（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第32讲 基本不等式（练）原卷版+解析

第32讲基本不等式【练基础】1．设a>0，则a＋eq\f(a＋4,a)的最小值为()A．2eq\r(a＋4) B．2C．4 D．52．∃x>0，使得eq\f(1,x)＋x－a≤0，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]3．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知a,b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为()A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．25．在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－26．若实数a,b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．47．若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为()A．7 B．8C．9 D．108．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2 B．16cm2C．4cm2 D．5cm29．若x>1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)的最小值是________．【练提升】1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]2.如图，三棱锥P­ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为()A.eq\f(256π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C.eq\f(32π,3) D．36π3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2 B．4C．6 D．84．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为()A．0 B．1C.eq\f(9,4) D．35．已知a>0，b>0，并且eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为()A．16 B．9C．5 D．46．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝2xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))(x>0，y>0)，则eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值为()A．1 B．8C．2 D．47．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是()A．1 B．3C．6 D．128．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，则a＋b的最小值是()A．7＋2eq\r(3) B．6＋2eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．6＋4eq\r(3)9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq\f(20t,t2＋4)，则经过________h后池水中药品的浓度达到最大．10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．11．已知a>0，b>0，则eq\f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为________．12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq\f(3x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？第32讲基本不等式【练基础】1．设a>0，则a＋eq\f(a＋4,a)的最小值为()A．2eq\r(a＋4) B．2C．4 D．5【答案】D【解析】a＋eq\f(a＋4,a)＝a＋1＋eq\f(4,a)≥1＋2eq\r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.2．∃x>0，使得eq\f(1,x)＋x－a≤0，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]【答案】B【解析】因为eq\f(1,x)＋x－a≤0，所以a≥eq\f(1,x)＋x≥2eq\r(\f(1,x)·x)＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以只需a≥2，故选B.3．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若x<0，则－x>0，x＋eq\f(1,x)＝－(－x)＋eq\f(1,－x)≤－2，∴“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的充分条件；若x＋eq\f(1,x)≤－2，则eq\f(x2＋2x＋1,x)≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的充要条件．故选C.4．已知a,b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为()A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．2【答案】C【解析】由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r(2a·22b)＝2eq\r(2a＋2b)＝2eq\r(24)＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－2【答案】D【解析】对于选项A，当x>0时，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；当x<0时，y＝x＋eq\f(1,x)≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于0<x<eq\f(π,2)，因此0<sinx<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意．对于选项C，函数的关系式转化为y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥eq\f(5,2)，故C不合题意．故选D.6．若实数a,b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4【答案】C【解析】∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，∴a>0，b>0，∵eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，∴ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，∴ab的最小值为2eq\r(2)，故选C.7．若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为()A．7 B．8C．9 D．10【答案】C【解析】将不等式化为eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)≥m，只需当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))min≥m即可，由eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))(4x＋1－4x)＝4＋eq\f(1－4x,x)＋eq\f(4x,1－4x)＋1≥5＋2eq\r(\f(1－4x,x)·\f(4x,1－4x))＝5＋4＝9，当且仅当x＝eq\f(1,6)时取等号，故m≤9，故m的最大值为9.故选C.8．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2 B．16cm2C．4cm2 D．5cm2【答案】C【解析】设矩形模型的长和宽分别为xcm，ycm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤eq\f(x＋y2,4)＝eq\f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2.故选C.9．若x>1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时等号成立．答案：510．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)的最小值是________．解析：eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))(a＋3b)＝4＋9＋eq\f(12b,a)＋eq\f(3a,b)≥13＋2eq\r(\f(12b,a)·\f(3a,b))＝25，当且仅当a＝eq\f(2,5)，b＝eq\f(1,5)时等号成立．答案：25【练提升】1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]【答案】D【解析】由1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)，变形为2x＋y≤eq\f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．2.如图，三棱锥P­ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为()A.eq\f(256π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C.eq\f(32π,3) D．36π【答案】C【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以eq\f(1,3)·n·eq\f(1,2)·m·2＝2，所以mn＝6，又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该外接球的直径是长方体的体对角线，设外接球的半径为R，所以2R＝eq\r(m2＋n2＋4)，所以2R≥eq\r(2mn＋4)＝eq\r(12＋4)＝4，当且仅当m＝n＝eq\r(6)时，等号成立，所以R≥2，所以该三棱锥外接球的体积为eq\f(4,3)πR3≥eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).故选C.3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】法一：由于a＋b＝ab≤eq\f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为()A．0 B．1C.eq\f(9,4) D．3【答案】B【解析】eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f(2,y)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.5．已知a>0，b>0，并且eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为()A．16 B．9C．5 D．4【答案】A【解析】∵eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差数列，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq\f(a,b)＋eq\f(9b,a)≥10＋2eq\r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(9b,a)且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq\f(4,3)时等号成立，故选A.6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝2xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))(x>0，y>0)，则eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值为()A．1 B．8C．2 D．4【答案】B【解析】由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得2x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))(2x＋y)＝4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥4＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝8，当且仅当y＝2x，即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,2)时等号成立，故选B.7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是()A．1 B．3C．6 D．12【答案】B【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3,2x)≥2eq\r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq\f(3x,2)＝eq\f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.8．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，则a＋b的最小值是()A．7＋2eq\r(3) B．6＋2eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．6＋4eq\r(3)【答案】C【解析】由题意得eq\r(3a＋4b)＝eq\r(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1(a>0，b>0)．∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝4＋3＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，当且仅当eq\r(3)a＝2b时取等号．故选C.9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq\f(20t,t2＋4)，则经过________h后池水中药品的浓度达到最大．解析：C＝eq\f(20t,t2＋4)＝eq\f(20,t＋\f(4,t))≤eq\f(20,2\r(t·\f(4,t)))＝5，当且仅当t＝2时取等号，因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．答案：210．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝eq\f(1,2)(a·2b)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))2＝eq\f(1,8)，当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时取等号．故ab的最大值是eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)11．已知a>0，b>0，则eq\f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为________．解析：eq\f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)＝eq\f(1,