百校大联考全国名校联盟2024届数学高二第二学期期末经典试题含解析

百校大联考全国名校联盟2024届数学高二第二学期期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.802．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（）A． B． C． D．3．已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．4．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）A． B． C． D．15．已知，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线所围成的图形的面积为（）A． B． C． D．7．已知随机变量的取值为，若，，则（）A． B． C． D．8．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A． B． C． D．9．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-310．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A． B． C． D．11．已知双曲线，两条渐近线与圆相切，若双曲线的离心率为，则的值为（）A． B． C． D．12．用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知棱长为的正方体中，，分别是和的中点，点到平面的距离为________________．14．复数的虚部为______．15．数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，，的标准差为，数据，，，，的标准差为，则________16．若向量，，，，且，则与的夹角等于________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与均值.附:参考数据与公式若，则=0.9544，18．（12分）的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=4，椭圆C:x24+y2=1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD（1）求k1（2）记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC，是否存在常数λ，使得（3）求证：直线AC必过点Q．20．（12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性：（Ⅱ）若函数的两个零点为，且，求证：.21．（12分）设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.22．（10分）已知函数．(1)若，当时，求证：．(2)若函数在为增函数，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．2、B【解题分析】

根据展开式中二项式系数最大的项是，由此求出它的系数．【题目详解】的展开式中，二项式系数最大的项是其系数为-1．

故选B.．【题目点拨】本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．3、B【解题分析】

由平移变换得到，由偶函数的性质得到，从而求.【题目详解】由题意得：，因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，所以当时，函数取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因为，所以当时，，故选B.【题目点拨】平移变换、伸缩变换都是针对自变量而言的，所以函数向右平移个单位长度后得到函数，不能错误地得到.4、A【解题分析】

先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.【题目详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，所以左边增加的项数为.故选：A【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5、C【解题分析】

构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【题目详解】由题意，，，设，，设，，在单调递减，且，,所以在递减，，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围，可得减区间.6、C【解题分析】

根据余弦函数图象的对称性可得，求出积分值即可得结果.【题目详解】根据余弦函数图象的对称性可得，故选C.【题目点拨】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．7、C【解题分析】

设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得．【题目详解】设，，①，又②由①②得，，，故选：C.【题目点拨】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8、A【解题分析】由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：，双曲线过点，则：，整理可得：，结合可得：，则双曲线方程为：.本题选择A选项.9、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【题目详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．10、C【解题分析】

先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【题目详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【题目点拨】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11、A【解题分析】

先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.【题目详解】渐近线方程为：，又因为双曲线的离心率为，，所以，故渐近线方程为，因为两条渐近线与圆相切，得：，解得；故选A。【题目点拨】本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.12、C【解题分析】

根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.【题目详解】命题“若，则”，要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，所以正确的反设为，故选C项.【题目点拨】本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

以D点为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解．【题目详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，设

是平面的法向量，则，即，令，可得，故，设点在平面上的射影为，连接，则是平面的斜线段，所以点到平面的距离．【题目点拨】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解题分析】

利用复数的除法将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.【题目详解】由复数的除法法则得，因此，复数的虚部为.故答案为.【题目点拨】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式即可，考查计算能力，属于基础题.15、2【解题分析】

根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果.【题目详解】因为数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，所以，因此，即故答案为：2【题目点拨】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.16、【解题分析】

由平面向量数量积的运算的：，即与的夹角等于【题目详解】由，，所以，，，所以，即与的夹角等于，故答案为：【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式、向量模的求法，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析；【解题分析】

（1）由题意求出，从而，进而，．由此能求出．（2）由题意知，获赠话费的可能取值为20，40，60，1．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【题目详解】解：（1）由题意得．，，，，综上．（2）由题意知，获赠话费的可能取值为20，40，60，1．；；；；的分布列为：2040601．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．18、（1），；（2）.【解题分析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.19、（1）k1k2【解题分析】试题分析：（1）设，则，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线的方程和圆方程，求得的坐标；联立直线的方程和椭圆方程，求得的坐标，再求直线，和直线的斜率，即可得到结论；试题解析：（1）设，则，所以（2）联立y=k1(x-2)解得xP联立得(1+4k1解得，所以kBC=y所以kPQ=52k考点：椭圆的简单性质．【方法点晴】本题考查椭圆的方程和性质，在（1）中，设出点坐标，利用对称性得到点坐标，表达出斜率，利用点在椭圆上，整体代换的思想求出结果；考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查直线方程和圆方程联立，求得交点,直线的斜率和方程的运用，就化简整理的运算能力，对运算能力要求较高，属于中档题．20、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由,可得在上单调增；在上单调增；在上单调减；（Ⅱ）根据有,由此可得,令,可以确定根据在上单调增,所以试题解析：（Ⅰ）函数,的定义域为,在上单调增；在上单调增；在上单调减.（Ⅱ）令,令,则令,令,则在上单调增,考点：函数的单调性；导数的应用.21、（1）（2）【解题分析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．详解：（1）∵①当时，，∴当时，②由①-②得：∴∴是以为首项，公比为的等比数列∴（2）∵∴点睛：