山东省济南市历下区2021年中考第三次模拟考试数学试题（含答案与解析）

历下区2021年初三年级学业水平第三次模拟考试

数学试题

本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.

答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并将考点、姓名、准

考证号和座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，将答题卡和试卷一并交回.

注意事项：

L答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干

净.

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题

卡题号所指示的答题区域内作答.

第I卷（选择题共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.—3的倒数是（）

2.如图所示的物体，其左视图是（

A,凸□°OD日

3.世界上最小的动物是原生动物中的一种同肋膜肺炎菌相似的单细胞动物,它只有01微米长，即0.0000001

米，只有在显微镜下才能看得到.其中数字0.0000001用科学记数法表示为（）

A.0.1X105B.1X107C.-1X105D.10X10'4

4.如图，已知a//b,一块含30。角的直角三角板，如图所示放置，Z2=30°,则/I等于（）

A.110°B.130°C.150°D.160°

5.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与

人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是

中心对称的是（）

A.

x2—4

6.若分式二_1有意义,则x满足的条件是（

x—2

A.x=2B.x#2C.x#±2D.x>2

7.实数mb在数轴上对应点的位置如图所示,下列判断正确的是（

01b

A.\a\<lB.ab>0C.a+b>0D.l-a>i

8.下列说法正确的是（）

A.调查大明湖的水质情况，采用普查的方式

B.在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定

C.一组数据3、6、6、7、9的众数是6

D.从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生

9.已知一次函数y=（&-2）x-〃z的图象与>轴的负半轴相交，且函数值了随自变量x增大而减小，则下列

结论正确的是（）

A.k<2,m>0B.k<2,m<0C.k>2,m>0D.k<Q,m<0

10.如图，在RhABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧,

分别交AC,A3于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于

2

点尸；③连接AP,交BC于点D.若CD=3,BD=5,则AC的长为（）

A.4B.5C.6D.7

11.3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，如路线图中所示，已知腊山南站到北园站直线距离A。

长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长48约为4千米，路线的转弯角£）8为157.5°,NC为150。，

又测得/。=30°,则从二环西路站到济源路站的距离BC的长为（）（tan22.5（M）.6,sin22.5°=0.4,

cos22.5°=0.9,6R.7)

.济沂路在母0

广彖西路

腊山/J，'

腊山南

A.14.62千米B.14.64千米C.14.66千米D.14.68千米

12.如图1,在放ZVIBC中，NA=90°,BC=10cm,点P,点Q同时从点B出发，点尸以2cm/s的速度

沿B-A-C运动，终点为C,点Q出发f秒时，△8PQ的面积为），cm2,已知y与r的函数关系的图象如图

4

2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC=6cm；②曲线MN的解析式为y=-二於

+—t（4^r^7）；③线段尸。的长度的最大值为自屈cm；④若△PQC与△ABC相似，则尸8秒，其

557

中正确的说法是（）

D.①②③

第n卷（非选择题共102分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.分解因式：加〃=__.

14.如图，一个可以自由转动转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为

红色

120°

蓝色

15.若x=1是一元二次方程/+2x+根=0的一个根，则加的值为.

16.如图，矩形ABCZ）中，AB=\,AD=y/2■以A为圆心，AZ）的长为半径做弧交8c边于点E,则图中

的弧长是.

17.如图，一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间，已知NACB=90。，AC=BC,从三角尺的刻度可知

AB=20cm,A。为三块砖的厚度，B£为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度为cm.

18.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形.根据规定判断下

面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱

形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0,2）,

（0,-2）,尸是二次函数y=图象上在第一象限内的任意一点，P0垂直直线＞=-2于点°,则四边形

PMNQ是广义菱形.其中正确的是.（填序号）

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：-|2cos600-l|.

3（x+l）＞0

20.解不等式组：Ix_7，并写出所有整数解.

--------＜-1

I2

21.如图，在平行四边形A8CQ中，AE,CF分别平分NBA。和NQCB,且AE,CF分别交BO于点E,F.求

证:BE=DF.

D

---------VC

22.为了调查学生对防溺水知识的了解情况，甲、乙两校进行了相关知识测试，在两校各随机抽取20名学

生的测试成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲校20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如图：

甲校学生样本成绩频数分布直方图

成绩m（分）频数（人）频率

50</H<60a0.05

60</n<70hC

709/V8030.15

80</??<908040

90</H<10060.30

合计201.00

b.甲校成绩在80＜小＜90的这一组的具体成绩是：86；86；87；87；88；89；89；89

c.甲、乙两校成绩的统计数据如表所示：

学校平均分中位数众数

甲83.7m89

乙8428585

根据以如图表提供的信息，解答下列问题：

(1)表中a=；m—；

(2)补全甲校学生样本成绩频数分布直方图；

(3)在此次测试中，某学生的成绩是86分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是校

的学生(填“甲”或“乙”);

(4)若甲校共有1200人，成绩不低于80分为“优秀”,则甲校成绩“优秀”的人数约为多少人？

23.如图，AB是。。直径，点C在。。上，AO平分NC48,BO是。。的切线，AQ与5c相交于点E,与

。。相交于点F,连接BE

(1)求证：BD=BE；

(2)若OE=4,BD=2后,求AE的长.

24.一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成

此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.

(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

25.在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数(^0)在第一象限内的图象与BC边交

X

于点£>(4,1),与AB边交于点E(2,").

(1)求反比例函数的解析式和n值；

(2)当器=：时，求直线A8的解析式;

AC，

(3)设尸是线段AB边上的点，在(2)的条件下，是否存在点P,以8、C、P为顶点的三角形与

相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

CD2

26.在RrzXABC中，AC=BC=5,ZC=90°,。是4c边上一点，——=-,直线力E交8c于点E.

AD3

(1)如图1,若。E〃AB,CD=,EB=____；

(2)如图2,在(1)的条件下，等腰用/XCMN的端点”在直线QE上运动，连接EM请判断0M与NE

的关系，并说明理由；

(3)如图3,若NC£)E=60°,等腰放△CMN的端点M点在直线。E上运动，连接NB,请直接写出NB

(2)如图1,点尸在抛物线的对称轴上，尸的纵坐标为〃，若一3<〃<0,以C、P为顶点作正方形CPDE

(C、P、£>、E顺时针排列)，若正方形CPCE有两个顶点在抛物线上，求”的值；

(3)如图2,C、尸两点关于对称轴对称，直线(k<0)过点凡且与抛物线有且只有一个交点,

平移直线>=依+分交抛物线于G,”两点(点G在点“上方)，请判断/GCF与NHCF的数量关系，并说

明理由.

yy

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题,每小题4题，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.—3的倒数是（）

c11

A.3B.-C.----D.-3

33

【答案】C

【解析】

【分析】由互为倒数的两数之积为1,即可求解.

【详解】•••-3x（）=1,3的倒数是一g.

故选C

2.如图所示的物体，其左视图是（）

审

正面

八・凸仁c.g

【答案】D

【解析】

【分析】找到从左面看所得到图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.

【详解】解：从左面看，是一列两个矩形.

故选：D.

【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

3.世界上最小的动物是原生动物中的一种同肋膜肺炎菌相似的单细胞动物,它只有0.1微米长，即0.0000001

米，只有在显微镜下才能看得到.其中数字0.0000001用科学记数法表示为（）

A.0.1X10-5B.1X10-7C.-1XIO5D.10X10-4

【答案】B

【解析】

【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大数的科学记数法不同

的是其所使用的是负整数指数累，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.000001=1x10-7.

故选:B.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为4X10-",其中1<|«|<10,〃为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.如图，已知a//b,一块含30。角的直角三角板，如图所示放置，N2=30。，则N1等于（）

A.110°B.130°C.150°D.160°

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意利用三角形外角与内角的关系，先求出N3,利用平行线的性质得到N4的度数，再利用

三角形外角与内角的关系求出/I.

【详解】解：如图：

VZC=90°,Z2=ZCDE=30°,

Z3=ZC+ZCDE

=90°+30°

=120°.

Va//b,

Z4=Z3=120°.

NA=30°

AZ1=Z4+ZA

=120°+30°

=150°.

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质以及直角三角形内角和定理的推论.注意本题也可以过点B作直线a的平

行线，利用平行线的性质和平角求出N1的度数.

5.围棋起源于中国，古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与

人工智能机器人AlphaG。进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转

后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

【详解】解：A.是中心对称图形，符合题意；

B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；

C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键.

r2—4

6.若分式有意义，则x满足的条件是（）

x-2

A.x~2B.x丰1C.xW±2D.x>2

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件进行判断即可；

详解】要使分式―上有意义，

x-2

则％-2。0,

解得：x丰2,

故选：B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，正确掌握知识点是解题的关键.

7.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）

a0\bS

A.|a|<1B.ab>0C.a+b>0D.l-a>l

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用a,b在数轴上位置进而分别分析得出答案.

【详解】解：由数轴上a与1的位置可知：故选项A错误；

因为a<0,b>0,所以"<0,故选项B错误；

因为aVO,b>0,所以a+Z?<0,故选项C错误；

因为aVO,则1一。>1,故选项D正确；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正误，正确结合数轴分析是解题关键.

8.下列说法正确的是（）

A.调查大明湖的水质情况，采用普查的方式

B.在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定

C.一组数据3、6、6、7、9的众数是6

D.从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数、众数的定义及方差的意义解答可得.

【详解】解：A、调查大明湖的水质情况，采用抽样调查的方式，说法错误；

B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，说法错误；

C、一组数据3、6、6、7、9的众数是6,说法正确；

D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100,说法错误；

故选：C.

【点睛】此题考查了平均数、众数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.一组数据中出

现次数最多的数据叫做众数.方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.

9.已知一次函数y=2）x-加的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量X增大而减小，则下列

结论正确的是（）

A.k<2,m>0B.k<2,m<0C.k>2,m>0D.k<Q,m<0

【答案】A

【解析】

【分析】由题意一次函数与y轴的交点位于y轴负半轴上得到m的范围，再根据函数的增减性可求得k的

范围.

【详解】•••一次函数丁=（4一2）了一根的图象与y轴的负半轴相交，

/.-m<0,

m>0,

又函数值y随自变量x增大而减小，

：.k-2<0,

.\k<2.

故选A.

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的增减性为：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何

实数），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

10.如图，在中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧,

分别交AC,AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于

2

点P；③连接”，交BC于点、D.若CD=3,BD=5,则AC的长为（）

D

ANlB

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】作。由作图知AP平分NBAC,依据NC=NAED=90。知C£UM>3,结合B£>=5知BE=4,

22

再证知/上!。。/用△AED得AO4E,igAC=AE=xf由AC2+BC勿中得d+82=（x+4）,解之可得答案.

【详解】解：如图所示，过点。作于点E,

由作图知AP平分N3AC,

・・・ZC=ZAED=90°f

：.CD=DE=3f

BD=5,

.*.BE=4,

TAD=AD,CD=DE,

：.Rt/\ACD^Rt/\AED(HL),

：.AC=AE,

设AC=AE=xf

由AG+8C2=得N+82=(X+4)2,

解得：x=6,即AC=6,

故选：C.

【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定

理等知识点.

11.3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，如路线图中所示，已知腊山南站到北园站直线距离AO

长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长A8约为4千米，路线的转弯角为157.5。，NC为150。，

又测得NO=30°,则从二环西路站到济源路站的距离3c的长为（）（tan22.5%0.6,sin22.5°~0.4,

cos22.5°~0.9,V3-1-7)

C济源路北园n

/嘉涉J罗路

厂家西路

腊山/J/

腊山南

A.14.62千米B.14.64千米C.14.66千米D.14.68千米

【答案】D

【解析】

【分析】过点8作BNLAD,过点C作CM1.AD,构造直角三角形，利用锐角三角函数求出BN、AN,再

根据矩形的性质得出CM,进而求出OM,即可计算出8C.

【详解】解：过点B作及VL4力于M过点C作CMLA。于M,

C济添路北段D

腊山南

VZB=157.5°,ZC=150°,ZD=30°,

.・・ZA=22.5°,

在△ABN中，AB=4千米，

・・・BN=48xsin22.5°Ex0.4=L6千米，AN=A8xcos22.5%4x0.9=3.6千米，ZABN=67.5°,

：.ZNBC=90°,

:ZNBC=ZBND=ZCMA=90°,

，四边形BNMC是矩形，

・・・CM=3N=1.6千米，BC=MN,

在△COM中，

1.6

CM-----

DM=------工J3=2.72千米，

tan30°—

3

:.MN=AD-AN-DM=T4.68千米，

二BC=MN=14.68千米.

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函

数的定义求解是解题的关键.

12.如图1,在心zMBC中，N4=90°,BC=10cm,点P,点。同时从点8出发，点P以2cm/s的速度

沿8-A-C运动，终点为C,点。出发f秒时，ABP。的面积为），cm2,已知y与，的函数关系的图象如图

4

2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC=6cm；②曲线MN的解析式为y=-彳户

+竺/（4W/W7）；③线段尸。的长度的最大值为9Mem；④若△PQC与△ABC相似，则/=竺秒，其

557

中正确的说法是（）

D.①②③

【答案】A

加斤】

【分析】①根据图2可知：P走完AB用了4秒，得AB=2x4=8cm，利用勾股定理得AC的长；②当尸

在AC上时，4<r<7,利用同角的三角函数表示高PD的长，利用三角形面积公式可得>与f的关系式;

③当P与A重合时，PQ最大，如图4,此时r=4,求出PQ的长；④当P在AC上时，APQC与AABC,

列比例式可得f的值.

【详解】解：①由图2可知：，=4时，y=]48,

AB=2x4=8cm,

NA=90°,BC=10cm,

AC=6c：m,故①正确；

②当P在AC上时，如图3,过P作尸于Q,

A

：.4<t<7,

由题意得：AB+AP=2t,BQ=t,

:.PC=\^-2t,

PDAB

sinZC

~PC~BC

PD84

14-2/-lo-5J

4（14-2r）

PD=

5

y=SgpQ=；BQ.PD=^.4（l4~2，）=-^2+y/,故②正确;

③当P与A重合时，尸。最大，如图4,此时，=4,

8。=4,

过。作G”LAB于〃,

A（P）

图4

QHAC

sin4=

~BQ~~BC

QH_6

4-10

・3号

同理：BH=3

5

二.AH—8=—,

55

-PQ=ylAH2+QH2=^(y)2+(y)2=/底

二线段PQ的长度的最大值为•百，故③不正确；

④若APQC与AABC相似，点尸只有在线段AC上,

分两种情况：PC=l4-2t,QC=W-t,

i)当△CP0-AC8A,如图5,则竺=人，

图5

14-2/10—

:.——

106

解得「二-8不合题意.

")当APQCsA钻。时，如图6,

图6

.PCQC

ACBC

14-2/10—，

・♦・-----=-----,

610

40

t=—；

7

40

.♦.若APQC与AABC相似，则2=——秒，故④正确;

7

其中正确的有：①②④,

故选：A.

【点睛】本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质

和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相

似或三角函数列方程解决问题.

第n卷（非选择题共102分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.分解因式：m2n+4mn=_____.

【答案】（，"+4）

【解析】

【分析】提取公因式，〃〃即可.

【详解】解：原式=加〃（m+4）.

故答案为：（m+4）.

【点睛】本题考查了提公因式法，确定公因式式解题的关键.

14.如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为—

【解析】

【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.

【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,

360-1202

所以指针落在红色区域内的概率是

360-3

故答案为2.

3

【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，己知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是利用长度

比，面积比，体积比等.

15.若x=l是一元二次方程+2x+/n=0的一个根，则根的值为

【答案】-3.

【解析】

【详解】试题分析：将x=l代入得：l+2+m=0,解得：m=-3.故答案为-3.

考点：一元二次方程的解.

16.如图，矩形ABC。中，AB=\,AD—.以A为圆心，的长为半径做弧交BC边于点E,则图中

的弧长是.

【解析】

【分析】根据题意可得AD=AE=J5,则可以求出sinZAEB,可以判断出可判断出NAEB=45°,进一步求

解NDAE=/AEB=45。，代入弧长得到计算公式可得出弧DE的长度.

【详解】解：；AD半径画弧交BC边于点E,AD=V2

.\AD=AE=V2，

又：AB=1,

sinZAEB=—=-^=—

AEs/22

ZAEB=45°,

:四边形ABCD是矩形

；.AD〃BC

.\ZDAE=ZAEB=45°,

故可得弧DC的长度为=竺二正=①兀,

18004

故答案为：巫兀.

4

【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出NDAE的度数，要求我们熟练掌握弧长的计

算公式及解直角三角形的知识.

17.如图，一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间，已知NACB=90°,AC=BC,从三角尺的刻度可知

A8=20cm,A£＞为三块砖的厚度，BE为两块枝的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度为cm.

DC

I等茶J---

【解析】

【分析】首先证明AA8=ACE8(A4S),进而利用勾股定理，在RSAFB中，AF2+BF2=AB1＞求出

即可.

【详解】解：过点8作，AD于点尸，

DC

设砌墙砖块的厚度为配'加，则8£=2W小，则AD=3xcm,

vZACB=90°,

・•.ZACD4-ZECB=90°,

•••ZECB+NCBE=90。,

・・.ZACD=NCBE,

在AACD和ACEB中，

NADC=NCEB

<ZDCA=/EBC,

AC=BC

/.MCD=ACEB(A4S),

AD=CE，CD=BE，

/.DE=5x,AF=AD—BE=x，

•.在RSAFB中，

AF2+BF2=AB2，

25X2+X2=4OO^

解得一噜

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出DC=CF是解题关键.

18.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形.根据规定判断下

面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱

形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0,2）,

（0,-2）,尸是二次函数y=图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线丁=-2于点Q,则四边形

O

PMNQ是广义菱形.其中正确的是.（填序号）

【答案】①③④

【解析】

【分析】①正方形与菱形对边平行，邻边相等.②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足

对边平行的条件.③通过对边平行与角平分线可得邻边相等.④数形结合，计算出PM与PN的长度作比较.

【详解】解：①正方形与菱形对边平行，邻边相等，满足题意.

②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件，不满足题意.

③如图，四边形ABC。，AD//BC,C4平分NBCD,

-,-AD//BC,

,-.Z3=Z2,

•.•C4平分NBCO,

"1=/2,

.-.Z3=Z1,

:.DA^DC,满足题意.

④如图，

贝J“2+（!机2-2）2=-/n2+2.

V88

11

PQ=-/n72-（-2）=_，"7+2.

88

・•.PM=PQ,

•••PQ//MN,

四边形PMN。是广义菱形满足题意.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查新定义，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，二次函数的图象与性质.

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：（J2021—12022）。+卜；）-|2cos600-l|.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据零指数基、负整数指数幕、绝对值以及特殊锐角三角函数值进行计算即可；

［详解］原式=1_2_2、3_1=1_2=_］,

原式=-1.

【点睛】本题考查了零指数幕、负整数指数幕、绝对值以及特殊锐角三角函数值，正确掌握知识点是解题

的关键.

-3（x+l）>0

20.解不等式组：L-7，并写出所有整数解.

----<-1

【答案】0,1,2,3,4

【解析】

【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

’3（尤+1）>0①

【详解】解：，

解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：x<5,

不等式组的解集为

不等式组的所有整数解为0,1,2,3,4.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式

组的解集是解此题的关键.

21.如图，在平行四边形ABC。中，AE,C尸分别平分N8AO和且AE,CF分别交80于点E,F.求

证：BE=DF.

【答案】证明见解析；

【解析】

【分析】根据平行四边形性质得到AB〃C£>,AB=CD,NBAD=NDCB,求得NA8E=NCCF,根据角平

分线的定义得到根据全等三角形的性质即可得到结论；

【详解】：四边形A8CO是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,ZBAD=ZDCB,

：.NABE=NCDF,

：AE、C尸分别平分NBA。和NOCB,

NBAE=—/BAD,ZDCF=—ZBCD,

22

ZBAE=ZDCF,

：.AABE处"DFIASA）,

：.BE=DF.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及平行四边形的性质，正确掌握知识点是解题的关键.

22.为了调查学生对防溺水知识的了解情况，甲、乙两校进行了相关知识测试，在两校各随机抽取20名学

生的测试成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

甲校20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如图：

甲校学生样本成绩频数分布直方图

成绩机（分）频数（人）频率

509?V60a0.05

609?V70hC

70<w<8030.15

80<w<9080.40

909?V10060.30

合计201.00

b.甲校成绩在80W“<90的这一组的具体成绩是：86；86；87；87；88；89：89；89

c.甲、乙两校成绩的统计数据如表所示：

学校平均分中位数众数

甲83.7m89

乙84.28585

根据以如图表提供的信息，解答下列问题:

(1)表中a—；m=

(2)补全甲校学生样本成绩频数分布直方图；

(3)在此次测试中，某学生的成绩是86分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是校

的学生(填“甲"或"乙”)；

(4)若甲校共有1200人，成绩不低于80分为“优秀”，则甲校成绩“优秀”的人数约为多少人？

【答案】(1)1,87.5；(2)见解析；(3)乙；(4)840人

【解析】

【分析】(1)根据表1中的数据，可以求得a、匕的值，继而由中位数的定义可得机的值；

(2)根据以上所求数据即可将频数分布直方图补充完整；

(3)根据表2中的数据，可以得到该名学生是哪个学校的，并说明理由；

(4)根据表1中的数据，可以计算出甲校成绩“优秀”的人数约为多少人.

【详解】解：(1)由题意可得，

4=20x0.05=1,6=20-(1+3+8+6)=2,

：.m=(87+88)+2=87.5,

故答案为：1,87.5：

(2)补全的频数分布直方图如图所示；

甲校学生样本成绩频数分布直方图

(3)由表2可得，

在此次测试中，某学生的成绩是86分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是乙校学生，理

由是乙校的中位数85<86〈甲校的中位数87.5,

故答案为：乙；

(4)I200X(0.40+0.30)

=1200x0.70

=840（人。

即甲校成绩“优秀''的人数约为840人.

【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

23.如图，AB是。。直径，点C在。。上，AC平分/C48,BO是。。切线，AO与BC相交于点E,与

。。相交于点凡连接8凡

（1）求证：BD=BE；

（2）若£>E=4,BD=2亚,求AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

【分析】（1）利用圆周角定理得到ZACB=9G°,再根据切线的性质得ZABD=90°,则

ZBA£>+ZD=9O°.然后利用等量代换证明/瓯=",从而判断=

（2）利用圆周角定理得到NAEB=9（）。，则根据等腰三角形的性质。尸=EF=：QE=2,再证明

帖DFsMDB,利用相似比求出AO的长，然后计算即可.

【详解】解：（1）证明：QAB是。。的直径，

ZACB=90°,

ZC4E+ZCE4=90°.

•：ABED=/CEA,

：.ZCAE+ZBED^90°.

QB。是。。的切线，

:.ZABD^90°，

：.ABAD+ABDA^90°.

又♦.•AO平分NC4fi,

:.ZCAE=ZBAD,

:.ZBED=/BDA，

BD—BE：

(2)QA8是。。的直径，

.•.ZAFB=90°,

又,；BE=BD,

：.DF=EF=-DE=2.

2

在RtZSBZW中，根据勾股定理得，BF=4.

•.•"=/£>，/BFD=ZABD=90°,

即拽=/，

ADBDAD2石

解得AZ>=10,

:.AE=AD-DE=6.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理、等腰三角形的

判定与性质和相似三角形的判定与性质.

24.一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费10200()元；如果甲，乙两公司单独完成

此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.

(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

【答案】解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天.

解得x=20.

经检验，x=20是方程的解且符合题意.

1.5x=30.

甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天.

(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y-1500)元,

根据题意得12(y+y-1500)=102000解得y=5000,

甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20x5000=100000(元)；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30x(5000-1500)-105000(元)；

让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少.

【解析】

【详解】(1)设甲公司单独完成此项工程需X天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列

出方程求解即可.

(2)分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论.

25.放ZVIBC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=±(^0)在第一象限内的图象与BC边交

x

于点D(4,1),与A8边交于点£(2,〃).

(1)求反比例函数的解析式和“值；

(2)当装时，求直线AB的解析式；

(3)设尸是线段AB边上的点，在(2)的条件下，是否存在点P,以8、C、尸为顶点的三角形与△ECB

相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

41389

【答案】(1)〃=2；(2)y=—x+1；(3)(1,-),(一，-)

x-2255

【解析】

【分析】(1)将。(4,1)、七(2,〃)代入反比例函数＞=七解析式，进而得出〃的值；

x

(2)根据题意进而得出。，E，8的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可;

(3)利用AA£O与AEEP相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可.

【详解】解：(1)•••0(4,1),E(2,〃)在反比例函数y=&的图象上，

X

「♦4=左，2〃=k,

.,•左=4,〃=2,

4

二反比例函数的解析式为y=一；

x

(2)如图1,过点E作EHLBC,垂足为

1

在RtABEH中，tanZ.BEH=tanZA=——=-,

AC2

・・・0(4,1),E(2,2),

EH=4—2=2,

3(4,3).

设直线AB的解析式为》二"+。，代入8(4,3)、E(2,2),

[4Z+b=3k=L

得〃…解得：2,

2Z+8=2.,

i[力=1

因此直线AB的函数解析式为：y=gx+l；

(3)存在，

如图2,作EF工BC于F,PH工BC于H,

BEBD2

当ASEZ3ABPC时,

BP-BC-3

.BF2

,,---=—

BH3

3

BH

2

331

：CH=~,可得彳=1x+l,x=l,

222

3

点尸的坐标为（1,二）；

2

npnr\

如图3,当MEZA■必JBCP时，——=——

BCBP

•;EF=2,BF=1，由勾股定理，BE=5

.2s/5

••------,

BP3

：.BP=正,

5

BFBE…6

••丽=而’BF=I,BH=~,

:.CH=~,可得2=1x+l,x=~,

5525

eO

点尸的坐标为g,-),

3oo

点P的坐标为(1,Q);-),

【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，

相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

CD2

26.在