新教材2023版高中数学第五章数列5.2等差数列5.2.2等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的性质学生用书新人教B版选择性必修第三册

第2课时等差数列前n项和的性质探索并掌握等差数列的前n项和的有关性质，会应用性质解题．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为________．(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn(4)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝________，且S偶－S奇＝________，S奇S偶(5)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝________，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，S奇S偶知识点二已知数列{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和已知数列{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则数列{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．基础自测1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an＝()A．nB．n2C．2n＋1D．2n－12．已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差d＝________．3．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n-4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则S9S5

课堂探究·素养提升——强化创新性等差数列前n项和公式的灵活应用例1(1)已知等差数列{an}中，若a1009＝1，求S2017；(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2状元随笔由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解．方法归纳由Sn＝na1+an2可知，S2n－1＝2n-1·a1+a2n-12＝(2n－1)·an，等差数列{an}的前n项和Sn与等差数列{bn跟踪训练1(1)已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()A．160B．180C．200D．220(2)一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．(3)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.等差数列中奇、偶项的和例2在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，S奇S偶＝1113，则公差方法归纳1．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，S偶S奇2．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，S偶S奇注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．跟踪训练2已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．等差数列前n项和性质及应用例3已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.方法归纳在等差数列中，前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组)．要注意等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列且公差为m2d；Smm，跟踪训练3设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27求数列{|an|}的前n项和例4数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．方法归纳求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解．跟踪训练4在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．等差数列前n项和的实际应用例5某地在抗洪抢险中接到预报，24h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24h内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20min就可有一辆车到达并投入工作．问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24h内完成第二道防线？请说明理由．方法归纳建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练5假设某市2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2019年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？教材反思1．牢记2个知识点(1)等差数列前n项和的有关性质．(2)已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤．2．掌握1种规律方法等差数列前n项和的性质解题的应用规律．3．注意2个易错点(1)乱用性质或结论致错．(2)等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错．第2课时等差数列前n项和的性质新知初探·自主学习[教材要点]知识点一(2)m2d(4)n(an＋an＋1)nd(5)(2n－1)an[基础自测]1．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N*)．答案：D2．解析：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.答案：33．解析：a7b7＝2a72b7＝a1答案：374．解析：S9S5＝9a1+a9答案：9课堂探究·素养提升例1【解析】(1)方法一∵a1009＝a1＋1008d＝1，∴S2017＝2017a1＋2017×20162d＝2017(a1＋1008d方法二∵a1009＝a1∴S2017＝a1+a20172×2017＝(2)方法一a5b5＝a1+a92b方法二∵SnTn＝2n+2∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，∴a5b5＝20跟踪训练1解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，∴S20＝20a1+a202(2)由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，∴中间项a6＝5.(3)方法一∵a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝17×a1+a17方法二∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20，∴S17＝17a1＋17×162d＝17(a1＋8d)＝17×方法三∵a3＋a15＝2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.答案：(1)B(2)5(3)见解析例2【解析】由S奇+S偶=120，S奇S偶=1113，得S奇【答案】2跟踪训练2解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②由①②得d＝－4.答案：－4例3【解析】方法一设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有ma②－①，得ma1＋m3m-12∴S3m＝3ma1＋3m3m＝3[ma1＋m3m-12d]＝3方法二Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，∴30、70、S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋S3m－100.∴S3m＝210.方法三在等差数列{an}中，∵Sn＝a1n＋12n(n－1)d∴Snn＝a1＋(n－1)即数列Snn构成首项为a1，公差为依题中条件知Smm、S2m2m∴2·S2m2m＝∴S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.跟踪训练3解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.答案：B例4【解析】(1)证明：an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2)．∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋)．又an＋1－an＝－2为常数，∴数列{an}是首项为a1＝99，公差d＝－2的等差数列．(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)．①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，∴{bn}的前n项和S′n＝100n－n2.②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得数列{bn}的前n项和为S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2500－(100n－n2)＝5000－100n＋n2.由①②得数列{bn}的前n项和为S′n＝100n跟踪训练4解析：由a1＝－60，a17＝－12，知等差数列{an}的公差d＝a17-a1所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21.所以，{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数．设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和．当n≤20时，Tn＝－Sn＝－[－60n＋3nn-12]＝－32n当n>20时，Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋3nn-12－2(－60×20＝32n2－1232n＋综上，Tn＝-例5【解析】设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13∴数列{an}构成首项为24，公差为－13设还需组织(n－1)辆车，则a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn-12∴n2－145n＋3000≤0，即(n－25)(n－120)≤0.∴25≤n≤120，∴nmin＝