安徽省黄山市徽州中学2024届数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

安徽省黄山市徽州中学2024届数学高二下期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．2．已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．3．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（）A． B． C． D．5．下列判断错误的是A．若随机变量服从正态分布，则B．“R，”的否定是“R，”C．若随机变量服从二项分布：，则D．“<”是“a<b”的必要不充分条件6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．7．已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．8．将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（）种A．12 B．36 C．72 D．1089．欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）A． B． C． D．10．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x0∈R使得”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”11．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A．24 B．60 C．72 D．12012．已知为虚数单位，复数满足，在复平面内所对的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________．14．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.15．在的展开式中，常数项的值为______．16．一个总体有200个个体，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则分组间隔为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）频数22504502908（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.附:若，则，18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示）19．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.（1）证明：.（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.20．（12分）设，，其中a，．Ⅰ求的极大值；Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求a的最大值；Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使成立，求b的取值范围．21．（12分）已知函数（1）若在其定义域上是单调增函数，求实数的取值集合；（2）当时，函数在有零点，求的最大值22．（10分）已知锐角的三个内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】总排法数为，故选C．点睛：本题是排列中的相邻问题，用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的三人捆绑在一起作为一个人，和其他3人看作是4人进行排列，第二步这三人之间也进行排列，然后用乘法原理可得解．2、A【解题分析】

根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【题目详解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故选：A．【题目点拨】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．3、B【解题分析】

由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.【题目详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，因为，所以函数与函数唯一交点为，又因为，且，所以，即函数在上单调递减函数，又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，所以可得与函数的大致图象，如图所示，所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，则，因为，则，，所以，解得，又因为，所以实数的范围为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4、B【解题分析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，故选B.点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.5、D【解题分析】

根据题目可知，利用正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质逐项分析，得出答案．【题目详解】（1）随机变量服从正态分布，故选项正确．（2）已知原命题是全称命题，故其否定为特称命题，将换为，条件不变，结论否定即可，故B选项正确．（3）若随机变量服从二项分布：，则，故C选项正确．（4）当时，“a<b”不能推出“<”，故D选项错误．综上所述，故答案选D．【题目点拨】本题是一个跨章节综合题，考查了正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质四个知识点．6、C【解题分析】

先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【题目详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.【题目点拨】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7、A【解题分析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.【题目详解】椭圆的方程，双曲线的方程为，则椭圆离心率，双曲线的离心率，由和的离心率之积为，即，解得，所以渐近线方程为，化简可得，故选：A.【题目点拨】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.8、B【解题分析】试题分析：第一步从名实习教师中选出名组成一个复合元素，共有种，第二步把个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有,根据分步计数原理不同的分配方案有种，故选B．考点：计数原理的应用．9、C【解题分析】

先由题意得到，进而可求出结果.【题目详解】由题意可得：，所以虚部为.故选C【题目点拨】本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型.10、C【解题分析】命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．综上可得只有C正确．11、B【解题分析】

由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不同的排法.本题选择B选项.12、B【解题分析】

化简得到，得到答案.【题目详解】，故，故对应点在第二象限.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简，对应象限，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】分析：求出二阶导数，再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．详解：，，由得，，即的图象关于点对称，∴，∴．故答案为1．点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．14、【解题分析】

建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【题目详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以为z轴，建立空间直角坐标系.则点，所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，.因为BC⊥BP,所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15、84【解题分析】

由的展开式的通项公式，再由求解即可.【题目详解】解：由的展开式的通项公式，令，即，即展开式的常数项为，故答案为：84.【题目点拨】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.16、10【解题分析】

系统抽样的抽样间隔为200÷20=10，可得答案．【题目详解】利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本.所以应该将总体编号后分成20组，每组200÷20=10个所以分组间隔为10.故答案为：10.【题目点拨】本题考查系统抽样的定义和方法，考查系统抽样的抽样间隔，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）51；（2）805；（3）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据中位数定义列式解得中位数，（2）由正态分布得旅游费用支出在元以上的概率为，再根据频数等于总数与频率乘积得人数.(3)先确定随机变量取法，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）设样本的中位数为，则，解得，所得样本中位数为（百元）.（2），，，旅游费用支出在元以上的概率为，，估计有位同学旅游费用支出在元以上.（3）的可能取值为，，，，，，，，∴的分布列为.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；（2）由于，可得或其补角为异面直线和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的边角关系即可得出【题目详解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其补角为异面直线和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，异面直线和所成的角是【题目点拨】本题考查三棱锥体积公式的计算，异面直线所成的夹角，属于基础题19、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

（1）以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点P的位置．【题目详解】（1）证明：如图，以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，从而，，，所以．（2）平面ABC的一个法向量为，则（※）．而，当最大时，最大，无意义，除外，由（※）式，当时，，．（3）平面ABC的一个法向量为．设平面PMN的一个法向量为，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为，∴，解得．故点P在的延长线上，且．【题目点拨】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．20、（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解题分析】

Ⅰ求出的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得的极大值；Ⅱ当，时，求出的导数，以及的导数，判断单调性，去掉绝对值可得，构造函数，求得的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；Ⅲ求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围．【题目详解】Ⅰ，当时，，在递增；当时，，在递减．则有的极大值为；Ⅱ当，时，，，在恒成立，在递增；由，在恒成立，在递增．设，原不等式等价为，即，，在递减，又，在恒成立，故在递增，，令，，∴，在递增，即有，即；Ⅲ，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．由题意