广东深圳平湖外国语学校2024届高二数学第二学期期末预测试题含解析

广东深圳平湖外国语学校2024届高二数学第二学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的最大值为，最小值为，则等于（）A．0 B．2 C．4 D．82．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量y(单位:千瓦·时)与气温x(单位:oC)之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,x（单位：oC171410-1y（单位：千瓦•时）24343864由表中数据得线性回归方程:y=-2x+a,则由此估计:当某天气温为12oC时,A．56千瓦•时 B．36千瓦•时 C．34千瓦•时 D．38千瓦•时3．已知函数是奇函数，当时，，当时，，则的解集时（）A． B．C． D．4．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．19635．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）A． B． C． D．6．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是()A． B． C． D．7．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则等于（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试，考完后，甲说：我没有通过，但丙已通过；乙说：丁已通过；丙说：乙没有通过，但丁已通过；丁说：我没有通过．若四人所说中有且只有一个人说谎，则科目二考试通过的是（）A．甲和丁 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丙9．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）10．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．9211．已知函数满足，在下列不等关系中，一定成立的（）A． B．C． D．12．已知函数，则函数的定义域为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．14．若是定义在上的可导函数，且，对恒成立．当时，有如下结论：①，②，③，④，其中一定成立的是____．15．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．16．已知，则________.（用含的式子表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18．（12分）己知抛物线的顶点在原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是抛物线上一点，过点的直线交于另一点，满足与在点处的切线垂直，求面积的最小值，并求此时点的坐标。19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．20．（12分）在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与交于，两点，求的值.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，、分别是、中点.（1）证明：（2）求平面与平面所成锐二面角的值.22．（10分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，其中，且，，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

因为，所以是奇函数，则由奇函数的性质，又因为，，即，，故，即，应选答案C．2、B【解题分析】

计算出x和y的值，将点x,y的坐标代入回归直线方程，得出a的值，再将x=12代入可得出【题目详解】由题意可得x=17+14+10-14由于回归直线过样本的中心点x,y，则-2×10+a回归直线方程为y=-2x+60，当x=12时，y=-2×12+60=36（千瓦·【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点x,3、A【解题分析】

对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可．【题目详解】因为函数是奇函数，且当时，所以当，即：时，，当，即：时，可化为：，解得：.当，即：时，利用函数是奇函数，将化为：，解得：所以的解集是故选A【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．4、D【解题分析】,故最后一个样本编号为,故选D.5、B【解题分析】

可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果.【题目详解】中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况第一次取出两球连号的概率为：第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：中奖的概率为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率.6、B【解题分析】

根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【题目详解】关于的方程有实根设与的夹角为，则又又本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.7、B【解题分析】分析：根据题意，由焦点的位置可得，又由焦距为，即，再由双曲线的几何性质可得，即可求得.详解：根据题意，焦点在轴上的双曲线，则，即，又由焦距为，即，则有，解得.故选：B.点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围.8、C【解题分析】

逐一验证，甲、乙、丙、丁说谎的情况，可得结果.【题目详解】若甲说谎，则可知丁通过，但丁说没通过，故矛盾若乙说谎则可知丁没有通过，但丙说丁通过，故矛盾若丙说谎则可知丁通过，但丁说没有通过，故矛盾若丁说谎，则可知丙、丁通过了科目二所以说谎的人是丁故选：C【题目点拨】本题考查论证推理，考验逻辑推理以及阅读理解的能力，属基础题.9、C【解题分析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10、D【解题分析】1－1．2×1．4＝1．92，选D项．11、A【解题分析】

构造函数，求导后可知，则在上单调递增，由此可得，整理可得结果.【题目详解】令，则，在上单调递增，即本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，关键是能够准确构造函数，利用已知不等关系判断出导函数的符号，从而得到所构造函数的单调性.12、B【解题分析】

根据对数的真数大于零，负数不能开偶次方根，分母不能为零求解.【题目详解】因为函数，所以，所以，解得，所以的定义域为.故选：B【题目点拨】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用和表示出的长度，根据余弦定理建立的关系式；根据离心率的定义表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。详解：，所以解得在△中，根据余弦定理可得代入得化简得而所以的最小值为点睛：本题考查了圆锥曲线的综合应用。结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破，属于难题。14、①【解题分析】

构造函数，并且由其导函数的正负判断函数的单调性即可得解.【题目详解】由得即所以所以在和单调递增，因为，所以因为所以在不等式两边同时乘以，得①正确，②、③、④错误.【题目点拨】本题考查构造函数、由导函数的正负判断函数的单调性，属于难度题.15、.【解题分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【题目详解】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【题目点拨】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16、【解题分析】

通过寻找，与特殊角的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．【题目详解】因为，即，所以，所以，所以，又.【题目点拨】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解题分析】试题分析：(1)结合函数的解析式分类讨论可得不等式的解集为(2)原问题等价于，结合(1)中的结论可得时，，则实数的取值范围为试题解析：（1）由题得，，则有或或解得或或，综上所述，不等式的解集为（2）存在，使不等式成立等价于由（1）知，时，，∴时，，故，即∴实数的取值范围为18、（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最小值为，此时点坐标为．【解题分析】

（Ⅰ）设抛物线的方程是，根据焦点为的坐标求得，进而可得抛物线的方程．（Ⅱ）设，进而可得抛物线在点处的切线方程和直线的方程，代入抛物线方程根据韦达定理可求得，从而，又点到直线的距离，可得．利用导数求解．【题目详解】（Ⅰ）设抛物线的方程是，则，，故所求抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由抛物线方程为，得，则，∴直线方程为：，联立方程，得，由，得，从而，又点到直线的距离，∴．令，则，则，∴在上递减，在上递增，∴，面积的最小值为，此时点坐标为．【题目点拨】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系，考查了函数思想，属于中档题．19、（1）；（2）【解题分析】

将函数写出分段函数形式，再分段解不等式。不等式的解集非空即。【题目详解】(1)或或无解或或或原不等式的解集为(2)若要的解集非空只要即可故的取值范围为【题目点拨】本题考查含绝对值的不等式，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题。20、(1)；.(2).【解题分析】分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线，将方程两边同时乘以，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.详解：（1）由（为参数），可得的普通方程为，又的极坐标方程为，即，所以的直角坐标方程为．（2）的参数方程可化为（为参数），代入得：，设，对应的直线的参数分别为，，，，所以，，所以．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的知识，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义等，在解题的过程中，需要注意韦达定理的应用以及直线的参数方程是否是标准式.21、（1）证明见