四年级奥数计算经典讲义

加法原理

,%B,

J考试要求

1.使学生掌握加法原理的基本内容；

2.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则.

3.理解标数法

加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯,

锻炼思维的周全细致.

J知识框架

一、加法原理

在生活中做一件事情的时候常常会有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。那么，

考虑完成这件事情所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决。

例如：春节期间康康要从北京去天津看奶奶。他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次

火车从北京到天津，有四趟长途汽车从北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，康康去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有两大类走法：第一类乘火车，有五

种走法；第二类乘汽车，有四种走法。上面的每一种走法都可以从北京到天津，故有5+4=9种不同的走法。

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就

可以完成，并且两大类方法是互无影响的。那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二

类的方法数。

一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有E种不同做法，第二类方法中有m2种不同的

做法，……，第K类方法中有mK种不同的做法，则完成这件事共有：N=ml+m2+……mK种不同的方法。

这就是加法原理。

二、加法原理的运用

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成儿类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的

问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为：“加法分类，类类独立

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，

分类时要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确.

-‘重难点

(1)选取合适的分类标准；

(2)标数法.

二例题精讲

一、枚举法

［例1］从甲地到乙地可以乘坐飞机、火车和轮船，在一天中，从甲地直达乙地有3班飞机,4班火车和3班

轮船,那么一天中甲地到乙地共有多少种不同的走法？

【巩固】从甲地到乙地，有3条公路和2条铁路可以直接到达，从甲地到乙地,共有多少条路可走?

【例2】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同

的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？

【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法?

【例3］把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种.

【巩固】一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况?

【例4】从1〜10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法?

【巩固】从1〜8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法?

【例5】给定三种重量的祛码（每种数量都有足够多个）3kg,11kg,11kg,将它们组合凑成100仅有

种，不同的方法（每种祛码至少用一块。）

【巩固】用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱（不要求每种硬币都有），共有（）种不同的方法.

［例6］一次，齐王与大将田忌赛马.每人有四匹马，分为四等.田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依

次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自

己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等.田

忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛.

【巩固】一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角.小明要在该店花5元5角购买

两种文具，他有多少种不同的选择.

［例7］小明要登上12级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上12级台阶共有多少种不同的登

法？

【巩固】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少种不同的取法?

标数法

【例8】如图所示，从A到B的最短线路有多少条？

【巩固】小伟从家到爷爷家经过的所有路线如下图所示，那么，小伟从家到爷爷家有几条最短路线？

小伟家

爷爷家

［例9］如图所示，小明家在A地，小学在B地，电影院在C地。

(1)小明从家去小学，走最短的线路，有多少种走法？

(2)小明从家去电影院，走最短的线路，有多少种走法？

A

【例10］下图是某地街道平面图，标有0处的道路是不准通行的。问消防车从消防队到着火点有多少条

最短通路？

着火点

__________

97

消防队

【巩固】如图，某城市的街道由五条东西向马路和七条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的

路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？

B

C

A

'U课堂检测

【随练1】从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船

有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

【随练2】从1〜8中每次取两个不同的数相加，和大于11的共有多少种取法?

【随练3】从A处到B处共有多少条最短路线?

A

J家庭作业

【作业1】南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车

和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？

【作业2】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有

多少种选法？

【作业3】小刚到书店去买书，从他家到书店最多有几种最近的走法？

书店

【作业4】用一个5元纸币，四个2元纸币，八个1元纸币买一张龙年8元邮票，共有多少种付款方式

【作业5】旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信

号，最多能表示出多少种不同的信号？

【作业6】左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路线有多少

条？

排列

'J考试要求

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.

J知识框架

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，

就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.

一般地，从〃个不同的元素中取出加（加个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从"个不同元素

中取出机个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如

果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排

列顺序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数.

从”个不同的元素中取出团（加4〃）个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同的元素的排列中取出机

个元素的排列数，我们把它记做片”.

根据排列的定义，做一个加元素的排列由"，个步骤完成：

步骤1：从“个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有〃种方法；

步骤2：从剩下的（〃-1）个元素中任取一个元素排在第二位，有（〃-1）种方法；

步骤加：从剩下的个兀素中任取一个兀素排在第加个位置，有〃-（帆-1）=〃-〃7+1（种）方

法；

由乘法原理，从“个不同元素中取出m个元素的排列数是〃•(”-的(〃-数・…•(n-/M+1),即

^=/t(n-l)(rt-2)...(n-/n+l)I这里，m<n,且等号右边从〃开始，后面每个因数比前一个因数小1,

共有机个因数相乘.

二、排列数

一般地，对于帆=〃的情况，排列数公式变为号1="展〃-1)，(〃一2)3-21.

表示从〃个不同元素中取〃个元素排成一列所构成排列的排列数.这种八个排列全部取出的排列，叫做

〃个不同元素的全排列.式子右边是从"开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积，记

为疝,读做〃的阶乘，则疗还可以写为:/=〃!,其中〃!=〃•(〃——2).....3-2-1.

1重难点

(3)捆绑法.

(4)插空法.

二例题精讲

【例11】计算：(1)厅；⑵斗一砰.

【巩固】计算：(1)(2)吊一年.

【例12】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况?

(照相时3人站成一排)

【巩固】4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法?

【例1319名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法?

【例14】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多

少种不同的站法？

【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法?

【例15】6名小朋友A、B、C、D、E、口站成一排，若A''两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?

若A、3两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

【巩固】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生8与C必须相邻.请问共有多少

种不同的排列方法？

【例16】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有种？

【例17】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、

黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少

种不同的信号？

【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多

少种不同的信号？

【例18】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？

【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？

【例19】用°、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数?

【巩固】用2、3、5、7、9可以组成多少个没重复数字且百位不为3的三位数?

【例20】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数?

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687

是第几个数？

■课堂检测

【随练4】计算：⑴用一片;⑵3成-鼠

【随练5】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信

号？

【随练6】由数字0,1,3,9可以组成多少个无重复数字的三位自然数？

家庭作业

【作业7】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:

有多少种不同的分工方式？

【作业8】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个？

【作业9】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少

种不同的车票.

【作业10】4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中

间有多少种不同的排法？

【作业11】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法?

【作业12】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一

起，一共有多少种不同的停车方案?

排列

■J考试要求

5.使学生正确理解排列的意义；

6.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

7.掌握排列的计算公式；

8.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;

通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.

'J知识框架

三、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，

就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.

一般地，从“个不同的元素中取出机（加4〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素

中取出m个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如

果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排

列顺序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数.

从"个不同的元素中取出，〃个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同的元素的排列中取出机

个元素的排列数，我们把它记做片".

根据排列的定义，做一个“元素的排列由机个步骤完成：

步骤1：从〃个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有"种方法；

步骤2：从剩下的（〃-1）个元素中任取一个元素排在第二位，有（〃-1）种方法；

步骤机：从剩下的［〃-（机-1）］个元素中任取一个元素排在第m个位置，有力-1）=〃-利+1（种）方

法；

由乘法原理，从〃个不同元素中取出，〃个元素的排列数是〃・(〃-2)・…•(«-/»+1),即

,

^=/t(n-l)(M-2)...(n-/M+l)I这里，m<n,且等号右边从〃开始，后面每个因数比前一个因数小1,

共有机个因数相乘.

四、排列数

一般地，对于，的情况，排列数公式变为以=〃•(〃-1)展"-2)…-3-2.1.

表示从“个不同元素中取〃个元素排成一列所构成排列的排列数.这种〃个排列全部取出的排列，叫做

〃个不同元素的全排列.式子右边是从“开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积，记

为加,读做”的阶乘，则谈还可以写为:耳=加，其中〃!=止5-6(〃-2).....3-21.

二重难点

(5)捆绑法.

(6)插空法.

J例题精讲

【例21］计算：⑴石；⑵耳-P；.

【巩固】计算：(1)尸；(2)吊一年.

【例22】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法?

【巩固】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法?

【例23】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？

【巩固】一个篮球队有五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以

分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？

【例24】6名小朋友A、B、C、D、E、产站成一排，若A,B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?

若A、3两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

【巩固】4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间

有多少种不同的排法？

【例25】某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女

少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？

【巩固】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相，请问:

(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？

(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

【例26】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果

同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？

【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:

如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

【例27】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法?

【巩固】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

【例28】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？

【巩固】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法?

【例29】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边,

丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法?

【巩固】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不

能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？

【例30】用2,3,4,5排成四位数：

(1)共有多少个四位数？

(2)无重复数字的四位数有多少个？

(3)无重复数字的四位偶数有多少个？

(4)2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？

(5)2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？

(6)5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？

【巩固】用数字0,1，2,3,4,5组成没有重复数字的正整数.

⑴能组成多少个五位数？

⑵能组成多少个正整数？

⑶能组成多少个六位奇数？

⑷能组成我少个能被25整除的四位数？

⑸能组成多少个比201345大的数？

⑹求三位数的和.

课堂检测

【随练7】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种

不同的坐法？

【随练8】将4、B、C、D、E、尸、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻.请问共有多少种不

同的排列方法？

【随练9】a,b,c,d,e五个人排成一排，a与人不相邻，共有多少种不同的排法？

J家庭作业

【作业13】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委

员.问：有多少种不同的分工方式？

【作业14】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个?

【作业15】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同

的偶数？

【作业16】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?

【作业17】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一

起，一共有多少种不同的停车方案?

【作业18】书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排.⑴如果同类的书不分

开，一共有多少种排法？⑵如果同类的书可以分开，一共有多种排法？

【作业19】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数.

⑴四位数有多少个？

⑵四位数奇数有多少个？

⑶四位数偶数有多少个？

⑷整数有多少个？

⑸是5的倍数的三位数有多少个？

⑹是25的倍数的四位数有多少个？

⑺大于5860的四位数有多少个？

⑻小于5860的四位数有多少个？

⑼由小到大排列的四位数中，5607是第儿个数？

⑩由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？

排列组合

,J------------------------------1>----------------------------

■J考试要求

1.了解排列、组合的意义

2.明白排列和组合的联系与区别

3.掌握排列和组合的常用解题方法。

4.会分析排列组合与其他专题的综合应用，培养学生的逻辑思维能力。

J知识框架

五、排列与组合

在生产生活中，常常用到排列与组合，尤其在计算机研究中。

(-)排列

(1)从〃个不同的元素中取出，"(机4〃)个元素的所有排列的个数，叫做从"个不同的元素的排列中取

出"个元素的排列数，我们把它记做片月”=〃(〃-1)("-2)…5-m+D,这里，mW”，且等号

右边从〃开始，后面每个因数比前一个因数小1,共有旭个因数相乘.

(2)一般地，对于m="的情况，排列数公式变为以=”.(〃_1)展"-2)…-3-2.T表示从八个不同

元素中取"个元素排成一列所构成排列的排列数.这种加个排列全部取出的排列，叫做"个不同元素

的全排列.式子右边是从“开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积，记为加，读

做〃的阶乘，则还可以写为：P"=n\,其中=.....3-21.

(-)组合

(1)从"个不同元素中取出，〃个元素的所有组合的个数，叫做从"个不同元素中取出加个不

同元素的组合数.记作C：.C：=—=+D这个公式就是组合数公

P；；；••…3-2-1

式.

(2)一般地，组合数有下面的重要性质：C：=C,7"(/nW〃)。这个公式的直观意义是：C："表示从"

个元素中取出机个元素组成一组的所有分组方法.CT"表示从〃个元素中取出(〃-〃?)个元素组成一

组的所有分组方法.显然，从〃个元素中选出m个元素的分组方法恰是从〃个元素中选加个元素剩下

的(〃-机)个元素的分组方法.

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C；=C；.

（3）规定=C"=1.

六、排列与组合的联系与区别

联系：所有的排列都可以看做是先取组合，再做全排列；同样组合再补充一个阶段（排列）可转化为排列

问题。

区别：从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.

七'排列组合问题常用解法

（1）捆绑与插空

相邻问题用捆绑法，将题目中规定相邻的若干个元素捆绑成一个组，当做一个元素参与排列；相

离问题用插空法，先将无位置要求的几个元素全排列，再把要求相离的几个元素插入上述几个元素的

空位和两端。

（2）插板法

插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要

求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都

分到1个物体，不能有没分到物体的组出现.

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当

的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法.

使用插板法一般有如下三种类型：

a）w个人分”个东西，要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的

（〃-1）个空隙中放上（机-1）个插板，所以分法的数目为.

b）加个人分〃个东西，要求每个人至少有。个.这个时候，我们先发给每个人m-i）个，还剩下

个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了.所以分法的数目

为明"）一

c），“个人分”个东西，允许有人没有分到.这个时候，我们不妨先借来"，个东西，每个人多发1个，这

样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了（〃+〃?）个，因此分法的数目为

（3）特殊优先法

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。

（4）分步法

（5）排除法

对于一些限制条件过多的题目，可以运用正难则反的思想先求出所有情况，再减去不符合要求的

情况，求得结果。

（6）构造模型法

一些不易理解的排列组合问题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使

问题容易解决。

(7)分解与合成法

(8)利用对应思想转化法

‘重难点

(7)捆绑与插空.

(8)构造模型法.

U例题精讲

应用

【例3114名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法:

(1)甲不在中间也不在两端；

⑵甲、乙两人必须排在两端；

⑶男、女生分别排在一起；

(4)男女相间.

【巩固】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法?

(1)七个人排成一排；

(2)七个人排成一排，小新必须站在中间.

(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.

(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.

(5)七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

(6)七个人战成两排，前排三人，后排四人.

(7)七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排.

【例32】一只兔子沿着方格的边从A到B,规定上只能往上或者往右走，但是必须经过一座独木桥MN,

这只兔子有多少种不同的走法?

插板法

【例33】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法？

【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。

【例34]把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演

出节目数的不同情况共有多少种？

【例35】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法？

(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?

【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法?

构造模型

【例36】马路上有编号为1,2,3,……，9九只路灯，现在要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的两盏或三盏,

也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

【巩固】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况呢？

圆排

【例37】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法?

【巩固】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法?

排除法

【例38】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位?

【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个?

分类

【例39］有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通.从

中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同

时工作.问这样的分配名单共可以开出多少张？

【巩固】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语.现要从中选6

人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游.则不同的选择方法有多少种？

【例40］观察如图所示的减法算式发现，得数175和被减数571的数字顺序相反。那么，减去396后，使

得数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有个。

571

-396

175

【巩固】将o〜9这十个数字分别填入下面算式的□内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共

有种：□+□□+□□□=□□□□

课堂检测

【随练10】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？

【随练11]按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0~55号，但选择两位数

的号码时，每位数字均不能超过5。那么，可供每支球队选择的号码共多少个？

【随练12】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同

类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？

J家庭作业

【作业20】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求：

⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【作业21】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2

盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？

【作业22】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?

【作业23】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个?

【作业24】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停.在一楼有3人进了电梯，其中至少有一

个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？

【作业25】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安

装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备耍3人，共有

多少种不同的选人方案？

平方差公式、完全平方公式

知识框架

平方差公式：成一占=(d+b)(a—，)

完全平方公式：(a+OF=/+2ab+b2

(a-b)2-a2-2ab+b2

''例题精讲

［例41］比比看，看谁算得又快又对。

6x6-5x5=13x13-11x11=752-252=

(6+5)x(6-5)=(13+11)x(13-11)=(75+25)x(75-25)=

［例42］比较下面两个图形的面积，你能发现什么？

【例431请用平方差公式计算下面的题目。

892-112522-322632-372

［例44］202-192+182-172+162-152•••+22-12

【巩固】102-92+82-72+62-52+42-32+22-12

【例45］计算：I2-22+32-42+.••+20052-20062+20072

【巩固】itM12-22+32-42+52-62+...+172-182+192

【例46］有一串数1,4,9,16,25,36……它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991

个数相差多少？

［例47］a、6代表任意数字，(a+h)x(a-h')=axa-bxb,这个公式在数学上称为平方差公式.根据

公式，你来巧算下列各题吧.

(1)98x102⑵67x73⑶64x28(4)2x29x3x31

【巩固】运用公式使计算简便。

1998x2002498x502

[例48]37x37+2x63x37+63x63=

【巩固】计算：314x31.4+628x68.6+68.6x686=

[例49]1282-2x128x28+28?=

【例50]⑴(31415926『-31415925x31415927=.

(2)12342+87662+2468x8766=

【例51］两个正方形的周长之和等于32cm,它们的面积之差为48平方厘米，这两个正方形的边长是多少？

【巩固】正方形A的周长比正方形B的周长长96厘米，他们的面积相差960平方厘米，求这两个正方的

边长是多少？

【例52］智慧村2012年的总人数是一个完全平方数，2013年增加了101人，结果发现总人数还是一个完

全平方数。你知道智慧村2013年的总人数是多少吗？

J课堂检测

【随练13】20122-2x2012x12+122

【随练14]2009x2009-2008x2008=

【随练15】运用公式使计算简便。

999x100188x92

家庭作业

【作业26】填空。

(1)完全平方差公式a?-b2=

(2)完全平方公式(a?+b2)=Aa2-〃)=

【作业27][2007-(8.5x8.5-1.5xl.5)+10]+160-0.3=.

【作业28】运用公式使计算简便.

①9982-4②20022-2003x2001

【作业29】计算：1002-992+982-972+.••+22-12

【随练16】运用公式使计算简便：19982-1997x1999

【作业30】广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要

加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？（用a表示）

【作业31】运用公式使计算简便.

200720072

①②

20072-2008x20062008x2006+1

小数四则运算

♦___________=*

J知识框架

一、加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整

常用的思想方法：

1、分组凑整法.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有

相同尾数的减数.“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一

个数叫做另一个数的“补数”.

2、加补凑整法.有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整.

3、数值原理法.先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加.

4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”(要注意

把多加的数减去，把少加的数加上)

二、乘法凑整与运算性质

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算

简便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111(去8数，重点记忆)

7x11x13=1001(三个常用质数的乘积，重点记忆)

理论依据：乘法交换率：aXb=bXa

乘法结合率：(aXb)Xc=aX(bXc)

乘法分配率：(a+b)Xc=aXc+bXc

积不变规律：aXb=(aXc)X(b+c)=(a+c)X(bXc)

三、乘、除法混合运算的性质

1)商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变.即：

a+/?=(〃x〃)+(/?x〃)=(〃+/%)+(/?+机)机w0,

2)在连除时，可以交换除数的位置，商不变.即：a+b+c=a+c+b

3)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置(即带着符号搬家).

例如：axb+c=a+cxb=b+cxa

4)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“X”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变.即

ax(bxc)=axbxcax(b+c)=axb+c

②括号前是“+”时，去括号后，括号内的“X”变为“+”，“+”变为“X”.即

a+(bxc)=a+b+ca+(b+c)=a+bxc

添加括号情形：加括号时，括号前是“X”时，原符号不变；括号前是“小”时，原符号“X”

一，一，„axhxc=ax(bxc)axb+c=ax(b+c)

变为，，.，，，变为“X".即\'；

a+b+c=a+(bxc)a+b义c=a+(b+c)

5)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘.即

(axb)+(cxd)=(a+c)x(b+d)=(a+d)x(Z?+c)

J例题精讲

[例1]91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8

【巩固】2006+200.6+20.06+2.006+994+99.4+9.94+0.994=

【例2］计算56.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67

【巩固】3.17+7.48-2.38+0.53-3.48-1.62+5.3

【例3］同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲!

0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999

(2)1.996+19.97+199.8

(3)0.7+9.7+99.7+•••+999999999.7

【巩固】请你认真计算下面两道题看谁算得最准确

(1)9.996+29.98+169.9+3999.5

(2)89+899+8999+89999+899999

【例4】(123456789.987654321+234567891.198765432+…+912345678.876543219)+9

【巩固】325.24+425.24+625.24+925.24+525.24

［例5］计算：2.125x7.5x32

【巩固】计算：0.125x0.25x0.5x64

【例6］己知1.08+1.2+2.3=10.8+匚I,其中口表示的数是.

【巩固】2x0.3x5x7x1.1x1.3x1.7x1.9+3.8+0.51+6.5+7.7

【例7】计算：200.9x20.08-200.8x20.07

【巩固】计算：199.9x19.98-199.8x19.97

【例8］计算：20.09x31.5+2.009x317+200.9x3.68=

【巩固】计算：1999x3.14+199.9x31.4+19.99x314.

［例9］计算：6.25x8.27x16+3.75x0.827x8

【巩固】计算：10.37x3.4+1.7x19.26=

【例10】计算：20.09x62+200.9x3.9-7x2.87=.

【巩固】计算：2.89x47+1.53-1.4x1.1+24x0.11+288x0.53-0.1=.

【例11】计算：223x7.5+22.3x12.5+230-4-0.7x2.5+1=.

【巩固】计算：19.98x37+199.8x2.3+9.99x80

课堂检测

【随练1】计算1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01

【随练2】计算：(1)8.1x1.3-8^1.3+1.9x1.3+11.9^1.3；⑵2003x2001+111+2003*73+37

【随练3】计算：379x0.00038+159x0.00621+3.79x0.121

【随练4】计算：51.2x8.1+11x9.25+537x0.19

家庭作业

【作业1】计算

0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+

0.75+0.8125+0.875+0.9375

【作业2】124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

【作业3】计算：2.009X43+20.09X2.9+200.9X0.28=.

【作业4】1.25x17.6+36+0.8+264x125=

【作业5】计算：12.5+3.6—7+9+83+3.6

【作业6】计算78.16x1.45+3.14x21.84+169x0.7816

小数四则运算

-J知识框架

一、加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整

常用的思想方法：

2、分组凑整法.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有

相同尾数的减数.“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一

个数叫做另一个数的“补数”.

2、加补凑整法.有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整.

3、数值原理法.先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加.

4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意

把多加的数减去，把少加的数加上）

二、乘法凑整与运算性质

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的儿个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算

简便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111（去8数，重点记忆）

7x11*13=1001（三个常用质数的乘积，重点记忆）

理论依据：乘法交换率：aXb=bXa

乘法结合率：（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分配率：（a+b）Xc=aXc+bXc

积不变规律：aXb=（aXc）X（b+c）=（a+c）X（bXc）

三、乘、除法混合运算的性质

6）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.即：

7）在连除时，可以交换除数的位置，商不变.即：a+b+c=mb

8）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（