新教材2023版高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.2等比数列的前n项和第2课时特殊数列的前n项和课件新人教B版选择性必修第三册

第2课时特殊数列的前n项和1.熟练应用等差、等比数列前n项和公式的性质解题．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教

材

要

点1.分组求和法若数列{an}的通项公式为an＝cn±bn，其中{cn}与{bn}是等差(比)数列或可以直接求和的数列，则一般利用分组求和法求{an}的前n项和．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．

4．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．并项求和法适用的题型一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和．5．倒序相加法求和适合的题型一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．

答案：C

答案：D

答案：C

课堂探究·素养提升

分组求和法例1

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

状元随笔(1)求出等比数列{bn}的公比，再求出a1，a14的值，根据等差数列的通项公式求解．(2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{cn}的前n项和．

跟踪训练1

已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；解析：数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，所以数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为2，因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

错位相减法求和【思考探究】1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？[提示]由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.2．在等式

Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？[提示]在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①两边同乘以{2n}的公比可变形为2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．例2

求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．

方法归纳错位相减法的适用范围及注意事项1．适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．2．注意事项：(1)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错位对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．(2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．

裂项相消法例3

已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；

方法归纳

常见的裂项求和的注意点(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同．(4)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(5)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．跟踪训练3

设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.(1)求an；

并项求和例4

已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn.

延伸探究若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn.

方法归纳

并项求和法适用的题型一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和．跟踪训练4

若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2021＝(

)A．－3027B．3027C．－3031D．3031解析：S2021＝(1－4)＋(7－10)＋…＋(6055－6058)＋6061＝1010×(－3)＋6061＝3031.答案：D

【答案】

C方法归纳

倒序相加法求和适合的题型一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．跟踪训练5

在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．

教材反思