2023-2024学年上海市虹口区高一上册期末能力诊断测试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市虹口区高一上学期期末能力诊断测试数学模拟试题【注意】本试卷分A、B组题，请答题者务必看清自己应答的试题．一．填空题（本大题满分36分）1．函数的定义域为．2．若集合，则．3．若一元二次不等式的解集为，则实数．4．若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇形的面积为．5．函数在区间上的最小值是．6．若实数和满足，则．7．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是．8．设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数．9．若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是．（A组）10．若表示不大于的最大整数，比如，则不等式的解集为．（B组）11．若表示不大于的最大整数，比如，则．（A组）12．已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是．（B组）13．设，若，则实数的取值范围是．（A组）14．设，若实数满足：，则的取值范围是．（B组）15．设，则函数的所有零点之和为．二．选择题（本大题满分14分）16．下列函数中与函数相同的是（

）A． B． C． D．17．若是任意实数，则（

）A． B． C． D．18．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．（A组）19．对于以下两个结论，说法正确的是（

）结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是；结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错（B组）20．对于以下两个结论，说法正确的是（

）结论①：设，若任取，且，则必有；结论②：设，则有对恒成立．A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错三．解答题（本大题满分50分）21．已知为实数，设集合．(1)当时，用区间表示集合；(2)设集合，若，求实数的取值范围．22．已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴．(1)若角的终边过点，求的值；(2)若，求的值．23．某工厂为确定2024年A产品的生产总产量，调取了2020年至2023年近四年的A产品生产总产量万件与其所需总成本万元之间的对应关系（如下表所示），以作为建立与之间函数关系的依据，进而实现估算预测．工厂称此函数为“参照函数”．A产品生产总产量x（万件）1234总成本y（万元）12172532该工厂拟用如下三个函数解析式：①；②；③作为“参照函数”的备选．(1)该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理？请说明理由：(2)根据（1）所选的“参照函数”，当该工厂预计2024年生产多少万件A产品时，其单位成本（即总成本除以总产量）最低？并求出此最低单位成本．（A组）24．已知，其中是常数，．(1)判断函数的奇偶性，请说明理由；(2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值．（B组）25．已知，其中是常数，．(1)若函数为奇函数，求实数的值；(2)若对任意实数，均有，求实数的取值范围．（A组）26．若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．(1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；(2)求函数在内的“区间”；(3)设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（B组）27．若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．(1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）；(2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；(3)求函数在内的“区间”．1．【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解.【详解】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为.故答案为.2．【分析】解指数方程得集合B，然后由集合并集运算可得.【详解】由解得，即，所以.故3．【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可.【详解】根据题意可知方程的两根分别为，根据韦达定理可知，，故答案为.4．【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可.【详解】由题意可得：该扇形的面积为.故答案为.5．##【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解.【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减，所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是.故答案为.6．1【分析】根据指对数互化可得，再结合对数的运算性质求解.【详解】因为，则，可得，所以.故1.7．【分析】根据分式不等式可得，由题意分析可知是的子集，根据子集关系列式求解即可.【详解】由可得，则，解得，即，若是的充分条件，则是的子集，可得，所以实数的取值范围是.故答案为.8．【分析】利用幂函数的性质来解答即可.【详解】，若幂函数的图像关于轴对称，则，又幂函数在区间上是严格增函数，则.故答案为.9．【分析】根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，由题意可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为.10．【分析】先将看成一个整体，把对数不等式解出来得，再根据的定义计算出结果.【详解】因为，所以，且，又因为表示不大于的最大整数，所以，所以不等式的解集为.故答案为.11．3【分析】根据表示不大于的最大整数求解.【详解】解：因为表示不大于的最大整数，所以，故312．【分析】由题意在上严格单调递减，所以原题转换为了恒成立，当时，有，满足题意，得知，即当且仅当满足题意，由此即可得解.【详解】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，所以在上严格单调递减，所以，由题意若对于任意的，恒有成立，则恒成立，当时，有，满足题意，当时，恒成立，此时，解得，满足题意，综上所述，实数的取值范围是.故答案为.13．【分析】根据题意，由对数函数的单调性，代入计算，即可得到结果.【详解】因为在单调递增，且，所以，则，解得，所以实数的取值范围是.故14．【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解.【详解】作出的图象，如图所示，令，由图可知：，且，解得，则，因为，则，可得，所以的取值范围是.故答案为.易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．15．【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解.【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示，根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称，所以零点之和为，故16．B【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果.【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确；选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确；选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确；选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确；故选：B.17．C【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】结合题意.故选：C.18．A【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解.【详解】由函数，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为，可得，即，解得.故选：A.19．B【分析】利用函数单调性的概念判断①，利用奇偶性的定义判断②【详解】结论①：若函数是定义在上的增函数，当时，可以推出，当时，可以推出，故的充要条件是；①对结论②：若定义在上的函数满足，则，故不一定恒成立，也不一定恒成立，如函数，②错.故选：B.20．B【分析】利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②.【详解】对于①，因为在上是增函数，且在上也是增函数，所以在上是增函数，则任取，且，必有，①正确；对于②，，②错误.故选：B21．(1);(2).【分析】（1）当时,求出的解集，用区间表示出来即可;（2）求出集合，利用，求出实数的取值范围即可.【详解】（1）当时,由，解得：，即.（2）由集合，可得，因为，且，所以，即，解得.22．(1)(2)【分析】（1）直接利用三角函数的定义求解即可；（2）先利用诱导公式求出，再将目标式分子分母同除得到关于的式子，再代入的值计算即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，若角的终边过点，则；（2），，即，.23．(1)选②，理由见解析(2)预计2024年生产3万件A产品时，单位成本最低为8万元【分析】（1）首先排除③，该模型当时模拟效果太差，然后比较当时，与的值和实际的值谁更接近即可得解.（2）结合已知和基本不等式即可得解，注意取等条件是否满足.【详解】（1）由题意当时，和25比较近，但当时，和32相差很大，故排除③，通过表格发现当时，与的值分别相等，但当时，，当时，.通过比较发现，当时，函数模拟实际效果最好，综上所述，工厂应选择②为“参照函数”最为合理.（2）由题意单位成本表达式为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，此时单位成本最低为，即预计2024年生产3万件A产品时，单位成本最低为8万元.24．(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用以及求得的值，从而得到函数为奇函数或偶函数时的取值；（2）先求出，把原不等式转化，然后对的值进行分类讨论，再分离参数，从而可确定实数的值.【详解】（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称，因为，，，由，得，即，所以，解得；由，得，即，所以，解得；所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数.（2）因为，所以可转化为，即，又因为，所以，则：当时，，则由可得，又因为当时，，所以，即；当时，则由可得，故；当时，，则由可得，又因为当时，，所以，即；综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为.25．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由，得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解；（2）根据题意，转化为在上恒成立，令，设函数，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：因为函数为奇函数，可得，即，解得，经检验：当时，，满足，所以当时，函数为奇函数，所以实数的值为.（2）解：由对任意实数，均有，即时，恒成立，即在上恒成立，令，设函数，因为，当时，即时，的最大值为，可得，所以实数数的取值范围为．26．(1)不是函数的一个“区间”,理由见解析；(2);(3)不存在,理由见解析.【分析】（1）利用二次函数知识,求出在上的值域，进而判断即可;（2）设的“区间”为,借助二次函数的性质确定的值域为，建立方程组计算即可；（3）求出函数在区间上的所有“区间”的并集，分离参数，转化为求二次函数的值域问题计算即可.【详解】（1）结合题意可得：，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，，当或时，，故此时函数的值域为，而此时所以区间不是函数的一个“区间”.（2）设的“区间”为,则的值域为，此时在单调递减，则，解得，所以的“区间”为.（3）由（2）知在上的“区间”为,当时，则，而函数在上的值域为，所以在上不存在这样的区间，所以在上满足条件的区间为，由，可得函数为奇函数，同理易得：当，的“区间”为，所以，要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解,则当，，即且在单调递减;当，，即.因为,所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解.关键点点睛：解题的关键在于利用函数的定义域和值域及单调性求出“区间”，以及如何求解二次函数在闭区间的值域，综合性很强，属于难题.27．(1)（答案不唯一）(