数列通项公式的求法j

数列通项公式的求法陈劲松数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例1．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.③已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。③解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴二、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例2.若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以=在数列中，，（），求通项。解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=三、取倒（对）数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例3.．设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.∵∴例4、设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an22、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{}满足时，，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．四、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例5、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a－2}，从而达到解决问题的目的。练习、1数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。解：由得设a，比较系数得解得∴{}是以为公比，以为首项的等比数列∴2、已知数列满足，且，求．解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．2、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．、例6．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．3、形如解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例7:设数列：，求.解：令化简得：所以解得，所以又因为，所以数列是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列4、形如解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。例8:设数列：，求.5.递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例9:已知数列中，,,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列2.已知数列中，,,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。例10：（1）已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法：这种方法一般不用于解答题）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故(2)．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的