小学五年级奥数第2课《质数、合数和分解质因数》试题附答案

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第2课《质数、合数和分解质因数》试题附答案

一、基本慨念和知识

L质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素

数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把3吩解质因数。

解：30=2X3X5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12=2X2X3=2*3,2,3都叫做12的质因数。

二、例题

例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.

例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?

例3自然数12345678混质数，还是合数？为什么？

例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

例6有三个自然数，最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数，且三数的乘

积是42560.求这三个自然数。

例7有3个自然数a、b,c.已知aXb=6,bXc=15,

例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

例9问360共有多少个约数？

例10求240的约数的个数。

答案

二、例题

例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.

解：•:210=2X3X5X7

・•・可知这三个数是5、6和7。

例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少？

解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：

40=17+23=11+29=3+37。

V17X23=391>UX29=319>3X37=Uh

..•所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么?

解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。

例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数

(如:1~9中有4个质数2、3、5、7)。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数，

而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个

奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

解：V5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5,

这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14

(=2X7)放在第一组，那么7和6(=2X3)只能放在第二组，继而15(=

3X5)只能放在第一组，贝U5必须放在第二组。

这样14X15=210=5X6X7。

这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。

例6有三个自然数，最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数，且三数的乘

积是42560.求这三个自然数。

分析先大概估计一下，30X30X30=27000,远小于42560.40X40X40=

64000,远大于42560.因此，要求的三个自然数在30~40之间。

解：42560=26X5X7X19

=25X(5X7)X(19X2)

=32X35X38（合题意）

要求的三个自然数分别是32、35和38。

例7有3个自然数a、b、c.己知aXb=6,bXc=15,

aXc=10.求aXbXc是多少？

解：:6=2X3,15=3X5,10=2X5。

(aXb)X(bXc)X(aXc)

=(2X3)X(3X5)X(2X5)

：z:22:

.•.aXbXc=2X3X5

(aXbXc)2=(2X3X5)z

aXbXc=2X3X5=30

在例7中有a2=22,b:=3:,e=52,其中V=4,32=9,5?=25,像4、9、25

这样的数，推及一般情况，我们才

fruI诟一

如.IT22=4,32=9,42=16,…，112=121,12』144,…其中1,4,9,

16,121,144,…都叫做完全平方数.

下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数

有什么特征。

例如：把下列各完全平方数分解质因数：

9,36,144,1600,275625。

解：9=3236=22X32144=32X24

1600=2sX5:275625=3^X5：X7:

可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。

反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，

那么这个自然数一定是完全平方数。

如上例中，36=62,144=122,1600=40%275625=525%

例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

分析:a与1080的乘积是一个完全平方数，

，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：：1080Xa=23X33X5Xa,

又「1080=23X3这5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

遍含质因数2、3、5,因此遇小为2X3X5。

/.1080Xa=1080X2X3X5=1080X30=32400o

答：a的最小值为30,这个完全平方数是32400。

例9问36哄有多少个约数？

分析360=2?义3?X5。

为了求36哺多少个约数，我们先来看32X5有多少个约数，然后再把所有

这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到VX32X5(=360)的所有约数.为了求

32X5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以

L3、32,即得到32X5的所有约数。

解：记5的约数个数为匕，

3?X5的约数个数为Y],

360(=2SX32X5)的约数个数为Y.由上面的分析可知：

Y.=4XY.,Y.=3XY,

显然Y】=2(5只有1和5两个约数)。

因此Y?=4XY.=4X3XY】=4X3X2=24。

所以360共有24个约数。

说明：X=4XY；中的“4”即为“1、2,2入2：”中数的个数，也就是其中

2的最大指数加1,也就是360=2>32X5中质因数2的个数加1；Y-=3XY冲的

“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是2"32X5中质因数3的个数加1；而

Y1=2中的"2”即为“1、5”中数的个数，即2咏3咏5中质因数5的个数加1.因

北

Y,=(3+1)X(2+1)X(1+1)=24。

对于任何一个合数，用类似于对23X32X5(=360)的约数个数的讨论方

式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指

数)力口1的连乘的积。

例10求240的约数的个数。

解：♦..240=24><3。51,

...240的约数的个数是

(4+1)X(1+1)X(1+1)=20,

.■，24南0个约数。

请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？

习题二

1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子

数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？

3.五个相邻自然数的乘积是55M0,求这五个自然数。

4.自然数谏以338,恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。

5.求10500的约数共有多少个？

五年级奥数上册：第二讲质数、合数和分解质因数习题解答

习题二解答

I/.,105=3X5X7,

105=1X105=3X35=5X21=7X15,

二•共有4种。

2分析

每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。

横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.

解：11112222=3333X3334

答案为3334。

3/7、8,9、10、llo

4分析

;自然数探以338,恰好是自然数b的平方，

二.a与338的积分解质因数以后，每个质因数的个数之和都是偶数。

解：:338=2X13X13,

：.a=2,b=2X13=26o

5.解：..70500=22X3X53X7,

又「(2+1)X(1+1)X(3+1)X(1+1)=48。

10500的约数共有48个一

附：奥数技巧分享

分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。

技巧1：培养孩子数字感

要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数

字感呢？最简单的方法，就是让孩子去超市购物，自己算账，把自己的日常开销交给孩子进

行计算。

不但可以练就孩子熟能生巧的技巧，还能让孩子早点持家，懂得金钱来之不易，好好学习的

道理，一箭双雕！

小学奥数中，很多题型都是有规律的计算题，希望家长能够注重孩子的计算能力的培养，从

数字感的培养练就孩子基本的奥数素质能力哦。

技巧2：培养孩子敏锐的观察能力

奥数题目中有一类题目就是移动火柴或者根据已有图案进行图案相关的规律的填充，此类型

的题目考核的就是学生的观察能力，所以我们希望家长从小就开始培养孩子的观察能力。

比如，给孩子的额外作业就是观察家里的变化，写日记，或者观察老师讲课的方式