到点F和点M的坐标；再利用反比例函数图象上

点的坐标特点，可建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到k的值.

17.计算：—I?+（几—2021）°+2sin600—11—V31

【答案】解：原式=—l+l+2x学一（百一1）

=1

【考点】实数的运算，0指数累的运算性质，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并

即可.

18.化简求值：（1-石）+（—三），其中a与2,3构成三角形的三边，且a为整数.

a—2a£—4a+4

【答案】解：原式=a-2-3a+l。处变=-2(a-4)(a-2)^=—2a+4;

a—2a—4a—2a—4

12,3,a为三角形的三边，

3-2VQ<3+29

1<a<5,

a为整数，

a=2,3或4,

由原分式得Q-2H0,Q-4H0,

QW2且Q04,

a=3,

原式二-2a+4=-2x3+4=-2

【考点】利用分式运算化简求值，三角形三边关系

【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简；再利用三

角形的三边关系定理及分式有意义的条件，可求出符合题意的a的值；然后将a的值代入化简后的代数式

求值即可.

19.为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展"童心向党”教育实践活动,

某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动.为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分

学生进行“你愿意参加哪一项活动"（必选且只选一种）的问卷调查.根据调查结果绘制了条形统计图和扇形

统计图，部分信息如下:

唱歌舞蹈书法国学活动名林、,

诵读

（1）这次抽样调查的总人数为人，扇形统计图中"舞蹈”对应的圆心角度数为.

（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人?

（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男

一女的概率.

【答案】（1）200；108°

（2）解：1400X^=560（人）

答：估计选择参加书法的有560人

（3）解：记两名男生分别为：4,A2,两名女生分别为：Bj,B2,则列表如图所示:

第一次

4142BIB

第二次2

为B2Al

4241^28通2.B2A2

Bi4出^2^1B2B1

4/2ABB$2

B222

共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种,

，恰好抽到一男一女的概率为P=卷=|，

答：恰好抽到一男一女的概率为|

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答】（1）由题意，总人数为：36-18%=200（人），

"舞蹈”的人数：200-36-80-24=60（人），

••・扇形统计图中，"舞蹈”对应的圆心角为：黑x360°=108°,

故答案为:200；108°；

【分析】（1）这次抽样调查的总人数=参加唱歌的人数十参加唱歌的人数所占的百分比，列式计算；扇形

统计图中"舞蹈"对应的圆心角度数=360。、参加“舞蹈"的人数所占的百分比，列式计算即可.

（2）利用该校的人数x参加书法的人数所占的百分比，列式计算.

（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列表，求出所有的可能的结果数及恰好抽到一男一女的情况数，

然后利用概率公式可求解.

20.如图，在平面直角坐标中，AABC的顶点坐标分别是4（0,4）,B（0,2）,C（3,2）.

/

(1)将AABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的44B1G；

(2)将AABC平移后得到41282c2，若点A的对应点A2的坐标为(2,2),求AA^C2的面积

【答案】(1)解：延长AO至4,使得4。=&O；延长BO至Bi,使得BO=B］。；延长co至

G,使得CO=Ci。；再连接即得旋转后对应的/48修1,如下图所示：

(2)解：由题意4(0,4),B(0,2),C(3,2),平移后得到AA2B2C2,其中/12(2,2),根据平移的规

律知，平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得：B2(2,0),C2(5,0),

再连接点AltC1(C2，得441cle2,其中口。2交y轴于点D，如上图所示：

SA&QC2=SAAQD+SA^DCZ

由。1(一3,-2),。2(5,0)得出直线C&的方程如下：

直线C&：y=；x-^

当x=0时，y=—|

11

・•・ArD=Y

SAAGCZ=SA4[Q。+S4A\DC2

11

=3xA^D,C]B]4~—xA^D,OC2

111„,111_-

=-x—X3+-X—x5=ll

2424

故SAAQCZ=11•

【考点】三角形的面积，作图-平移，作图-旋转

【解析】【分析】(1)利用旋转的性质，将△ABC绕着点。旋转120。，可得到AAiBiCi.

(2)利用平移的性质，由点A和点A2的坐标，可得到平移方法，再画出4A2B2c2；再利用待定系数法求

出直线JC2的函数解析式，即可求出点D的坐标，然后根据SAA1C1C2=SAA1C1D+SAA1DC2,利用三角形的面

积公式可求解.

21.2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，

桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点4的仰角为

35°,CD平行于水平线BM,CD长为16V3米，求桥墩AB的高(结果保留1位小数).(sin35°

*0.57,cos35°«0.82，tan35°Z0.70,V3x1.73)

【答案】解：如图所示，延长DC交AB于点E,则EDIIBM.

•.ZAED=ZABM=90°,ZECB=ZCBM=30".

在Rt△BCE中，

•••ZECB=30°,BC=48米，

BE=-BC=-x48=24（米）.

22

CE=y/CB2-BE2=V482-242=24A/3（米）.

•1•DE=CD+CE=16V3+24V3=40V3（米）.

在Rt△ADE中，

tan^ADE_—,

—DE

AE=DE-tan35。«40x1.73x0.70=48.44（米）.

AB=AE+BE=48.44+24〜72.4（米）.

答：桥墩AB的高约为72.4米.

【考点】勾股定理，解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】延长DC交AB于点E,贝IJEDIIBM.,可证得NAED=NABM=90。，NECB=NCBM=30。，在

RSBCE中，利用直角三角形的性质可求出BE的长；再利用勾股定理求出CE的长，即可求出DE的长；然

后利用解直角三角形求出AE的长，从而可求出AB的长.

22.渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定

为48元/千克时，每天可销售500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施.批

发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.

(1)写出工厂每天的利润IV元与降价x元之间的函数关系.当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

【答案】(1)解：若降价x元，则每天销量可增加50x千克，

W=(500+50x)-(48-x-30),

整理得：W=-50x2+400x4-9000,

当x=2时，W=-50x22+400x2+9000=9600,

每天的利润为9600元

(2)解：W=-50%2+400%+9000=-50(x-4)2+9800,

-50<0,

.,.当x=4时，W取得最大值，最大值为9800,

.•・降价4元，利润最大，最大利润为9800元

(3)解：令W=9750,得：9750=-50(x-4)2+9800,

解得：比1=5,%2=3,

V要让利于民，

x=5,48—5=43(元)

定价为43元.

【考点】二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)利用利润=每千克的利润x销售量，列出W与x之间的函数解析式，然后将x=2代

入函数解析式可求出结果.

(2)利用二次函数的性质，可求出最大利润.

(3)根据W=9750,建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用已知条件可得到符合题意的x的值，

然后求出定价.

23.如图，AB是。。的直径，C为。。上一点(C不与点A,B重合)连接AC,BC,过

点C作CD14B,垂足为点D.将AACD沿AC翻折，点D落在点E处得AACE,4E交。

。于点F.

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）若ZBAC=15°,0/4=2,求阴影部分面积.

【答案】（1）证明：如图，连接0C,

,/CD1AB,

ZCDA=90°,

・•,AACD翻折得到AACE,

ZEAC=ZDAC,ZE=ZCDA=90°,

ZEAD=2ZDAC,

,/0A=0Cz

・•.Z0AC=ZOCA

ZCOD=2ZOAC,

ZCOD=ZEAD,

OC//AE,

/.ZECO=180°-ZE=90°,

OC±EC,

CE是OO的切线

（2）解：如图，连接OF,过点。作0G14E于点G,

•・•ZE=ZECO=90°,

四边形OCEG为矩形.

ZBAC=150，04=2,

・•・ZBAE=2^0AC=30°，

0G=10A-1,

AG=y/OA2-OG2=V3,

OGJ.AE于点G,0A=0F=2,

GF=AG=V3-ZFAO=ZAFO=30°,

OC〃AE,

ZCOF=ZAFO=30",

矩形OCEG面积为0c•OG=2X1=2,

△面积为-OG-GF=-XlXy/3=—，

OGF222

扇形COF面积为丑叱_工兀

360—3

阴影部分面积=矩形OCEG面积-AOGF面积-扇形COF面积=2-立-工〃

23

【考点】圆的综合题

【解析】【分析】(1)利用垂直的定义可知NCDA=90。，利用折叠的性质可得到NEAD=2NDAC,

NE=NCDA=90。，利用等腰三角形的性质去证明NC0D=NEAD,由此可推出OCIIAE,可推出COJLEC,利

用切线的判定定理，可证得结论.

(2)连接0F,过点。作OGLAE于点G,易证四边形OCEG是矩形，再证明NBAE=30。，利用30。角所对

的直角边等于斜边的一半，求出0G的长；利用勾股定理求出AG的长，GF的长及NCOF的度数；然后利

用阴影部分面积=矩形OCEG面积-AOGF面积-扇形COF面积，利用三角形、扇形、矩形的面积公式可求出

阴影部分的面积.

24.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：

(观察与猜想)

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB，AD上的两点，连接DE,CF,DE1

(2)如图2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且

CELBD,则啜的值为.

DD

Ab

2

（3）如图3,在四边形ABCD中，4==90°,点E为4B上一点，连接DE,过点C作

DE的垂线交ED的延长线于点G,交40的延长线于点F，求证：DE-AB=CF-AD；

(4)如图4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tan^ADB=g，将AABD沿BD翻

折，点A落在点C处得ACBD，点E,F分别在边AB,AD上，连接DE,CF,且DE_L

CF.

①求行的值；

②连接BF,若4E=1,直接写出BF的长度.

【答案】（1）1

（2）,（类比探究）

（3）解：如图，过点C作CH1AF交AF的延长线于点H,

•••CGLEG,4=4=90°,

•1-/G=/H=/A=/B=90°,

四边形ABCH为矩形，

•1•AB=CH,ZFCH+/CFH=/DFG+/FDG=90

•••/CFH=/DFG,

•••ZFCH=ZFDG,

•••ZEDA=/FDG,

•••/FCH=ZEDA,

4TqZEDA=ZFCH

在ZkOEA和△CFH中，｛

力=々=90°

△DEA~&CFH,

.DE_AD

・.CF~CH'

.DE_AD

・・CF~AB）

「・DE・AB=CF•AD

（拓展延伸）

（4）解：①过C作CG_L4D于点G,连接AC交BD于点H

CF1DE,ZBAD=90°，

ZFCG+ZCFG=/CFG+^EDA=90°

ZFCG=ZEDA，

在△DEA和△CFG中，｛ZEDA="FC。

ZEAD=ZFGC=90°

△DEACFG,

.DE_AD

-CF~CG9

在RtUBD中，tan^ADB=-=-,AD=9,

AD3

AB=3,

在RMADH中,tanZADH=-=-,

DH3

设AH=a,贝ijCH=3a,

AH2+DH2=AD2,即a?+（3a）2=92,

0=5”^或£1=一2可（舍去），

AH=—V10,DH=—V10,

1010

由翻折的性质得：DH1AC,AC=2AH=|V10,

■■ShADC=^ACDH=^ADCG,

iX|V10XV10=X9CG,

解得CG—~~,

DE_AD_9_5

彳=而=掾=I;

②由⑷①已证：△DEA-△CFG,黑=|，

AEDE5

:.—=----=—,

FGCF3

•・•4E=1,

♦=>解得FG=l，

由翻折的性质得：CD=AD=9,

在RtZkCDG中，DG=>JCD2-CG2=y,

AF=AD-FG-DG=9,

555

在R£△ABF中，BF=yjAB24-AF2=^32+(|)2=|V29

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

【解析】【解答】解：(1)・・•四边形ABCD是正方形，

・•・AD=DCtZA=NCDF=90°,

・・・ZADE+ZCDE=90°,

vDE1CF,

・•・NDCF4-NCDE=90°,

・・・ZADE=NDCF,

ZA=NCDF=90°

在bADE和LDCF中，｛AD=DC,

ZADE=/DCF

..^ADE^^DCF^ASA),

ADE=CF,

DE3

造=1；

(2)v四边形ABCD是矩形，

・•・ZA=NCDE=900,

・•・NADB+NCDB=90°,

vCE1BD,

:.ZDCE+ZCDB=90°,

・•・ZADB=ZDCE，

“力q,4=/CDE=90°

在>ADB和LDCE中，｛,

ZADB=ZDCE

ADBDCE,

CECD4

:.—=——=—•

BDAD7

【分析】(1)利用矩形的性质可证得AD=DC,NA=NCDF,再利用垂直的定义及余角的性质可推出

ZADE=ZDCF,利用ASA可证得△ADE2△DCF,利用全等三角形的对应边相等可得到DE=CF,由此可求出

DE与CF的比值.

(2)利用矩形的性质及余角的性质，可推出NADB=ZDCE,利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证

得4ADB。ADCE,利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE与BD的比值.

(3)过点C作CH_LAF交AF的延长线于点H,易证四边形ABCH是矩形，利用矩形的性质去证明

ZFCH=ZEDA,AB=CH；利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAE-△CFH,利用相似三角形

的对应边成比例，可证得结论.

(4)①过点C作CG_LAD于点G,连接AC交BD于点H,利用垂直的定义和余角的性质可证得

ZFCG=ZEDA,利用相似三角形的判定定理可得到△DEA”△CFG,利用相似三角形的性质可得对应边成

比例；再利用解直角三角形求出AB的长，设AH=a,可表示出DH的长，利用勾股定理建立关于a的方程，

解方程求出a的值，即可得到AH,DH的长；再利用折叠的性质及三角形的面积公式可求出CG的长，由

此可求出DE与CF的比值；②利用①的过程可知AE与FG的比值，由此可求出FG的长；利用折叠的性

质可得到CD的长，利用勾股定理求出DG的长，根据AF=AD-FG-DG,可求出AF的长；然后利用勾股定理

求出BF的长.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y--x2+bx+c交x轴于点A和C(1,O)，交y轴于点

8(0,3)，抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE，,旋转角为a(0°<a<90。)，连接

AE7,BE，，求BE'+q4E'的最小值.

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A,B,M,N为顶点

的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】(1)解：：y=-x2+bx+c过C(l,0),B(0,3)

.f-l+b+c=0

-tc=3

..b=-2,c=3

二抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3

(2)解：在OE上取一点D,使得OO=1OE,连接AE',BD

4

/中

OD=(OE=3OE，

对称轴x=^-=-l.

.■.E(—1,0),OE=1

OE