重庆初中数学八年级下册期中典型试卷1

2021-2022学年下学期重庆初中数学八年级期中典型试卷1

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•沙坪坝区校级期中）下列各式是分式的是（）

A.至B.AC..电D.x+1

223X-1

2.（2021春•沙坪坝区校级期中）下列图形中，是中心对称图形的是（）

③B.®c.®

3.（2021春•宁阳县期末）已知x=3是关于x的一元二次方程/-x-2a=0的一个解，则

。的值为（）

A.-6B.-3C.6D.3

4.（2021春•渝中区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=5,对角线4c的长

度为（）

5.（2021春•巴南区期中）式子5（V3+V4）的值在（）

A.17与18之间B.18与19之间C.19与20之间D.20与21之间

6.（2021春•巴南区期中）平行四边形的周长为24,相邻两边的差为2,则平行四边形的各

边长为（）

A.4,4,8,8B.5,5,7,7C.4,8,4,8D.5,7,5,7

7.（2020•定兴县一模）已知：AMON,如图，小静进行了以下作图：

①在NMON的两边上分别截取。4,08,使。4=。&

②分别以点A,B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；

③连接AC,BC,AB,OC.

若OC=2,S四边形OACB=4,则A8的长为（）

A.5B.4C.3D.2

8.（2019•新抚区一模）如图，以正方形A3CQ的顶点A为坐标原点，直线A3为x轴建立

直角坐标系，对角线AC与3。相交于点E,尸为8C上一点，点P坐标为（mb）,则点

尸绕点石顺时针旋转90°得到的对应点P'的坐标是（）

A.(。-b,a)B.(/?,4)C.Qa-b,0)D.(/?,0)

9.（2021春•沙坪坝区期中）如图，点E在正方形A8CD的对角线AC上，若AE=A8,则

NEBC的度数为（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

10.（2018•陵城区二模）一次函数丫=履-々与反比例函数y=K在同一平面直角坐标系内的

X

图象大斗致是（）母冲母

泰B.平C*D.冷

A.C

二.填空题（共8小题）

11.（2021秋•孝南区期末）若分式」止2的值为0,则工=.

2-x

12.（2021•永定区模拟）正多边形的一个内角为135。，则该正多边形的边数为

13.（2020•广东一模）八边形内角和度数为.

14.（2021春•渝中区校级期中）若分式上口的值为0,则犬=_______.

X2+2

15.（2019春•金山区期末）菱形ABCD的边长为5,一条对角线长为6,则该菱形的面积

为.

16.（2021秋•新吴区期末）直角三角形两边的长为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长

为.

17.（2021•黄石模拟）分解因式：9/（a-b）+y2（b-a）=.

18.（2021春•沙坪坝区校级期中）若关于x的方程-—-21=0有增根，则a的值

x-44-x

为.

三.解答题（共8小题）

19.（2021春•沙坪坝区校级期中）解分式方程：

（1）2_4=1

x-2>2-4x+2

（2）—?_+—=―]—.

x+322x+6

20.（2021春•沙坪坝区校级期中）化简求值：+―七型—，其中x是不等式

x+1X2+2X+1

-x〉0

组[2、的解集中符合题意的整数.

fx+2>0

21.（2021春•沙坪坝区期中）已知y关于x的一次函数y=（2/n+l）x+3-m.

（1）若该函数的图象经过坐标原点，求〃，的值；

（2）若该函数图象经过第一、二、三象限，求，〃的取值范围.

22.（2021春•沙坪坝区期中）在DABCD中，E、尸分别在BC,AD±.,且/1=N2.

（1）说明：/XABE丝△C£>F；

（2）说明：四边形AECF为平行四边形.

2

23.（2021春•渝中区校级期中）先化简，再求值：-^2_+（x+2-x+x-4）+_A_

X2-4X+4X-2X+1

其中x2+x-5—0.

24.(2021春•渝中区校级期中)2021年是中国共产党成立100周年，为从党的百年历程中

汲取继续前进的智慧和力量，党中央决定，在全党开展党史学习.4月份，学校党委采购

了《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》，已知每本《论中国共产党历史》的价格

比每本《中国共产党简史》多4元，校党委购买《论中国共产党历史》花了2000元，购

买《中国共产党简史》花了1280元，且《中国共产党简史》的数量为《论中国共产党历

史》数量的名.

5

(1)请问每本《中国共产党简史》的价格是多少元？

(2)5月份，全校教师学习热情高涨，校党委又采购了一批学习丛书，其中《论中国共

产党历史》的数量比4月份增加2〃％,《中国共产党简史》的数量不变.新华书店为鼓励

老师们的积极性，《论中国共产党历史》的单价在4月份的基础上降低了。％,《中国共产

党简史》的单价在4月份的基础上降低了互7%.最终，5月采购学习丛书的总费用比4

8

月份增加了8a元，求出。的值.

25.(2021春•巴南区期中)如图，点”是正方形A8CD的边BC上一点，连接AM,点、E

是线段A例上一点，NCDE的平分线。广交AM的延长线于点尸，连接BE.

(1)若点E是线段AM的中点，且CM=2BM,BE=10,求正方形4BCZ)的面积；

(2)若。A=OE,求证：BF+DF=4^AF.

26.(2010•宁德模拟)已知，如图，矩形ABC。中，AD=6,DC=1,菱形EFG”的三个顶

点E,G,，分别在矩形ABCC的边AB,CD,DA±,AH=2,连接C凡

(1)若。G=2,求证四边形EFG”为正方形；

(2)若OG=6,求AFCG的面积；

(3)当OG为何值时，△尸CG的面积最小.

2021-2022学年下学期重庆初中数学八年级期中典型试卷1

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•沙坪坝区校级期中）下列各式是分式的是（）

A.迎B.1C.也D.坦

223x-1

【考点】分式的定义.

【专题】分式；数感.

【分析】根据分式的定义逐个判断即可.

【解答】解：4分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；

B.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；

C.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；

D.分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了分式的定义，注意：判断一个式子是分式的关键是看分母中含有字

母.

2.（2021春•沙坪坝区校级期中）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A®B⑨②,锁

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°,与原图形能够完全重合的图形是

中心对称图形，分别判断得出即可.

【解答】解：A.旋转180°,与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题

思；

B.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；

C.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；

D.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解

决问题的关键.

3.（2021春•宁阳县期末）已知x=3是关于x的一元二次方程/-X-2a=0的一个解，则

a的值为（）

A.-6B.-3C.6D.3

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；推理能力.

【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值.

【解答】解：：x=3是方程的解，

；.9-3-2a=0

；.a=3.

故选：D.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值.

4.（2021春•渝中区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=5,对角线AC的长

度为（）

【考点】矩形的性质；勾股定理.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【分析】现根据矩形的性质求出A。，OC的长，在直角三角形中利用勾股定理求值即可.

【解答】解：•.•四边形ABCO是矩形，

/.ZADC=90°,CD=AB=12,

'：AD=5,

...在RtA4£>C中，

AC=VAD2+DC2=V52+122=^^=13,

故选：C.

【点评】本题考查矩形的性质和勾股定理的应用，关键是在直角三角形利用勾股定理求

边长.

5.（2021春•巴南区期中）式子5（V3+V4）的值在（）

A.17与18之间B.18与19之间C.19与20之间D.20与21之间

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数；运算能力.

【分析】先根据二次根式的性质化简式子，正确估算出8<瓦<9,即可利用不等式的

性质求解.

【解答】解：5（心也）

=775+5X2

=V75+10>

V64<75<81,

•'•8<VT5<9,

/.18<V75+1O<19.

故选：B.

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是正确估算出8<A/而<9.

6.（2021春•巴南区期中）平行四边形的周长为24,相邻两边的差为2,则平行四边形的各

边长为（）

A.4,4,8,8B.5,5,7,7C.4,8,4,8D.5,7,5,7

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力.

【分析】利用平行四边形两组对边相等，进而再利用周长及两边的关系建立方程组即可

求解.

【解答】解：设两邻边分别为x,»

由题意可得,2（x5=24,

Ix-y=2

解得（x=7,

Iy=5

所以平行四边形的各边长为5,7,5,7,

故选：D.

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的

两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.

7.（2020•定兴县一模）已知：ZMON,如图，小静进行了以下作图:

①在/MON的两边上分别截取。4,OB,使0A=。8；

②分别以点A,8为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；

③连接AC,BC,AB,OC.

若OC=2,S四边形OACB=4,则A8的长为（）

【考点】作图一复杂作图；等腰三角形的判定.

【专题】作图题；矩形菱形正方形；几何直观.

【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一

半列式计算即可得解.

【解答】解：由作图可得，OA=OB=BC=AC,

四边形4O8C是菱形，

S箜形AOBC-—OCXAB,

2

即4=/X2XAB，

解得AB=4,

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，解题时注意：菱形的面积等于对角线乘积的一

半，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键.

8.（2019•新抚区一模）如图，以正方形A8C。的顶点A为坐标原点，直线A8为x轴建立

直角坐标系，对角线AC与8。相交于点E,P为BC上一点，点尸坐标为（a,b）,则点

P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P'的坐标是（）

A.(67-b,a)B.(b,a)C.(a-b,0)D.(b,0)

【考点】正方形的性质；坐标与图形变化-旋转.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形.

【分析】如图，连接PE,点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P'在x轴上，根据

正方形的性质得到/ABC=90°,NAE8=90°,AE=BE,ZEAP'=NEBP=45°,

由点P坐标为(a,b),得到BP=b,根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：如图，连接PE,点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P'在x轴上,

•.•四边形A8C。是正方形，

AZXBC=90°,

...NAEB=90°,AE=BE,NEAP'=ZEBP=45°,

•点P坐标为(a,b),

:.BP=b,

:NPEP'=90°,

：.ZAEP'=NPEB,

'NEAP'=ZEBP

在与△BEP中，JAE=BE，

NAEP'=ZBEP

J.^AEP'm丛BEPCASA),

：.AP'=BP=b,

.•.点P'的坐标是(b,0),

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质,

正确的理解题意是解题的关键.

9.（2021春•沙坪坝区期中）如图，点E在正方形ABC。的对角线AC上，若则

NEBC的度数为（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

【考点】正方形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】由正方形的性质可得N8AC=N8C4=45°,NA8C=90°,由等腰三角形的性

质可得/ABE=/AEB=67.5°,即可求解.

【解答】解：•••四边形48CC是正方形，

，NBAC=NBCA=45°,NABC=90°,

'：AB=AE,

:.NABE=NAEB=61.5°,

；.NE8C=22.5°,

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握正方形的对角线平分每一

组对角是解题的关键.

10.（2018•陵城区二模）一次函数与反比例函数）=区在同一平面直角坐标系内的

x

图象大冲致是（）吩¥

A.土B・步C.不D

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象.

【专题】存在型.

【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、•••由反比例函数的图象在一、三象限可知，％>0,，-%<0,.•.一次函

数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误：

8、：由反比例函数的图象在二、四象限可知，％<0,-k>0,.,.一次函数y=fcv-k

的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；

C、：由反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0,-心>0,...一次函数%

的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；

£）、；由反比例函数的图象在二、四象限可知，％<0,-k>0,...一次函数k

的图象经过一、二、四象限，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函

数所在的象限判断出A的符号，再根据一次函数的性质进行解答.

二.填空题（共8小题）

11.（2021秋•孝南区期末）若分式」止2的值为0,则工=-2.

2-x

【考点】分式的值为零的条件.

【专题】分式；运算能力.

【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|-2=0,且2-xW0,再解即可.

【解答】解：由题可得，|x|-2=0,且2-xWO,

解得x=±2,且xW2,

.♦.x=-2,

故答案为：-2

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于

零且分母不等于零.注意：“分母不为零”这个条件不能少.

12.（2021•永定区模拟）正多边形的一个内角为135°,则该正多边形的边数为8.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据正多边形的一个内角是135°,则知该正多边形的一个外角为45°,再根

据多边形的外角之和为360°,即可求出正多边形的边数.

【解答】解：•••正多边形的一个内角是135°,

该正多边形的一个外角为45°,

•••多边形的外角之和为360°,

，边数〃=理9=8,

45

该正多边形为正八边形，

故答案为8.

【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外

角之和为360°,此题难度不大.

13.（2020•广东一模）八边形内角和度数为八80°.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据多边形的内角和公式（〃-2）780°进行计算即可得解.

【解答】解：（8-2）780°=6X180°=1080°.

故答案为：1080°.

【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键.

14.（2021春•渝中区校级期中）若分式与也-的值为0，则*=6.

2

X+2—

【考点】分式的值为零的条件.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

x-6=0

【分析】根据题意，可得：.，据此求出X的值是多少即可.

,xZ+2卢0

【解答】解：•.•分式上史的值为0,

2

X+2

fx-6=0

1x2+2#（/

解得：x=6.

故答案为：6.

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少.

15.（2019春•金山区期末）菱形ABC。的边长为5,一条对角线长为6,则该菱形的面积为

24.

【考点】菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对

角线乘积的一半求得菱形的面积.

【解答】解：如图，当8。=6时，

・・•四边形A3C。是菱形，

AAC1BD,AO=COf30=00=3,

•・・A8=5,

AAO=VAB2-BO2=4,

・・・AC=8,

.••菱形的面积是：6X8+2=24,

故答案为：24

【点评】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形

的面积等于两条对角线的积的一半.

16.(2021秋•新吴区期末)直角三角形两边的长为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长

为4或5.

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进

行讨论.

【解答】解：①当6和8均为直角边时，斜边=10,

则斜边上的中线=5；

②当6为直角边，8为斜边时，

则斜边上的中线=4.

故斜边上的中线长为：4或5.

故答案为：4或5.

【点评】此题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，

斜边上的中线等于斜边的一半，正确分类讨论求出是解题关键.

17.(2021•黄石模拟)分解因式：9X2(a-b)+y2Cb-a)=(a-b)(3x+y)(3x-y).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式；运算能力.

【分析】首先提公因式再利用平方差进行分解即可.

【解答】解：9x2(a-b)+)?(b-a)

=9/(a-b)-y2(a-b)

—(a-b)(9x2-y2)

=(.a-b)(3x+y)(3x-y),

故答案为：(a-b)(3x+y)(3x-y).

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进

行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法

分解.

18.(2021春•沙坪坝区校级期中)若关于x的方程旦=0有增根，则a的值为

x-44-x

【考点】分式方程的增根.

【专题】分式方程及应用；运算能力.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到X-4=0,求出x

的值代入整式方程即可求出a的值.

【解答】解：去分母，可得：a+\-x=0,

由分式方程有增根，得到x-4=0,即尤=4,

把x=4代入整式方程得：4+1-4=0,

解得：a=3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)

化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

三.解答题(共8小题)

19.(2021春•沙坪坝区校级期中)解分式方程：

⑴

x-2乂2-4x+2

(2)_^_+旦=_Z

x+322x+6

【考点】解分式方程.

【专题】分式方程及应用；运算能力.

【分析】(1)方程两边同乘以/-4,将方程转化为整式方程，解方程可求解x值，再验

根即可；

(2)方程两边同乘以2x+6,将方程转化为整式方程，解方程可求解x值，再验根即可.

【解答】解：(1)方程两边同乘以4,得

2(x+2)-4=x-2,

解得x=-2,

检验：当x=-2时，/-4=4-4=0,

Ax=-2是方程的增根，

•••原分式方程无解；

(2)方程两边同乘以2x+6,得

4+3(x+3)=7,

解得x=-2,

检验：当x=-2时，2x+6=-4+6=2W0,

.•/=-2是原分式方程的解.

【点评】本题主要考查解分式方程，解分式方程后验根是解题的关键.

20.(2021春•沙坪坝区校级期中)化筒求值：(3_-x+l)+—其中x是不等式

x+1X2+2X+1

组［2、的解集中符合题意的整数.

fx+2>0

【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件求

出x=0,把已知分式进行化简，最后代入求出即可.

【解答】解：g_x+l)+-/它一

x+1X2+2X+1

=x2一(x+1)(x-1).(x+1)2

x+1'x+2

=.1r-+1产

x+1'x+2

=x+1

7^2-

-x>0

•••解不等式组［2、得：-3VxW0,

fx+2>0

.o

不等式组的整数解是-2,-1,0,

满足分式:x+2

X2+2X+1

.♦.X只能为0,

2

当x=0时，(———x+l)-i----———=正1=A.

2

x+1X+2X+10+22

【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，解不等式组，解一次不等式组的整数解,

解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键.

21.（2021春•沙坪坝区期中）已知y关于x的一次函数y=（2w+l）x+3-m.

（1）若该函数的图象经过坐标原点，求，〃的值；

（2）若该函数图象经过第一、二、三象限，求机的取值范围.

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用：运算能力.

【分析】（1）把（0,0）代入函数解析式即可求得；

（2）根据一次函数图象经过的象限可得121rl+1>°,再解不等式组即可.

3-m>0

【解答】解：（1）•・•一次函数：=（2m+1）x+3-团的图象经过坐标原点，

・・・3-m=0,

（2）•函数y=（2加+1）x+3-他图象经过第一、二、三象限，

.f2m+l>0

••<,

3-m>0

解得3,

当总时，函数图象经过第一、二、三象限.

【点评】此题主要考查了一次函数的性质和待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握

®k>0,匕的图象在一、二、三象限；②k>0,人<Ooy=fct+%的图象在一、

三、四象限；③%<0,的图象在一、二、四象限；④ZV0,b<Qoy=kx+b

的图象在二、三、四象限.

22.(2021春•沙坪坝区期中)在QABCD中，E、F分别在8C,上，且N1=N2.

(1)说明：AABE注ACDF；

(2)说明：四边形AEC尸为平行四边形.

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；几何直观.

【分析】(1)由四边形ABC。是平行四边形，可得A8=CD,ZB=ZD,又由N1=N2,

即可证得：△4BE之△CDF；

(2)由△ABE丝△C£>F,可证得BE=DF,继而可得AF=CE,则可利用有一组对边平

行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形4EC尸为平行四边形.

【解答】证明：(1)•••四边形A8Q9是平行四边形，

：.AB=CD,NB=ND,

在△A2E和△CDF中，

'N1=N2

<AB=CD，

ZB=ZD

:.4ABE/LCDF(ASA)；

(2)VAABE^ACDF,

：.BE=DF,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.AF=CE,

四边形4EC尸为平行四边形.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度

适中，注意掌握数形结合思想的应用.

2

23.(2021春•渝中区校级期中)先化简，再求值：一—.(x+2-x+x-4)+J,

X2-4X+4X-2X+1

其中/+x-5=0.

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【分析】先分解因式进行化简分式，然后将7+x=5代入即可.

22

【解答】解：原式=x-2+(三吆-x+x-4)+」_

(x-2)2x-2x-2x+1

=1二-x卜1

x-2x-2+x+1

Xx+1

--x-l+x

x(x+l)

——1，

X+x

Vjr+x-5=0,

••+x=5,

，原式=------=-

2,5

x+xo

【点评】本题考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题的关键.

24.(2021春•渝中区校级期中)2021年是中国共产党成立100周年，为从党的百年历程中

汲取继续前进的智慧和力量，党中央决定，在全党开展党史学习.4月份，学校党委采购

了《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》，已知每本《论中国共产党历史》的价格

比每本《中国共产党简史》多4元，校党委购买《论中国共产党历史》花了2000元，购

买《中国共产党简史》花了1280元，且《中国共产党简史》的数量为《论中国共产党历

史》数量的9.

5

(1)请问每本《中国共产党简史》的价格是多少元？

(2)5月份，全校教师学习热情高涨，校党委又采购了一批学习丛书，其中《论中国共

产党历史》的数量比4月份增加2a%,《中国共产党简史》的数量不变.新华书店为鼓励

老师们的积极性，《论中国共产党历史》的单价在4月份的基础上降低了4％,《中国共产

党简史》的单价在4月份的基础上降低了且7%.最终，5月采购学习丛书的总费用比4

8

月份增加了8a元，求出〃的值.

【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用.

【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》

的价格是（x+4）元，根据数量=总价+单价，结合购进《中国共产党简史》的数量为《论

中国共产党历史》数量的三，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

5

（2）由两书单价间的关系可求出《论中国共产党历史》的单价，利用数量=总价+单价

可求出4月份购进两种图书的数量，根据总价=单价义数量，结合5月采购学习丛书的

总费用比4月份增加了8a元，即可得出关于“的一元二次方程，解之取其正值即可得出

结论.

【解答】解：（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历

史》的价格是（x+4）元，

依题意得：1280=2000X生

xx+45

解得：x=16,

经检验，x=16是原方程的解，且符合题意.

答：每本《中国共产党简史》的价格是16元.

（2）每本《论中国共产党历史》的价格是20元，

4月份购进《中国共产党简史》的数量为空%=80（本），购进《论中国共产党历史》

16

的数量为2000=100（本）.

20

依题意得：20（1-a%）X100（l+2a%）+16（1-5a%）X80=1280+2000+8。，

8

整理得:0.4a?-4a=0,

解得：671=10,<72=0（不合题意，舍去）.

答:a的值为10.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找

准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

25.（2021春•巴南区期中）如图，点例是正方形4BCD的边BC上一点，连接AM,点£

是线段AM上一点，NCQE的平分线。尸交AM的延长线于点F,连接

（1）若点E是线段AM的中点，且CM=28M,BE=10,求正方形ABC。的面积；

(2)若QA=OE,求证：BF+DF=-J2AF.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.

【分析】（1）设8M=x,则MC=2r,由此得至ljA8=BC=3x,在中，根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求AM长，再利用勾股定理可求A3长，进而

可得正方形ABC。的面积；

（2）要证明的三条线段没有组成一个三角形或一条线段，所以延长FD交过点A作垂直

于AF的直线于4点，证明△ABFgAACH,把BF转化到。”，从而三条线段放在了等

腰直角三角形中便解决了问题.

【解答】（1）解：设8W=x,则CM=2x,BC=3x,

'：BA=BC,

：.BA=3x.

在RtZ\A8M中，E为斜边AM中点，

：.AM=2BE=20.

由勾股定理可得AM1=MB2+AB2,

B|J400=7+9'2,

解得欠=2，记.

A.B—3x=6y]&

，正方形ABC£＞的面积=AB2=（6，记）2=360；

（2）证明：延长FQ交过点A作垂直于AF的直线于4点，过点。作。PLA尸于P点.

,:DF平分4CDE,

AZ1=Z2.

VDE=DA,DPLAF

AZ3=Z4.

•・・N1+N2+N3+N4=9O°,

・・・N2+N3=45°.

：.ZDFP=90°-45°=45°.

：.AH=AF.

'：ZBAF+ZDAF=90°,ZHAD+ZDAF=90°,

；.NBAF=NDAH.

又

在△AB/7和△AQ”中，

'AB=AD

<NBAF=NDAH，

AF=AH

:•△ABgRADH(SAS).

：.BF=DH.

・・・心△外”是等腰直角三角形，AF=AH,

：.HF=y[2:AF,

*.*HF=DH+DF=BF+DF,

:・BF+DF=4^\F.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直

角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟

练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.

26.(2010•宁德模拟)己知，如图，矩形ABC。中，AD=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶

点E,G,”分别在矩形4BCQ的边AB,CD,D4上，AH=2,连接CF.

(1)若QG=2,求证四边形EFGH为正方形；

(2)若OG=6,求△FCG的面积；

(3)当OG为何值时，^FCG的面积最小.

【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】(1)由于四边形ABC。为矩形，四边形HEFG为菱形，那么NO=N4=9()°,

HG=HE,而AH=£)G=2,易证丝△OGH,从而有NOHG=等量代换可

得NAHE+/DHG=90°,易证四边形HEFG为正方形；

(2)过/作PMJ_DC,交。C延长线于M,连接GE,由于48〃CD,可得NAEG=N

MGE,同理有N”EG=/FGE,利用等式性质有NMG凡再结合NA=NM=

90°,HE=FG,可证△4HE四从而有(即无论菱形EFG”如何变

化，点F到直线CO的距离始终为定值2),进而可求三角形面积；

(3)先设DG=x,由第(2)小题得，S&FCG=1-K,在XAHE中，AEWAB=7,利用

勾股定理可得”序忘53,在RtZ^OHG中，再利用勾股定理可得/+16W53,进而可求x

W技，从而可得当x=技时，^GC尸的面积最小•

【解答】解：(1)•••四边形A8CZ)为矩形，四边形HEFG为菱形，

.•./O=/A=90°,HG=HE,又AH=DG=2,

：.Rl/\AHE^RlADGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

VZAHE+ZHEA=90°,

/.ZAHE+ZDHG=90°,

；・NEHG=90°,

・・・四边形"MG为正方形；

(2)过/作FM_LQC,交。。延长线于连接GE,

•：AB//CDf

/AEG=NMGE,

•:HE〃GF,

：.ZHEG=ZFGEf

：./AEH=/MGF,

在和△MFG中，ZA=ZM=90°,HE=FG,

：.AAHEWAMFG,

:,FM=HA=2,即无论菱形EFG”如何变化，点F到直线。的距离始终为定值2,

因此SZIFCGVXFMXGC-|X2X(7-6)=1；

（3）设。G=x,则由第（2）小题得，SNFCG=1-x,在中，AEWAB=1,

:.H烂&53,

.♦./+16W53,

，启幅，

:4FCG的最小值为7-V37，止匕时OG=西，

...当。G=J市时，XFCG的面积最小为（7-J市）.

【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的

关键是作辅助线：过F作FMLQC,交0c延长线于M,连接GE,构造全等三角形和内

错角.

考点卡片

1.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

2.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

3.分式的定义

（1）分式的概念：一般地，如果4,8表示两个整式，并且8中含有字母，那么式子A叫

B

做分式.

（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0.

（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除

号，还兼有括号的作用.

（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是a

B

的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简.

（5）分式是一种表达形式，如x+2+2是分式，如果形式都不是直的形式，那就不能算是分

xB

式了，如：（x+1）+（x+2）,它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数

次幕表示的某些代数式如（“+6）-2,y-l,则为分式，因为）门=1•仅是一种数学上的规定，

y

而非一种运算形式.

4.分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

注意：“分母不为零”这个条件不能少.

5.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中耍注意运算顺序和分式的化简.化筒的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

6.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这xi,也是一元二次方程a^+bx+c

=0(aWO)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+/>xi+c=O(a#0),ax21+bx2+c=0

7.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

(1)数字问题：个位数为m十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)

2=后来数.

(3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

(4)运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三