八年级数学 05 平行四边形选填题压轴（老师版）

专题05平行四边形选填题压轴训练

（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分

选择题解题策略：（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，

求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。

（2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使

自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时

间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目。这样也许能超水平发挥。

（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质

等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。

（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点。

（5）方法多样，不择手段。中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结

合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方

法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有

思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率。

（6）控制时间。一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，

为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。

填空题解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，

在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：

一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答

时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；

二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等,

结果稍有毛病便是零分；

三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本

策略是：快一一运算要快，力戒小题大做；稳一一变形要稳，防止操之过急；全一一答案要

全，避免对而不全；活一一解题要活，不要生搬硬套；细一一审题要细，不能粗心大意。

一、单项选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1.如图，将矩形纸片A8CD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形

EFGH,若EH=3,EF=4,则边8C的长是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】

利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得“E的长即

为边BC的长.

【详解】

解：ZHEM=ZAEH,ZBEF=ZFEM-

AHEF=AHEM+NFEM=L180°=90°,

2

同理可得：NEHG=/HGF=/EFG=90°，

•••四边形EFGH为矩形，

:.GH=EF,GHUEF.

:.NGHN=NEFM,

在kGHN和^EFM中

AGNH=NEMF

<NNHG=NMFE,

HG=EF

:.AGHN=AEFM(AAS),

:.HN=MF=HD,

:.AD=AH+HD=HM+MF=HF，

HF=>JEH2+EF2=>/32+42=5,

BC=AD=5.

故选:B.

【点睛】

此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关

键.

2.如图，点尸为正方形ABC。内一点，已知正方形ABCO的边长为2,且有

则P3的最小值为().

AB

A.1B.V2C.V5-1D.V5+1

【答案】C

【分析】

取AC中点E,连接PE、BE,当P、E、8三点共线时，PB最小,求出BE、即可.

【详解】

解：取AO中点E,连接PE、BE,

•••正方形ABCO的边长为2,

PE=4E=1,

BE^yjAE2+AB2=V5，

'：PBNBE-PE,

当P、E、8三点共线时，PB最小,最小值为石-1，

【点睛】

本题考查了正方形中线段最短问题，解题关键是确定点P的运动轨迹，明确BP长取值范围.

3.如图，两个大小相同的正方形ABC。，EFGH如图放置,点E,3分别在边AD,FG

上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（）.

E

KI>

G

A.ABB.AEC.DED.DE-AE

【答案】C

【分析】

过B作BNVEH,垂足为N,连接BE,BK,KP,分别证明4ABE丝AFEB,△BAE咨ABNE,

△BNK〈ABCK,△KHP^APCK,再将△KHQ的周长进行转化，得至ljED=KC+KH=C\KQH,

可得结果.

【详解】

解：过B作垂足为N,连接BE,BK,KP,

•••两个大小相同的正方形，

：.AB=EF,又；N4=NF,BE=EB,

:ABEgRtAFEB(HL),

:./AEB=NFBE=NNEB,AE=BF,

同理可得：RmBAESBNE,Rt4BNKBRmBCK,

，NEBK=45°,

：.AE+KC=EK,

"：AE=BF,

：.DE=BG,

,/ZH=ZC=90°,ZPQC=ZKQH,

：.ZBPG=ZCPQ=ZQKH=ZEKD,

:ABGPdEDK,

：.PG=KD,

：.PH=KC,

同理可证：4KHpmAPCK,

△KQ”的周长为KC+KH,

又,：AE+EAEK+KH,AE+KC=EK,

AE+ED=AE+KC+KH,

：.ED=KC+KH=4KQH的周长，

...要求出阴影部分的周长，只要知道线段EQ的长度,

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换，解题的关键是利用全等的

性质得到线段的等量关系.

4.如图，在AA8C中，NAC3=90。，AC=3,3c=4、尸、。两点分别在AC和A3上.且

CP=BQ=1,在平面上找一点M.以A、尸、。、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的

C.6+-V65D.8+1765

【答案】D

【分析】

先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到PQ的长，再分三种情况，即可得到以A、

P、。、M为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值.

【详解】

解：由勾股定定理得：AB=5,则AQ=4：

过点。作QNLAC,垂足为N,则QN//BC,

则4V:NC=AQ:QB=4,

贝ijAN=M

由NQ:8C=AQ:A8,得NQ=不，

再由勾股定理得：PQ=|而；

如图1：周长=2(P4+PQ)=4+1屈；

如图2：周长=2(丛+尸河)=12；

如图3：周长=2(AQ+PQ)=8+1病为最长.

*.*8+），65>4+—>/65,并且8+gj65>8+wJ64

即8+1相>14.4>12,

故周长的最大值是8+1而

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形,

利用勾股定理计算得到PQ的长.

5.如图，在DABCD中，AB=6,AD=8,将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE,AE

与BC交于点F,则下列说法正确的是()

A.当NB=90。时，贝！|EF=2

B.当F恰好为BC的中点时，贝！ABCD的面积为126

C.在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是ACEF的2倍

D.当AEJLBC时，连结BE,四边形ABEC是菱形

【答案】B

【分析】

A、设AF=CF=x,构建方程求出x即可判断.

B、证明NBAC=90。，利用勾股定理求出AC,求出平行四边形ABCD的面积即可判断.

C、在折叠过程中，△ABF与AEFC的周长相等，选项C不符合题意.

D、当AELBC时，四边形ABEC是等腰梯形，不符合题意.

【详解】

解：A、如图1中，

AD

、、、

\、、、

\、、

-------------

BF\/

'、/

E

图1

VZB=90°,四边形ABCD是平行四边形，

・・・四边形ABCD是矩形，

・・・AD〃BC,

AZDAC=ZACB,

VZDAC=ZCAE,

AZACF=ZCAF,

・・・AF=CF,设AF=CF=x,

在RSABF中，则有x2=62+(8-x)2,

25

解得x=一，

4

257

・・・EF=8——=一，故选项A不符合题意.

44

B、如图2中,

D

B尸i/C

\/

\/

'/

i/

E

图2

当BF=CF时，

：AF=CF=BF,

/.ZBAC=90°,

•'-AC=^/BC2-AB2=^82-62=277»

S平行四边影ABCD=AB・AC=6x2j7=12近，故选项B符合题意.

C、在折叠过程中，△ABF与^EFC的周长相等，选项C不符合题意.

D、如图3中，

图3

当AE_LBC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意.

故选；B.

【点睛】

本题考查翻折变换，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，M是AABC的边BC的中点，AN是△ABC的外角平分线，BN_LAN于点N,

且AB=4,MN=2.8,则AC的长是（）

N

A.1.2B.1.4C.1.6D.1.8

【答案】C

【分析】

延长CA得射线CD,取AB的中点E,连接NE、ME,可证N、E、M三点共线，即MN

与AB的交点即为AB的中点E,从而易得ME,由AC=2ME即可求解.

【详解】

解：延长CA得射线CD,取AB的中点E,连接NE、ME,如图，

D

为BC的中点，

AME//AC,ME--AC

2

VBN1AN,

AA47V8是直角三角形，

.*.AE=NE=-AB=2

2

乂VAN是^ABC的外角平分线，

/EAN=/ENA=ZNAD

,/ZNEB=ZENA+AEAN=ZEAN+ZNAD=ZDAE

ANE//AC

；.N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E,

VNE=2,MN=2.8

ME=0.8

AC=2ME=2xO.8=1.6

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，得出M、

N、AB的中点三点共线.

7.如图，在A6c中，NAC8=90。，以AA6c的各边为边分别作正方形84"/,正方

形8CFG与正方形C4ZJE.延长8G,FG分别交AD,于点K，J，连结。”，〃.图

中两块阴影部分面积分别记为,工，若5：§2=1：4,四边形SBAHt:=18,则四边形MBNJ

的面积为（）

【答案】B

【分析】

结合题意，根据正方形面积比，计算得3c=2GJ,从而得AC=3G/；根据勾股定理性

质，计算得AB=JI5G/；再根据勾股定理计算，得HD=2GJ；结合5刚注=18,通过计

算得GJ；通过证明,得S4FAN=S^BM，结合矩形CEZE和四边形

MfiN/、,、A3C的面积关系计算，即可得到答案.

【详解】

解：：S:S2=1:4

.GJI

■・---——

BC2

•.•四边形BCEG与四边形C40E是正方形

BC=FC=FG=GB=2GJ

AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ

VZACB=9Q°

AB=VAC2+BC2=V13GJ

AH=AB，ZADH=\S00-ZADE=90°

HD=dAH?一AD?=2GJ

V四边形SBAHE=S丛⑺+梯形SAOEB=18

gAOx+g(A£>+BE)xDE=g*3GJ*2GJ+g(3GJ+GJ)x3GJ=18

GJ—V2

AF=AC-FC=3GJ-2GJ=GJ=BE

VZCAB+ZABC=90°,ZABC+ZEBM=180°-ZABI=90°

；.NCAB=NEBM，即NE4N=NEBM

•••四边形BCFG与四边形CADE是正方形

ZAFN=180°-NCFN=90°,ZBEM=90°

'NAFN=ZBEM=90°

A-AF=BE

2FAN=ZEBM

/•AFAN名AEBM

••S&FAN=S&EBM

SABC=四边形SCFNB+S^EBM

,：ZFCE=ZCEJ=ZEJF=ZJFC=90°

，四边形CE/E是矩形

矩形S"JE=四边形SM&VJ+I’q边形SCFNB+S/^EBM=四边形SMBNJ+S/XABC

,四边形SMBNJ=矩形SCFJE-SABC

=JEXCE-LACXBC=2GJX3GJ--X3GJX2GJ=6

22

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键

是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解.

8.如图，将矩形A8CD的四个角向内折叠铺平,恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFG”,

若EH=5,EF=12,则长为（）

A.13B.——C.12D.17

13

【答案】B

【分析】

先判定四边形EFG”为矩形，即可得到EF=G"，再判定△O//GTZXBFE(AAS),即可得

到DH=BF=FM,再根据勾股定理即可得出AD的长，最后依据120,

即可得到CD的长.

【详解】

解：由折叠可得，NHEM=NAEH,NBEF=NFEM,

ZHEF=ZHEM+ZFEM=—xl80°=90°,

2

同理可得：NEHG=NEFG=90°,

•••四边形EFG”为矩形，

：.EF=GH,

,JAD//BC,

：.NDHF=NBFH,

由折叠可得，NDHG=LNDHF,ZBFE^—ZBFH,

22

：.ZDHG=ZBFE,

又•.•NO=/B=90°,

:.ADHG公ABFE(44S),

:.DH=BF=FM,

又,：AH=MH,

:.AH+DH=MH+FM,即AD=FH,

又•.,□△£77/中，EH=5,E尸=12,

•.•小后+d=13,

：.AD=\3t

由折叠可得，SAEgRMEH,△BE心4MEF,ACFG/4NFG,bDGH/ANGH,

**•StiI；ABCZ>~2S*眠EFGH=2XEF・EH=2X5X12=120,

本题主要考查了矩形的性质、折叠问题以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是

一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

角相等.

9.如图，E是ABCZ）的边延长线上一点，连接BE,CE,BD，BE交CD于煎F,

添加以下条件，不能判定四边形8CEO为平行四边形的是（）

A.ZAEB=/BCDB.EF=BFC.ZABD=/DCED.ZAEC=/CBD

【答案】A

【分析】

根据平行线的性质得到NAEB=/CBF,求得NCBF=NBCD,求得CF=BF,同理，EF=DF,

不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；根据平行线的性质得到NDEF=NCBF,

根据全等三角形的性质得到DF=CF,于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根

据平行四边形的性质得到AD〃BC,AB〃CD,求得DE〃BC,NABD=/CDB,推出BD〃CE,

于是得到四边形BCED为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到

ZDEC+ZBCE=ZEDB+ZDBC=180°,推出NBDE=/BCE,于是得到四边形BCED为平行

四边形，故D正确.

【详解】

解：A、VAE//BC,

AZAEB=ZCBF,

VZAEB=ZBCD,

AZCBF=ZBCD,

ACF=BF,

同理，EF=DF,

・••不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误;

■:DE〃BC,

AZDEF=ZCBF,

ZDEF=ZCBF

"DEF=ZCBF

在^DEF与^CBF中，＜Z.DFE=ZCFB

EF=BF

AADEFACBF(ASA),

ADF=CF

VEF=BF

・・・四边形BCED为平行四边形，故B正确；

•・・四边形ABCD是平行四边形，

A.AD/7BC,AB〃CD,

ADE/7CE,ZABD=ZCDB,

NABD二NDCE,

AZDCE=ZCDB,

・・・BD〃CE,

・・・四边形BCED为平行四边形，故C正确；

•・・AEB〃C,

JZDEC+ZBCE=ZEDB+ZDBC=180°

VZAEC=ZCBD,

；./BDE=/BCE,

・•.四边形BCED为平行四边形，故D正确.

故选:A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判

定定理是解题的关健.

10.如图，在正方形ABC。中，点E，E将对角线AC三等分，且AC=18,点P在正

方形的边上，则满足=则的点P的个数是（）

AB.4C.6D.8

【答案】D

【分析】

由题知，根据对称性，作点F关于BC的对称点Q,连接QE交BC于M,当点P在点M时,

PE+PF的值最小，结合勾股定理即可求解;

【详解】

连接QE交BCTM,

点E、F将对称轴AC三等份，且AC=18；

EC=12,CF=6；

•••点Q与点F关于BC对称

CF=CQ=6,ZACB=ZBCQ=45°；

ZACQ=90°

EQ^y/CE2+CQ2=V180；

在线段BC上存在点M使得EQ=J丽为PE+PF的最小值，即为EQWPE+PF；

当点P运动至点C时，PE+PF=18,

/.当点P在CM之间时，J丽<PE+PR<18，故在CM上存在一个P点，使得

PE+PF=s/l81;

当点P运动至点B时，由图可知，BE=BF,△BOE为直角三角形，OE=3,0B=9,

•*-PE=BE=yjOB?+(DE?=3亚二PE+PF=BE+BF=6M；

当点p在BM之间时，y/180<PE+PF<，故在BM上存在个P点，使得

PE+PF=y/181:

在线段BC上的存在两个点，使得P£+尸F=^/IiT；

同理可得，在AB、CD、DA上也都存在两个点，使得PE+PFh同；

...点P在正方形ABCD上运动时，共有8个点，使得PE+PF=M1；

故选：D

【点睛】

本题考查正方形的性质，重点应用正方形的对称性求解：难点在理解区域范围求解存在点.

11.如图，在△444中，N4=60。，ZA=30°,AA=1，A.是4A+I(〃=I,23“)

的中点，则2021ao224O23中最短边的长为()

出

-4-

A.

【答案】B

【分析】

根据己知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论.

【详解】

解：在AAiA2A3中,NAiA3A2=90°,ZA2=30°,A|A3=1,A2是AnAn+i(n=k2、3...)

的中点，可知：

A4A5〃AiA、,A3A4=A2A4,

JNA3A5A4=90。，NA4A3A2=NA2=30。，

...△AIA2A3是含30。角的直角三角形，

同理可证4AnAn+iAn+2是含30。角的直角三角形.

△AiA2A3中最短边的长度为AIA3=1=.,

△A3A4A5中最短边的长度为A4A5=!=1，

221

△A5A6A7中最短边的长度为A5A7=1=」7,

422

1

所以△A„A,,+IA„+2中最短边的长度为FT,

22

11=1

则4A20I9A2020A202I中最短边的长度为〃-1

2万222

故选:B.

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.也考查了

直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30。角的直角三角形的性质,

以及等腰三角形的性质等知识.

12.如图，以平行四边形ABC。的边A3、BC、CD、D4为斜边，分别向外侧作等腰

直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点，得四边形EFG”,当

ZADC=a(O°<a<90°)Bt,有以下结论：①NGb=180。—②ZH4E=900+a;

③HE=HG；④EH上GH；⑤四边形EFG”是平行四边形.则结论正确的是()

A.①®④B.②®⑤C.①③④⑤D.②③④⑤

【答案】D

【分析】

根据平行四边形性质得出NABC=/ADC=a,ZBAD=ZBCD,AB=CD,AD=BC,AD〃BC,

AB〃CD,根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG,AH=DH=BF=CF,

ZABE=ZEAB=ZFBC=ZFCB=ZGCD=ZGDC=ZHAD=ZEDA=45°,求出

ZHAE=ZHDG=ZFCG=ZFBE=90°+a,证4FBE^AHAE^AHDG^AFCG,推出

ZBFE=ZGFC,EF=EH=HG=GF,求出/EFG=90。，根据正方形性质得出即可.

【详解】

解：...四边形ABCD是平行四边形，

.\ZABC=ZADC=a,ZBAD=ZBCD,AB=CD,AD=BC,AD/7BC,AB//CD,

•••平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直

角顶点分别为E、F、G、H,

，BE=AE=CG=DG,AH=DH=BF=CF,

ZABE=ZEAB=ZFBC=ZFCB=ZGCD=ZGDC=ZHAD=ZEDA=45°,

：AB〃CD,

AZBAD=ZBCD=180°-a,

，NEAH=360°-45°-45°-(!80°-a)=90°+a,NGCF=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a,

.♦•①错误；②正确；

ZHDG=45°+45°+a=90°+a,ZFBE=45°+45o+a=90°+a,

ZHAE=ZHDG=ZFCG=ZFBE,

在AFBE、△HAE,△HDG.z\FCG中，

BF=AH=DH=CF

<ZFBE=NHAE=ZHDG=ZFCG,

BE=AE=DG=CG

.♦.△FBE丝ZXHAE也△HDGdFCG(SAS),

•,.ZBFE=ZGFC,EF=EH=HG=GF,③正确；

，四边形EFGH是菱形，

ZBFC=90°=ZBFE+ZEFC=ZGFC+ZCFE,

ZEFG=90°,

，四边形EFGH是正方形，⑤正确：

.-.EH±GH,④正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定,平行四边形的性质,

菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力.

二、填空题

13.如图，在矩形A8a＞中，0为AC中点，EF过O点且E凡L4C分别交DC于凡交

A8于E,点G是AE中点且NAOG=30。.某班学习委员得到四个结论：®DC=3OG；②0G=

上BC；③OGE是等边三角形；@5宜g=45挹彩加5,问：学习委员得到结论正确的是

26

.（填写所有正确结论的序号）

D

【答案】①③④

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0G=AG=GE=1AE,再根据等边

2

对等角可得NQ4G=30°,根据直角三角形两锐角互余求出NGOE=60°,从而判断出

&OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a,根据等边三角形的性质表示出OE,

利用勾股定理列式求出AO,从而得到AC,再求出BC,然后利用勾股定理列式求出

AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断

出④正确.

【详解】

解：•••E/_LAC，点G是AE中点，

OG^AG=GE^-AE,

2

ZAOG=30°，

ZOAG=ZAOG=30°，

NGQE=90°—30°=60°，

•••oOGE是等边三角形，故③正确；

设A£=2",则O£=OG=a,

由勾股定理得，AO=yjAE2-OE2=7(2tz)2-a2=s/3a-

•••。为AC中点，

；•AC=2AO=20，

/.BC=-AC=-x2y/3a=43a,

22

在R/&ABC中，由勾股定理得，AB=J(2总了_(6a)2=3a，

四边形ABC。是矩形,

***CD=AB=3ci，

ADC=3OG,故①正确；

,；OG=a、BC=^a，-BC=—a.

22

AOG^-BC,故②错误；

2

:SAOE=$-6a=与a1,

SABCD=3a,6。=3上a1,

S=—S,故④正确；

AOEoABCD

综上所述，结论正确是①③④，

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性

质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设OG=a,然后用。表示出相关的线段更

容易理解.

14.如图，，ABC。的对角线AC,BO交于点0,CE平分NBCD交AB于点E,交BD于

点F,且NA8C=60°,A8=28C,连接QE.则AC:30=.

【答案】721:7

【分析】

根据已知条件证明EA=EB=EC,推出/A8C=90。，然后设BC=BE=EC=a，则AB=2a,

利用勾股定理求出4。=耳，得出0C,再用勾股定理求出08,进而得到的值即可

解答.

【详解】

•••「ABCD,

：.CD//AB,OB=OD,OA=OC,

：.ZDCB+ZABC=\SO0,

：ZABC=60°

NOC8=120°

:CE平分NBCD,ZABC=60°

：.ZEBC=ZBCE=ZCEB=60°

AECE是等边三角形，EB=EC

又AB=2BC

:.EA=EB=EC

：.ZABC=90°

设3c=5E=£C=a,则AB=2”,

AC=dABi1-BC。=6a,

OC=——a

2

•**BD=y/la，

:.AC:BD=Ca:币a=®:7.

故答案为：夜1:7

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及勾股定理等知识，解题的关键时灵活

运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.

15.如图，在正方形A8C。中，点E为BC边上一点，且CE=28E,点尸为对角线80上

一点，且5尸=2。尸，连接AE交50于点G,过点尸作尸”J_4E于点〃，若HG=2cm,则

正方形ABCD的边长为cm.

［答案］yVio

【分析】

如图，过尸作FI工BC于I,连接FE,FA.得至I］FI/7CD,设BE=EI=lC=a,CE=FI=2a,AB=3a,

由勾股定理得到尸E=FC=E4=耳，推出根据正方形的性质得到BG

平分乙48C,由三角形角平分线定理得到——=——=一，求得HG=LAE="±a=2,

AGAB344

于是得到结论.

【详解】

解：如图，过F作尸/LBC于/,连接FE,FA,

设BE=a,

"：CE=2BE,

CE=2a,AB-BC=3a.

根据题意可知F/〃CD

竺=竺.2

.ICDF

Fl_BF_1'

XD~~BD~3

:.BE=EI=lC=a.

.CE_2CE_2

BC3CD3

FI=CE=—AB=2a.

3

Ap

0

BEIC

在AEF7中'FE=\JEI2+F『,即尸£=Ja2+(2a『=亚联

:.FE=FC=FA=#a,

为AE的中点，

在AABE中，AE^y/AB2+BE2-J(3a)2+cr-y/lOa，

：.HE=-AE=^-a，

22

•••四边形A8C£>是正方形，

.•.8G平分/ABC,

.EGBEa_1

"AG-AB-3a-3

•••HG=-AE=-a=2,

44

“呵

5

正方形边长为3a=3x生匝=->Vio

5I-'

AD

0

BEIC

故答案为嘤.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理以及平行线分线段成比例等知

识，难度较大，正确的作出辅助线是解题的关键.

16.如图，在A8C中，高AD和BE交于点H,且Nl=N2=22.5°.①N1=N3；②

BD+DH=AB；③2AH=BH；④若DF上BE于点F,则=其中正

确的有.

【答案】①②④

【分析】

由Nl=N2=22.5°,又AO和3E是高，AD1BC,BELAC,Z2+ZC=Z3+ZC，

/2=/3，即可判断①；由N1=N2=22.5°,可求NABO=45°,可证△ABD是等腰

直角三角形，可证△8D〃也△AOC(ASA),可得O”=CD,BH=AC,可证

BC=BD+DH.可证AB=BC即可判断②；连结CH,由A8=5C,Nl=Z2,BE±AC,

可知BE所在直线是对称轴，可得AH=C",在△AHC中，AH+CB>AC即2AH>AC,

由=AC即可判断③;④作DK±4c于K，如图所示：则DF=EK,ZDKC=90°,

可证^。£以^^。/((儿\8),可得/7/=长。，DF=DK，利用线段和差计算可判断

④.

【详解】

解：①•,N1=N2=22.5。，

又•「AD和BE是高,

：.ADVBC,BELAC,

.•.Z2+ZC=Z3+ZC,

.•.N2=N3,

=①正确；

②，N1=N2=22.5。，

..ZAB。=45。，

.■々480是等腰直角三角形，

AD=BD，

AD1BC，

:.NBDH=ZADC=90°,

在和1AOC中，

Z2=Z3

<BD=AD,

NBDH=ZADC

：.△BDH^Z\ADC（ASA）,

：.DH=CD,BH=AC，

：.BC=BD+CD=BD+DH

-：Z1=Z2=22.5°,BELAC,

AB=BC,

：.BD+DH=AB，②正确；

③连结CH

AB=BC,N1=Z2,BE±AC

.•.BE所在有线是对■称轴，

:.AH=CH

在仆AHC中A/7+C”>AC

即2AH>AC

BH=AC,

：.2AH>BH

③2A77=BH错误;

④作DK_LAC于K，如图所示:

则=£K,NDKC=90°,ZC+ZCDK=ZC+Z3-

NCDK=N3,

BELAC,DFLBE，

：.DF//AC,/DFH=90。=NDKC,

：.ZFDH=ZCDK.

在,DFH和△DKC中,

NDFH=NDKC

<ZFDH=ZCDK

DH=DC

/XDFH四△DKC(AAS),

FH=KC,DF=DK,

Z1=Z2.BEYAC，

：.ZBAC=ZBCA,

AB-CB*

AE=CE,

CE=KC+EK,DF=EK，

:.AE=FH+DF

：.AE-FH=DF，④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，轴对称性质，矩形的判定和性质,

仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键.

17.如图，矩形ABCD中，BC=2AB,BC=6,DE平分NADC交BC于点E,G为AB

上一动点，H、F是AD边上的两动点（点F在点H的右边），连接GH、EF,若/AGH

=NFED=a,将△AGH沿GH翻折得到△A'GH,若GA，的延长线恰好经过点F,且GF

的长度为5,连接CF、CA',贝!|AA，CF的面积SAA，CF=.

【答案】|6

【分析】

由翻折得/AG"=NAG"=a,AH=A'H，通过证明△E4'"wAG4H,△AGH,

△A'GH,^4阳全等，分别求出FC=26，FCLA!F,依据三角形面积公式求解即

可.

【详解】

解：在矩形ABCD中，ED平分NADC

.\ZEDC=45°

ZDCE=90°

ZDEC=45°

...△ECD是等腰直角三角形

；.EC=DC

•.*BC=2AB=2DC

・・・E为BC中点

EC=DC=-BC=3

2

「△AGH翻折到△A'GH

，丛AGHNMGH

：.4^GH=NAGH=a

；•AH=AH

•；ZHFA'=ZAGH

AH^AH

ZFAH=ZGAH

：.^FAH^^GAH

.•.△AG",△A'GH,^全等，

AZAHG=ZGHA'=Z/7£4z=-xl80°=60°

3

•••AF=—GF=-y/3

22

・m/56

・・rD=6------

2

FC=\IDC2+FD2=273

：.ZFED=ZAGH=3Q°

•••/E4'C+"C4'=90。，

FCLA!F

22

=2

【点睛】

此题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及三角形面积，证明FC_LAF是解答此题的关

键.

18.如图，PA=2,尸3=4,以A3为边作正方形ABC。，使得产、。两点落在直线AB的

两侧，当NAP8变化时，则产。的最大值为.

【答案】2夜+4

【分析】

过点A作AQ_LAP,使4。=4尸=2,连接8。，先证明△QW丝△%O,得至U8。=尸。得到

当Q、P、B在同直线时，BQ最大,最大值为PQ+PB,根据勾股定理求出PQ,即可求出

最大值.

【详解】

解：过点A作AQJ_4P,使A0=AP=2,连接80,

ZQAP=90°,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ZDAB=90°,

：.ZQAP=ZBAD,

：.ZQAP+ZPAB=ZBADZPAB,

即/QAB=NB4Q,

...△Q45也△%O,

：.BQ=PD,

：.PD最大值即为BQ最大值，

'：BQ<PQ+PB,

...当。、P、B在同一直线时，8。最大，最大值为PQ+P8,

在RSAQ尸中，PQ=^A^+AP1=2A/2,

."Q+P8最大值为2及+4,

最大值为2&+4.

D

故答案为：2行+4.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理、求线段的最大值等问题，根据题意添加辅助线，构造

全等三角形进行线段转化是解题重点.

19.如图，长方形纸片ABC。中，AZ)=7,CD=4,将长方形纸片折叠，使点5落在40上

的点E处，折痕为A尸，再沿OF折叠，使点C落在点G处，连接CG,交O产于点］.则

线段CG的长度为____.在折痕O尸上有一动点P,连接尸C,过点尸作P/7JLOC交。C于

H.则PC+尸”的最小值为.

【分析】

由勾股定理可求DF的长，由折叠的性质和面积法可求GC的长、由线段垂直平分线的性质

可求GP=PC,当点G、P、H三点共线旦CH，C£＞时，由PC+PH的最小值，由面积法即

可得解.

【详解】

解：•••将长方形纸片折叠，

使点8落在AQ上的点E处，

；.BF=EF,ZAFB=ZAFE=NBAF=NEAF=45。,

/-AB=BF=4,

•••CF=3,

•*-DF=y]cD2+CF2=J9+16=5.

,/沿DF折叠，使点C落在点G处，

:.DG=CD,GF=CF,

尸垂直平分GC,

GI=IC,DhGC，

11

SACDF=—XDFxC7=—xDCxCF,

22

3x412

■•CI=------=—>

55

.24

••CG=—，

5

如图，连接GP,GH,

'.'DI=yJcD2-DI144_16

~25~~5

尸垂直平分GC,

：.GP=PC,

：.PH+PC=GP+PH,

当点G,点尸，点H三点共线，且G”LCD时，PH+PC有最小值为GH,

9192

此时GH_%25_96.

4~25

96

故答案为:

25

【点睛】

本题考查了翻折变换、矩形的性质、最短路径问题、勾股定理；灵活运用这些性质解决问题

时本题的关键.

20.如图，在正方形A3CO中，AB=\2,点E在边CO上，CD=3DE.将4)后沿AE

对折至八4庄，延长EF交边8c于点G,连接AG,CF.有下列结论:①ABG=^AFG；

②BG=GC；(§)AG//CF；@5AfCC=6.其中正确的结论是.(填序号)

【答案】①②③

【分析】

由正方形的性质和折叠的性质得出AB^AF,ZAFG=90°,由HL证明RmABGgRtAAFG,

得出①正确；设8G=FG=x,则CG=12-x.由勾股定理得出方程，解方程求出BG,得出GC,

即可得出②正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出

NAGB=NAGF=4GFC=NGCF,得出AG〃CF,即可得出③正确；通过计算三角形的面积

得出④错误；即可得出结果.

【详解】

解：①正确.理由如下：

•四边形ABCD是正方形，

.■.AB=BC=CD=AD=\2,ZB=NGCE=N£>=90°,

由折叠的性质得：AF^AD-NAEE=ND=90°,

：.ZAFG^90°,AB^AF

在RtAABG和RtAAFG中，

AG=AG

AB^AF'

RtAABG三RtAAFG(HL)；

②正确.理由如下：

由题意得：EF=DE=^CD=4,设BG=FG=X，则CG=12—X.

在直角AECG中，根据勾股定理，得(12-X)2+82=(X+4)2,

解得：x=6,

:.BG=6,

.•.GC=12-6=6,

:.BG=GC；

③正确.理由如下：

CG=BG,BG=GF，

:.CG=GF,

.•.△FGC是等腰三角形，/GFC=/GCF.

又•/RtAABGaRtAAFG,

:.ZAGB=ZAGF,

NAGB+ZAGF=2/AGB=180°-ZFGC=乙GFC+ZGCF=2NGFC=2ZGCF,

ZAGB=ZAGF=Z.GFC=Z.GCF,

AG//CF；

④错误；理由如下：

SAm=-2GC2CE=-X6X8=24,

GF=6,EF=4,-GFC和等高，

S&GFC：S/\FCE=3：2,

c3c,72,

^AGFC=—x24=—/6.

故④不正确.

・•・正确的个数有①②③.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行

线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度.

21.如图，在正方形A5CD中，E为AB上一点，过点E作EF//AD.与AC、OC分别交

于点G、F,//为CG的中点，连接OE、EH、DH.FH.下列结论：

®EG=DF；

®ZAEH+ZADH=180°；

③△EHFg△£>//(?；

@PH2=PA1+CH2t

AE]_

⑤若则3S^EW/=5S&DHC，

AB3

其中结论正确的有.（填写序号）

【答案】①②③④⑤.

【分析】

①根据题意可知NACD=45。，则GF=FC,则EG=EF-GF=CD-FC=DF；

③由SAS证明△EHF妾ADHC；

②由全等三角形的性质得到/〃石尸二/HOC,^rfijZAEH+ZADH=ZAEF+ZHEF+ZADF

-ZHDC=180o；

④由“SAS'可证△。。「丝可得PH=QP,ZQAD=ZHCD=45°,由勾股定理可得

结论；

AE1]

⑤若一=一，则AE=—BE,可以证明△EGH名△OF”，则NEHG=NDHF且

AB32

则/O〃E=90。，△EHD为等腰直角三角形，过