高等数学第六版(上册)第四至六章课后习题答案

高等数学第六版（上册）第四至七章课后习题答案

习题4-1

1.求下列不定积分：

⑴普X；

Jx2

解产公=JX-2公」X-2+1+C=-工+C.

x2-2+1x

(2)\x4xdx;

-312

、2

解]\人公=]\2八=3-丁2+C=^r4+C.

।_11，+i

解^~!=dx=\x2&-j-^2+C=2A/7+C.

2

(4)jx2Vxrfx;

-211+13

解xdx=^x3dx="J~~x3+^=—x3^x+C.

3

._5i一，+i3]

解[_____dx=\x2dx=x^+C=-_•___±C.

"TT2/

2

(6)f/7

解^dx=\x"'dx=-H—x">+C=-^~x"'+C.

JJt+in+m

m

(7)j5x36tr;

解=5Jx3dx=~^x4+C.

(8)J(x2-3x+2)dx;

解j(x2-3x+2)6tr=jx2dx-3Jxdx+2^dx=~x3-~x2+2x+C.

32

(10)J(x-2)2dx;

解J(x-2)2dx=\(x2-4.r+4)(Zr=jx2xdx+4^dx=:x3-2x2+4x+C.

(ll)f(x2+l)2dx;

i2

解J(x2+1)2dr=J(x4+2x2+l)dr=jx4dx+2jx2~x5+_x3+x+C.

53

(⑵j(V7+i)(G-i心;

I3

解J(Vx-1)dx=j(x2-\)dx=Jx2dxx2dx+x2dxdx

13222』

=_r-_/+_-7+。.

335

(13)卢咨•代

\lx

(1-x)"1—2x+x~I1242o

解Jqr公=J—2-2x2+X2)6(¥=2x-”+—工工+C

35

3X4+3X2+1

(14)JFL；

42

Jf3x+3x+1213

+)dx=x

解J—H—公=J(3x-^-]+arctanx+C.

X+1JX+1

x2

(15)[---dx\

1+r2

X2X~+1—11

解|---T-dx=[-----dx=j(l-----5)dx-x-arctanx+C.

Jl+x2」1+x2Jl+1

3

(16)J2eAr+-)tZx;

解\(2e+-)dx=2Pdx+?>\-dx=2ex+31n|x\+C.

XX

32

。7)匕+--不叫

3；,21口1

解-------)dx=?)\----dx-2\~----6tc=3arctanx-2arcsinx+C.

1+/71-x21+r71-x2

(18)\ex(^)dx；

_x_i1

解公=J(e2)tZr=eA-2r2+C.

Vx

(19)j3*e5;

xx

xxx7_(3e)"r_3er

解J3e小J(3e)公=同+。=由+0

r2-3x-5^2X

(20)J—Lr;

2-3x-5-2v

解J

3X

(21)jsecx(secx-tanx)6/x;

解Jsecx(secx-tanx)dx=j(sec2x-secxtanx)dx=tanx-secx+C.

(22)Jcos?”公；

A，,riX.rl+cosx.1r、/1•、一

解Jcos~一dx=Jdx=~Jz(ll+cosx)ax=_z(x+sinx)+C.

2

~、.cos2x,

(24)f----------dx;

」cosx-sinx

2.2

cos2vcosx-sinx

解J：dx=f:dx=[(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C.

Jcosx-sinx」cosx-sinxJ'

〜、cos2x,

(25)[dx;

J2-2

cosxsinx

解卜_吟_公产宁啜-心=-txx+C.

JcosxsinxJcosxsinA:sin-xcos-x

(26)JI--)x[&dx;

解J=J(x4-x4)dx=-X4+4x4+c.

2.一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲

线的方程.

解设该曲线的方程为y=/(x),则由题意得

了=/(无)=1,

X

所以y=，公=ln|x|+C.

又因为曲线通过点侬2,3),所以有=3-2=1

3=/(e2)=ln|e2|+C=2+C,

C=3-2=l.

于是所求曲线的方程为

j=ln|x|+l.

3.一物体由静止开始运动，经f秒后的速度是3t%m/s),问

⑴在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

⑵物体走完360m需要多少时间？

解设位移函数为s=s(f),则s'=v=3t2,s=J3f2力=3+c

因为当D时,s=0,所以C=0.因此位移函数为s=R

(1)在3秒后物体离开出发点的距离是4s(3)=33=27.

(2)由r:360,得物体走完360m所需的时间♦=炳々7.11s.

4.证明函数!e2"/shx和/chx都是一^的原函数.

2chx-shx

Xe

证明----------------------------...-=e2x

chx-shxex+e~xex-e~xe~x

22

因为

/1c2xv2x

(_e)=e,

2

]PX

所以一e2,是-------的原函数.

2clir-shx

因为

X-Vx-X

e-e°+e'9

(e"shx)'=e'shx+e'chx=e'(shx+chx)=e'(----------+?)=e,

2

xex

所以eshx是-----的原函数.

chx-shx

因为

xxxxX.—xX—X

(echxY=echx+eshx=e(chx4-shx)=ex^—g----ve)=e2x,

所以e'chx是上一的原函数.

chx-shx

习题4-2

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立(例如：dx=1rf(4x+7):

4

(1)dx=d{ax)\

1、

解dx=-d(ax).

a

(2)dx=J(7x-3);

解&ld(7x-3).

7

(3)xdx=J(x2);

^xdx=~或八').

2

(4)xdx=d(5f);

解xdx=—d(5x2).

10

(5)xdx=d(1-x2);

解xcbc=-Ld(\-x2).

2

(fi)^dx=J(3X4-2);

解/加-d(3f-2).

12

(J)e2xdx="(e21);

1T..

解小=-d(e).

2

(8)e~^dx=d(l+J);

解e2dx=-ld(\+e2).

33

(9)sin_d(cos_•

22'

3

解s\n^_xdx=-l_d(cos_x).

232

dx

(10)—=J(51n|x|);

X

解生=—d(51n|x|).

x5

…dx

(ID—=d(3-51n|x|);

x

解竺_LJ(3-51n|x|).

x5

(12)dx_d(arctan3x);

1+9*2

dx1

解=d(arctan3;t).

l+9x203

dx

(13)/=d(1-arctanx);

\ll-x

Ay

解.=(-1)d(1-arctanx).

Vl-x

=(-l)).

2求下列不定积分（其中a,b,他°均为常数）:

⑴便力；

解\e5tdt=l\e5xd5x=le5x^C.

55

⑵J(3—2X)3dx;

解J(3-2x)3dx=-1f(3-2x)3d(3-2x)=-1(3-2x)4+C.

28

(3[)—;

Jl-2x

角率~d(l-2x)=-~ln|l-2x\+C.

l-2x2l-2x2

,j-二13±12

解f-=~-f(2-3x)(2-3x)=--(2-3x)3+C=一一(2-3幻？+C.

」明t3八32'’2

(5)J(sinax-^)dx;

1t

解§inax_*)dx=_Jsinaxd(ax)-b\e^%)二—一cosov-beb4-C.

a

解=2jsintdT4t=-2cos4t+C.

(7)Jtan10x-sec2xdx;

解pan"，x-sec2xdx=t^nl()xdtanx=~tan11x+C.

z/r

(8)f----------;

Jxlnxlnlnx

解j"=jdlnx=^~rflnlnx=ln|lnlnx|+C.

xlnxlnlnxInxlnlnxIninx

(9)[tan71+x2•.¥dx;

ViTT7

解JianJ1+r7"dx=kan6+―dWl+/=J^ny^^=dyll+x2

Jl+Jcosvl+x2

Jl+x2=—ln|cosvl+x21+C.

dx

(10)j

sinxcosx

dxsec2x1

解--------tZx=jdtanx=ln|tanx\+C.

Jsinxcosxtanxtanx

(12)jxe'x2dx;

解\xe~x2dx=--\e~x2d(-x2)=--e'xl+C.

22

(13)jxcos(jc2)dlr;

解Jx・cos(x2)dr=1Jcos(x2)d(x2)=1sin(x2)+C.

22

i」iii________

Xdx2-222

解j=--f(2-3x)2J(2-3X)=一(2-3X-)+C=-_72-3X+C.

42-3x2633

31

(15)J----^dx;

3/31434

解/”公二一力-T“(lr)=才“7l+U

1—X—1—X

(16)jcos2(6X+(p)sin(tyf+(p)dt;

解Jcos2{cot+e)sin(初+(p)dt=-~Jcos2(cot+(p)dcos(w+°)=—-cos3(a+(p)+C.

CO3d)

一.sinx.

(17)fdx\

Jcos3X

解Jsinx公=-jcos-3xdcosx=~cos-2x+C=~sec2x+C.

cos3x22

(18)「sinx+cosx

J---dxf;

J为inx-cosx

版rsinx+cosx,r_1一/.、

解31~.dx=3/.t/(—cosx+sinx)

Jvsinx-cosxJvsinx-cosx

」32

=J(sinx—cosx)3d(sinx—cosx)=—(sinx—cosx)'+C.

(19)—dx;

2

解流方八J土抻一』看”

!

JJ^-d(-x)+1J—~—d(9-4x2)Jarcsin~+~J9-4x2+C-

238234

3

(20)处

9+x

X3lx22192122

解]广仁[/心)=-1(!--M(x)h-91n(9+x)]+C.

J2X2-1

5rl.fDi,1r,101…

解Jdx=\dx=~J('--)dx

2X2-1(6x-l)Sx+l)26x-lQx+1

V2x-11-2,-ln|^x+\\+C=2_^in|\+C.

3J2,2Jlr+1

解-^_)t/x="(ln|x-2|-ln|x+l|+C=~ln|--|+C.

(x+l)(x-2)3x-2x+l33x+1

(23)jcos3xdx;

解Jcos3xdx=jcos2xdsinx=1(l-sin2x)dsinx=sinxsin3x+C.

(24)jcos2(cot+(p)dt;

解Jcos2(cot+(p)dt=~J[l+cos2(6Wf+(p)]dt=~sin2(m+(p)+C.

224G

(25)Jsin2xcos3xdx;

解Jsin2xcos3xdr='j(sin5x-sinx)dx=cos5x+』cosx+C.

2102

x

(26)jcosxcos_6/x;

解Jcos戈cos-dx=~j(cos3x+cos-x)dx="sin-x+sin-x+C.

2222322

(27)Jsin5xsin7xdx;

解jsin5xsinIxdx=--J(cosl2x-cos2x)dx=--sinl2x4--sin2x+C.

2244

(28)Jtan3xsecxdx;

解Jtan3xsec^6fr=jtan2x-secxtan2xdsecx

1

=(sec2x-\)dsecx=~sec'3x-secx+C.

J3

]Q2arccosx

in2arccosx[[02arccosx

解j----dx=-fl02arccosx</arccosx=-_j|02arccos^(2arccosx)=-+C.

21nl0

解[咿62

ijflrctanQ=2jarctan4xdarctan&=(arctan\[x)2+C.

4(l+x)

(3—；(ar^iTi^2

6

解f------,r=J----；----darcsinx=-----:---\-C.

(arcsinx)M-x2(arcsinx)arcsinx

\xInx)2

r1+lnx,rDl,.、1「

解Jdx=jd(zxInx)=-——+C.

(xInx)2(xlnx)2x\nx

Jcosxsinx

rIntanx,cIntanx?,rIntanx,.

mI-------a¥=l------sec~xdx=\------atanx

,cosxsinxJtanxJtanx

1

=intanxdIntanx=_(Intanx)2+C.

J2

(34)J,XtZr(a>0);

^a--x2

2

JC令户如球〃2$亩2/oc.2Jofl-cos2zJ

I--------

X,wdx------------------J--“--c-o--s-/---acostdt=aJ\sintdt=aJ2dt,

=la2f，lsin2/+C=t_arcsinfT"a2_j2

242al

(35)Jdx

x《£-T

解J□公---sec/j工j-secrtan/Jr=J(7z=t+C=arccos~+C.

xj.2_]sec/•tanrx

LUr令x=tan/r」1人r,._Dx==

解J(l+1)3部小OSSGM+C=L

x=tan/

(37)J正J公；

(>[x.3sec',9sec"-9r2J

解I----------dx—I---------------rf(3secr)=3|tan2tdt

Jx」3sec/

3

=3f(—\--1)力=3taiU-3/+C=Jx2-9-3arccos_+C.

cosrx

(38)^7^;

解J-dx"产"J'/力=J(I__)力=r-ln(1+r)+C=产-ln(l+产)+C.

1+y[2x1+，1+，''

.dx

l+Vl-x2,

解----令"=sin'[_Qj_出油=j(1-------)dt=j(l--sec~)dt

1+Jl--1+cos/l+cosr22

=t-tan_+C=t-，泊'+c=arcsinx------+C.

21+cosr1+，^

(40)f-^==

x+yl\-x

解—令苫=%一J—.,ljcosl+sinl+cos1—sinf

cosJz=dt

Jx+vl-x2Jsinr+cosr2Jsinr+cos/

--J(sinr+cosr)=-r+-ln|sinr+cosr|+C

sinr+cosr--------------------22

2

=_arcsinx+_ln|J[_x+x\+C.

22

习题4-3

求下列不定积分：

1.jxsinxdr;

解Jxsinxdx=-]xdcosx=-xcosx-Jcosxdx=-xcosx+sinx+C.

2Jinxdx;

解jinxdx=x\nx-\xd\nx=x\nx-\dx=x\nx-x^-C.

3.Jarcsinxdx\

解jarcsinxdx=xarcsinx-jxdarcsinx

fLl-y/

-丁

=xarcsinx-JrVl-~x2dx

=xarcsinx+V1-x24-C.

4.^xe~xdx;

解Jxe~xdx=-jxde~x=-xe~x+Je-Adx

=-x^x-ef+C=-e~x(x+1)+C.

5.1x2\nxdx;

解jx2Inxdx--jinxdx3=~x3lnx-~jx3JInx

333

=~x3lnx--jx2dx=~x7,xx3+C.

3339

6^e~xcosxdx;

解因为

xxxx-v

jetcosxdx=^e~dsinx=e~sinx-jsinxde~=e~sinx+Jesinxdx

=e~xsinx-je-vdcosx=e~xsinx-e~xcosx+Jcosxde~x

=ersinx-e~xcosx-\e~xcosxdx,

所以cosxdx=~(e~xs\nx-e~xcosx)+C=~e~x(sinx-cosx)+C.

22

7.^e~2x;

解因为

je~2xsin~dx-2je-2Ajcos~=2e~2xcos~-2jcos~de~~x

2222

-2x2x

=2ecos~+4p&cos-dx=2e~cos'+8p2dsin—

2222

=2e~2xcos-+8e-"sin”-8jsin~de2

222

=2e~2xcos"+8e-么sin*+16.-2xsin-dx,

222

所以p-2vsin-rfx=--^~2v(cos~+4sin-)+C.

21722

x

&fxcos-dx;

J2

解jxcos"dx=2jxdsin~=2xsin~-2jsin~dx=2xsin~+4cos~+C.

222222

9.jx2arctan

解jx2arctanxdx=~jarctanx加=-^3arctanx--jx3」dx

3331+x2

="x3arctanx--JX2dx2="x3arctanj(l-工)加

36l+x236l+x2

13121i2、­

=_x'arctanx-x_+ln(l+x)+C.

366

1(1jxtan2xtZr

询吊Jxtan2xdx^\x(sec2x-1)dx=Jxsec2xdx-\xdx=-x2+jxJtanx

=--x2+xtanx-jtanxdx=--x2+xtanx+ln|cosx|+C.

22

11.jx2cosx<Zr;

解Jx2cosJO£T=Jx2sinx=x2sinx-jsinx-2xdx=x2sinx+2jxdcosx

=x2sinx+2xcosx-2jcosxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+C.

12[te-2tdt\

解\te-2rdt=--J^-2/=--te~2t+-2zdt

222

1-2/1—2/-1✓1xz-,

=-_tee+C==e-2t(f±)+C.

2422

13Jln2xtZr;

角吊Jin2xdx=xln2x-Jx-21nx-"dx=xln2x-2jlnxdx

912

=xln-x-2xlnjnf2^_dr=xlnx-2xlnx+2jv+C.

Jx

14j.rsinxcosxdx;

解jxsinxcosxdx=』Jxsin2xdx=-~xdcos2x=-~xcos2x+，jcos2xdx

2444

=-_xcos2x±_sin2x+C.

48

15.fx2cos2-iir;

J2

解Jx2cos2-rfx="jx2(1+cosx)dx="x3+-jx2Jsinx=-x3+~x2sinx-jxsinxdx

'226262

1312-r,1312-r.

=一x'+一xsmx+Jxdcosx=~x'sinx+xcosx-Jcosxdx

6262

1312.一

=_x'+_xsinx+xcosx-smx+C.

62

16jxln(A；-\)dx;

解Jxln(x-\)dx=~jln(x-1)dx2=~x2ln(x-1)--jx2」dx

222x-1

=~x2ln(x-l)--J(x+1+--

22x-1

12111

=_x~ln(x-l)-x~2-立ln(x-1)+C.

2422

17.J(x2-l)sin2xdx;

解j(x2-l)sin2xdx=--j(x2-\)dcos2x=--(x2-1)cos2x+-Jcos2x-2xz£r

222

11r

=--(x2-1)cos2x+_Jxdsin2x

22

=-~(x2-l)cos2x+-xsin2x-~jsin2xdx

222

1)11

=-_(x'-l)cos2x±_xsin2x±_cos2x+C.

224

ln3X3113131312

解j—Jin一J”x~yx+3j~~\n，dx

=--In3x-3jln2=--In3x--In2x+3j-JIn2x

xxxxx

=--ln3x--ln2x+6J,\nxdx=--ln3x--ln2x-6jlnxd」

XXX2XXX

1.33.26.r1.

=--InX--InX~~InX+6xJ-dx

xxxx2

1i331616-

=-_InxIn2x二Inxj-+C.

xxxx

19.Je加dr;

.5令诟=t2,72，

解jedx=3pedt=3jzde

=3t2/-61卅dt=3/~e-6^tdel

=3t2el-6tel+6Jeldt

=3t2e'-Gte1+6ef+C

=3e%35p42)+C.

2Qjcoslnxdx\

解因为

jcoslnxdx=xeosinx+Jx-sin\nx~dx

=xeosinx+jsinInxdx=xeosinx+xsinInx-j犬eosinx-~dx

=xeosinx+xsinInx-jcoslnxdx,

x

所以jeosinxdx=~(eosinx+sinlnx)+C.

21.j(arcsinx)2dx;

解j(arcsinx)2tZx=x(arcsinx)2-Jx-2arcsin，5一

=x(arcsinx)2+2jarcsinxdl\-x2

=x(arcsinx)2+2yl\-x2arcsinx-2jdx

=x(arcsinx)2+2vl-x2arcsinx-2x+C.

22psin2xdx.

解Je"sin2xdx="Je"(1-cos2x)t/x=~exJe"cos2xtZr,

222

而\excos2xdx=jcos2xde"=e'cos2x+2je"sin2Azic

=excos2x+2卜in2xdex=evcos2x+2exsin2x一4pcos2xtZx,

Je'cos2xdx=~ex(cos2x+2sin2x)+C,

所以jexsin2xdx-~exex(cos2x+2sin2x)+C.

210

习题4-4

求下列不定积分:

「J/•+27—27r(x+3)(f—3x+9)—27

解I-Tdx=\----------dx=\-------------------dx

乜+3」x+3」x+3

=(x2-3x+9)公-

i3

=_x3-Jx2+9x-271n|x+3|+C.

32

f2x+3,

2.--------dx;

」1+310

解j一—ayj—J-d(%2+3x_]0)=]n|x2+3x_]0|+c.

x2+3x-10X2+3X-10

»5一4o

3」------dx\

X-x

.„„X，+f-8.___i_y_2

解j—3----dx=\{j?+x+\)dx+\^—:-ilx

x-xX-x

=-x34--x2+x+j-6tr-\~dx-\-^-dx

32xx+1x-\

=_1f2t_1x~2+x+81n|x|-41n|x+l|-31n|x-1|+C.

32

3

4.f—dx;

。+1

解J-，-dx*+3.小

x3+l2x—x+12x—x+1

一II1f011/2八3「口〃1、

=ln|x+l|--J-------d(xr+l)+-J------d(x--)

2/_x+i21)2+也)2

22

.k+l|[T«2x-l》

=ln---^=+V3arctan-r=^+C.

7X2-X+1V3

xdx

'J(x+l)a+2)(x+3)'

解JJxdx=1r(J_J._3_)dx

J(x+l)(x+2)(x+3)2x+2x+lx+3

=1(ln|x+2|-31n|x+3|-ln|x+l|)+C.

6ex+1dx'

J(x+1),Cr-1)

解f_E_^=f[11+1-1-1Adx

J(x+1)(x-1)2x+\2x-\(x+1)

=1ln|x-l|+1ln|x-l|+1+C

22~x+i

2

=lln|x-1|+J_+c

2x+1

7.fdx\

x(x2+1)

解—公=J(1-£)6Zr=ln|x|-1ln(l+x2)+C.

x(x2+l)x1+x22

_____dx_____

&J

(X2+1)(x~+x)

解r_U6tx_rL」.X+l」，世

J(x2+l)(?+x)X2X2+12X+1

=ln|x|--ln|x+l|-~[上"dr

22」+l

=ln|x|--ln|x+l|--产•x--^-dx

24x2+l2X2+1

111

=ln|x\-_ln|x+11ln(x2+1)二arctanx+C.

242

9.；

J(x2+l)(x2+x+l)

解f工^L_=[(2±1_-)公

\x2+l)(?+x+l)x+x+l?+1

+11—---公」IMf+l)

2x-+x+l2+x+12

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222f+尤+[

=Jln|x2+x+l|-1ln(?+l)Aparctan2x+1+C.

223百

10.\~dx-,

Jx4+1

解j」一心=j4-------dx

X4+1(X2+&+l)(x2-或+1)

611

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422

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f+，2x+l43x2-yl2x+\

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11.

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百

而二1Qdx

©+；尸+（，）2产

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由递推公式「

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一],

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2

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所以f?2dx=_•--——arctan——-——arctan——4-C

J2222

(x+x+l)2x+x+\2x+x+l"旧6Q

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12J

3+sin~x

解f———^—=f---^—dx=[-----\----dtanx

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3+cosx

X

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222

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2

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——-——dx—f____1___,---du

或3+cosx」3+」'1+w2

1+w2

x

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〃2+(囱2414141A/2

14.fdx;

J2+sinx

d

解\1d!x=Jdx=J-

共

2大2

2+sinx------------”+C

2+2sincos