高考数学一轮总复习：第九章解析几何

高考数学一轮总复习：第九章解析几何

目录

第1课时直线方程

第2课时两直线的位置关系

第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系

第4课时圆与圆的位置关系及圆的综合问题

第5课时椭圆（一）

第6课时椭圆（二）

第7课时双曲线（一）

第8课时双曲线（二）

第9课时抛物线（一）

第10课时抛物线（二）

第11课时直线与圆锥曲线的位置关系

专题研究一求曲线的轨迹方程

专题研究二最值与范围问题

专题研究三定点、定值问题

专题研究四探索性问题

第1课时直线方程

1.直线x—/y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）

JTJI

A.-B.-

63

25

C.jnD.TH

3o

答案A

2.过点（一1,2）且倾斜角为150。的直线方程为（）

A./x—3y+6+/=0B./x—3y—6+/=0

C./x+3y+6+m=0D.^/3x+3y-6+^3=0

答案D

3.在等腰三角形AOB中，AO=AB,点0(0,0),A(l,3),点B在x轴的正

半轴上，则直线AB的方程为()

A.y-l=3(x—3)B.y—l=-3(x—3)

C.y—3—3(x—1)D.y—3=—3(x—1)

答案D

解析因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所

以kw=—L=—3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-l).

4.已矢口直线1的倾斜角为a,斜率为k,那么"a>子”是“心事”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当3<a<n时，k<0；当心m时，小a〈方.所以“a〉丁，是9八佟'

的必要不充分条件，故选B.

5.如果ACXO月.BC〈O,那么直线Ax+By+C=0不通过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析由条件知直线在两个坐标轴上的截距为正数.

6.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是

()

A.2x+y-12=0B.2x+y—12=0或2x—5y=0

C.x—2y—1=0D.x—2y—1=0或2x—5y=0

答案B

解析设所求直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a.①当a=0

9

时，所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以直线方程为丫=寿，即2x—5y=0；

□

②当田时，设所求直线方程为&x+v会1，又直线过点⑸2),所以5尹2才1，

解得a=6,所以所求直线方程为1+方=1,即2x+y—12=。.综上,所求直线方

程为2x—5y=0或2x+y—12=0.故选B.

7.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴，y轴上的

截距之和的最小值为()

A.1B.2

C.4D.8

答案C

解析,直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),；.a+b=ab,即

；.a+b=(a+b)(-+r)=2+-+^2+2A~,1=4,当且仅当a=b=2时上式

abab\lab

等号成立.

直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

8.在同一平面直角坐标系中，直线L：ax+y+b=O和直线k：bx+y+a

=0有可能是()

答案B

解析当a>0,b>0时，-a<0,-b<0,B项符合.

9.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上，则2x—y的最大

值为()

A.-1B.3

C.7D.8

答案C

5—1

解析依题意得％===—2,所以线段L：y-l=-2(x-4),xe[2,

4],即y=-2x+9,xd[2,4],故2x—y=2x—(—2x+9)=4x—9,xW[2,4].设

h(x)—4x—9,易知h(x)=4x—9在[2,4]上单调递增，故当x=4时，h(x)Irax

=4X4—9=7.

10.曲线y=；x：'—x?+5在x=l处的切线的倾斜角为()

JT3H

A-TB.丁

JIJI

r—D

4—3

答案B

解析y'=x-2x,当x=l时，切线斜率k=/-2><l=—l,设切线的倾

3几

斜角为0,贝han0=-1,...0=丁.

11.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线kx—y+l—k=0与线段AB相

交，则k的取值范围是()

33

A.廿，2]B.(一8,U[2,+°0)

C.(—8,1]U[2,+8)D.[1,2]

答案B

3

解析直线kx—y+1—k=0恒过P(l,1),kpA=2,k|.B=~,故k的取值范

3

围是(-8,-]u[2,+°°).故选B.

12.已知直线1的斜率为:，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线1

6

的方程为.

答案X—6y+6=0或x—6y—6=0

解析设所求直线1的方程为刍+1=1.

ab

Vk=­,即\=一(，.*.a=-6b.

又三角形面积S=3=1|a|•|b|,.e.|ab|=6.

贝(j当b=l时，a=-6；当b=-1时，a=6.

X,yi

...所求直线方程为—6『

一1

即X—6y+6=0或X—6y—6=0.

13.已知P(—3,2),Q(3,4)及直线ax+y+3=0.若沿的的方向延长线段

PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是.

71

答案(一),—

解析直线1：ax+y+3=0是过点A(0,-3)的直线系，斜率为参变数一a,

17、

易知PQ,QA,1的斜率分别为：k=-,易=鼻,ki=—a.若1与PQ延长线相交，

PQ00

71

由图可知kpQ<ki<kAQ,解得一鼻<a<一鼻.

OO

14.若关于x的方程|x-l|—kx=0有且只有一个正实数根，则实数k的

解析由题意，知|x-l|=kx,有且只有一个正实根，结合图形，可得k=

0或k》l.

15.在AABC中，已知A(l,1)，AC边上的高线所在直线方程为x—2y=0,

AB边上的高线所在直线方程为3x+2y-3=0.求BC边所在直线方程.

答案2x+5y+9=0

2

解析kc=-2,k=o-

AABo

lAc：y—1——2(x—1),即2x+y—3=0,

2

IAB：y—l=a(x—1),即2x—3y+l=0.

o

2x+y—3=0,

由得C(3,—3).

3x+2y—3=0,

2x—3y+1=0,

由,得B(—2,—1).

、x—2y=0,

IBC：2x+5y+9=0.

16.如图，射线OA,OB分别与x轴正半轴成45。和30°角，过点P(L0)

作直线AB分别交0A,0B于A,B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=1x上时,

求直线AB的方程.

答案(3十:及一2丫一3一小=0

解析由题意可得k(M=tan45°=1,

k=tan(180°-30°)=-4、分-

OBJ

所以直线LA：y=x,IOB：y

设A(m,m),B(~小n,n),

所以AB的中点：),

22

由点C在直线y=$上，且A,P,B三点共线得

m+n1m-y/3n

2=2.2，

<

m—0n—0

、小一]_y/3n_1

解得m=[5,所以A(m,小).

乂P(l,0),所以k,\B=kAP=，^]=2

所以L：丫=安叵(x—1),

乙

即直线AB的方程为(3+/)x—2y—3-/=0.

17.已知直线已kx-y+l+2k=0(keR),

(1)求证：直线1过定点；

(2)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,0为坐标原点，设

△A0B的面积为S,求S的最小值及此时直线1的方程.

答案⑴定点(一2,1)(2)k20(3)S最小值为4,x-2y+4=0

解析(1)证明：设直线过定点(x。，y。)，

则kxfl-yo+l+2k=O对任意kGR恒成立，

即(x0+2)k—yo+l=0恒成立.

所以x()+2=0,—yo+l=O.

解得x()=—2,y0=l,故直线1总过定点(一2,1).

(2)直线1的方程为y=kx+2k+l,

则直线1在y轴上的截距为2k+l,

要使直线1不经过第四象限，

化20,

则一°,解得k的取值范围是k20.

ll+2k»0,

l+2k

(3)依题意，直线1在x轴上的截距为在y轴上的截距为l+2k,

k

।+2k

则A(一丁,。)，B(0,l+2k).

l+2k

又一k〈°,且"2k＞。，

/.k>0.^S=||0A||OB

1l+2k/,、

=zX——X(l+2k)

ZK

=J（4k+：+4）2）（4+4）=4,

/KzS

当且仅当4k=；,即k=1时，等号成立.

KLt

故S的最小值为4,此时直线1的方程为x-2y+4=o.

第2课时两直线的位置关系

1.设aGR,则“a=l”是“直线L：ax+2y—1=0与直线b：x+（a+l）y

+4=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若两直线平行，则a（a+l）=2,即a?+a—2=0,...a=l或一2,故

a=l是两直线平行的充分不必要条件.

2.若直线mx+4y—2=0与直线2x—5y+n=0垂直，垂足为（1,p）,则实

数n的值为（）

A.-12B.—2

C.0D.10

答案A

解析由2m—20=0,得m=10.

由垂足（1,p）在直线mx+4y—2=0上，得10+4p—2=0.

•*.p——2.

又垂足（1,一2）在直线2x—5y+n=0上，则解得n=-12.

3.若L：x+（l+m）y+（m-2）=0,12：mx+2y+6=0平行，则实数m的值

是（）

A.m=l或m=—2B.m=l

C.m=-2D.m的值不存在

答案A

解析方法一：据已知若m=0,易知两直线不平行，若mWO,则有』=中

m2

m—2

手-=m=1或m=-2.

6

方法二：由1义2=(l+m)m,得m=—2或m=l.

当m=-2时，L：X—y—4=0,12：—2x+2y+6=0,平行.

当m=l时，L：x+2y—1=0,12：x+2y+6=0,平行.

4.直线kx—y+2=4k,当k变化时，所有直线都通过定点()

A.(0,0)B.(2,1)

C.(4,2)D.(2,4)

答案C

解析直线方程可化为k(x—4)—(y—2)=0,所以直线恒过定点(4,2).

5.分别过点A(l,3)和点B(2,4)的直线L和L互相平行且有最大距离，

则L的方程是()

A.X—y—4=0B.x+y—4=0

C.x=lD.y=3

答案B

解析连接AB,当L与卜分别与AB垂直时，L与卜之间有最大距离且d=

|AB|,此时1＜钠=1,.*.kl,=-1,则y—3=—(x—1),即x+y—4=0.

6.光线沿直线y=2x+l射到直线y=x上，被y=x反射后的光线所在的直

线方程为()

111

A.y=]x—1B.y=]x—5

1,11,

c.y=2x+?D-y=]x+i

答案B

fy=2x+l,fx=—1,

解析由得即直线过(一1,-1).

[y=x,ly=­b

又直线y=2x+l上一点(0,1)关于直线y=x对称的点(1,0)在所求直线上，

二所求直线方程为上言=4\，即y=5一)

—1-U—1-1ZZ

7.点A（l,1）到直线xcosO+ysin。-2=0的距离的最大值是（）

A.2B.2—也

C.2+而D.4

答案C

解析由点到直线的距离公式,得d』半「斗"三:1=2一小sin（。+

7COS0+sin"0'

R,又0GR,

•'.dmax=2+^/2.

8.若曲线y=x'的一条切线1与直线x+4y—8=0垂直，则1的方程为（）

A.4x—y—3=0B.x+4y—5=0

C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

答案A

解析令y'=4X3=4,得x=l,...切点为（1,1）,1的斜率为4.故1的方

程为y—l=4（x—1）,即4x—y—3=0.

9.若动点A（X1,y）,B（X2,y?）分别在直线L：x+y—7=0,12：x+y—5

=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（）

A.3班B.2小

C.3^3D.4y/2

答案A

解析由题意知，点M所在直线与1,L平行且与两直线距离相等.设该直

线的方程为x+y+c=0,则上晋，解得c=—6.点M在直线x+y—6

=0上.点M到原点的最小值就是原点到直线x+y—6=0的距离，即d=」*'=

3^2.故选A.

10.复数z满足zi=3+4i,若复数已在复平面内对应的点为M,则点M

到直线3x—y+l=0的距离为（）

典

BR巫

5-5

8®

D.y/10

c.5

答案D

解析由zi=3+4i,得2=丁===4—3i,...7=4+3i'...£在

复平面内对应的点M（4,3）,...所求距离d=需+11=标.

11.三条直线L：x—y=0,12：x+y—2=0,13：5x—ky—15=0构成一

个三角形，则k的取值范围是（）

A.kGRB.keR且kW±l,kWO

C.k£R且kW±5,kW—10D.k£R且k#±5,k#l

答案C

解析由L〃h，得k=5；由k〃13，得k=—5；由x—y=0与x+y—2=

x=l,

0,得彳若（1,1）在h上，则k=-10.若1“b，L能构成一个三角形，则

ly=l，

kW±5且kW-10,故选C.

12.已知倾斜角为a的直线1与直线m：x—2y+3=0垂直，则cos2a=

3

答案蓝

解析直线m：x—2y+3=0的斜率是J,.•.直线1的斜率是一2,

乙

上乙冗2兀.2\[5乖2

故tana=­2，/.-<a,sina=2!,cosa=—/.COS2a=2cos

2355

a-1=2X=

13.若函数y=ax+8与y=—gx+b的图像关于直线y=x对称，则a+b=

答案2

解析直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,

1|a=-2,a+b2

所以x=ay+8与y=-?+b为同-直线，故得《=4,所以=-

14.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上，则函而的最小值为

答案3

解析VM(a,b)在直线3x+4y=15上，，3a+4b=15.而后前的几何意

义是原点到M点的距离|0M1,所以(严后)3.

15.已知直线1过点P(3,4)且与点A(—2,2),B(4,一2)等距离,则直线

1的方程为.

答案2x+3y—18=0或2x—y—2=0

解析设所求直线方程为y—4=k(x—3),即kx—y+4—3k=0,由已知,

得

|-2k-2+4-3k||4k+2+4-3k|

W+k'"^l+k2

—2

.•.k=2或k=-~

o

...所求直线1的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.

16.如图所示，已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB

反射后再射到直线0B上，最后经直线0B反射后又回到P点，则光线所经过的路

程是_______.

答案2710

解析由题意，求出P关于直线x+y=4及y轴的对称点分别为PI(4,2),

PJ-2,0),由物理知识知，光线所经路程即为|PF』=245.

17.在aABC中，BC边上的高所在直线L的方程为x—2y+l=0,NA的平

分线所在的直线k的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A,C的坐标.

答案A(-l,0),C(5,-6)

解析如图，设C(x0,y0),由题意知LC12=A,则

fx—2y+l=0,fx=—1,

ly=Oly=O.

即A(—1,0).

又•.•L_LBC,/.knc*kl,=-l.

,,kBC-kl,-12.

2

•••由点斜式可得BC的直线方程为y—2=-2（x—l）,即2x+y—4=0.

又•••以y=0（x轴）是NA的平分线,

•••B关于卜的对称点B'在直线AC上，易得B'点的坐标为（1,-2）,由两

点式可得直线AC的方程为x+y+l=0.

Xo+yo+l=O,Xo=5,

由C（x。，y。）在直线AC和BC上，可得=41即C(5,

—

,2xo+y(>4=0[y0=-6.

-6).

18.设一直线1经过点（一1,1）,此直线被两平行直线L：x+2y—1=0和

12：x+2y—3=0所截得线段的中点在直线x—y—l=0上，求直线1的方程.

答案2x+7y-5=0

解析方法一：设直线x—y—1=0与L,k的交点为C［（xc,yJ,D（XD,%）,

则

x+2y-l=0,xc=l,

今.,.C(l,0).

x—y—1=0Jc=0,

_5

x+2y—3=0,X"3*52

<=></.D(-,~

x—y—1=0233

41

则C,D的中点M为（鼻，-）.

oo

又1过点(一1,1),由两点式得1的方程为

14

y-3

1

1------

33

即2x+7y—5=0为所求方程.

—1—3

方法二：•.•与L，b平行且与它们的距离相等的直线方程为x+2y+—^―

=0,即x+2y—2=0.

[x4-2y—2=0,

由，c得M4(*19•(以下同方法一)

[x—y—1=0,JJ

方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x+2y—2=0,

设所求方程为(x—y—1)+入(x+2y-2)=0,

V(-1,1)在此直线上，/.-1-1-1+X(-1+2-2)=0,入=一3,代

入所设得2x+7y—5=0.

方法四：设所求直线与两平行线L，12的交点为A(x”力)，B(X2,y2),则

fx,+2y1—1=0,

1n=>(x,+x2)+2(y)+y2)—4=0.

lx2+2y2—3=0

又A,B的中点在直线x—y—1=0上，

.xj+xyi+y2,八

--2----2_―1=0-

‘Xi+x24

2=『

解得V(以下同方法一)

yi+y21

2=?

第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系

1.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时，圆心坐

标为()

A.(-1,1)B.(1,-1)

C.(—1,0)D.(0,—1)

答案D

解析r=^/k2+4—4k2=^\/4—3k2,

当k=0时，r最大.

2.圆C与x轴相切于T(l,0),与y轴正半轴交于A,B两点，且|AB|=2,

则圆C的标准方程为()

A.(x—l)?+(y—m)2=2B.(x—l¥+(y—2)2=2

C.(x+lT+(y+啦产=4D.(x-l)2+(y—\/2)2=4

答案A

解析由题意得，圆C的半径为，中=蛆，圆心坐标为(1,/),.•.圆C

的标准方程为(x—l¥+(y—镜¥=2,故选A.

3.已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0,则“E=F=0且D<0"是''圆C与y

轴相切于原点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析圆C与y轴相切于原点0圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a,0)),且

半径r=|a|..,.当E=F=0且D<0时，圆心为(一弓，0),半径为圆C与y

轴相切于原点；圆(x+l)'+y：'=l与y轴相切于原点，但D=2>0,故选A.

4.直线mx—y+2=0与圆(+/=9的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.无法确定

答案A

解析方法一：圆x?+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,直线mx—y+2=0

恒过点A(0,2),而0?+22=4<9,所以点A在圆的内部，所以直线mx—y+2=0

与圆x,+y2=9相交.故选A.

方法二：求圆心到直线的距离，从而判定.

5.一条光线从点(一2,—3)射出，经y轴反射后与圆(x+3¥+(y—2尸=1

相切，则反射光线所在直线的斜率为()

3f2

A.B..］或飞

答案D

解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射

光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x—2)即kx-

y-2k-3=0,又因为反射光线与圆相切，

所以上超誉二显=1旬2k?+25k+12=0nk=，，或k=—*故选

D项.

6.已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1),且被y轴分成两段弧，弧长之

比为2：1,则圆的方程为()

A.x?+(y土斗B.x-+(y±-^)2=1

C.(x土金)2+y2=]D.(x土乎)z+y2=；

OO

答案c

解析方法一：(排除法)由圆心在x轴上，则排除A,B,再由圆过(0,1)

点，故圆的半径大于1,排除D,选C.

方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x—a)2+y2=d,圆C与y轴交于A(0,

1),B(0,-1),由弧长之比为2：1,易知N0CA=；NACB="xi20°=60°,

则tan60°=胎=[一,所以a=|0C|=坐，即圆心坐标为(士半，0),r2=

|UUI|UU|uJ

|ACr=12+(乎)2=].所以圆的方程为(X土乎)2+y2=],选C.

7.过点P(—1,0)作圆C：(x—l)2+(y—2)2=1的两条切线，设两切点分

别为A,B,则过点A,B,C的圆的方程是()

A.x2+(y—1)2=2B.x2+(y—1)2=1

C.(x—l)2+y2=4D.(x—l)2+y2=l

答案A

解析P,A,B,C四点共圆，圆心为PC的中点(0,1),半径为扛。=之

yl(1+1)2+22=y[2,则过点A,B,C的圆的方程是x?+(y—1产=2.

8.直线xsin0+ycos0=2+sin0与圆(x—1)°+/=4的位置关系是

()

A.相离B.相切

C.相交D.以上都有可能

答案B

ISin0—2—sin0I

解析圆心到直线的距离d='..「=2.

\Jsin-0+cos9

所以直线与圆相切.

9.过点(3,1)作圆(x—l¥+y2=l的两条切线，切点分别为A,B,则直线

AB的方程为()

A.2x+y—3=0B.2x—y—3=0

C.4x—y—3=0D.4x+y—3=0

答案A

解析如图,圆心坐标为C(l,0),易知A(l,1).XRAB,krc=-1,且km

故直线AB的方程为y—l=-2(x—l),即2x+y—3=0,故选A.

另解：易知P,A,C,B四点共圆，其方程为(x—1)(x—3)+(y—0)(y—1)

=0,即x2+y2—4x—y+3=0.

又已知圆为x2+y2—2x=0,

，切点弦方程为2x+y—3=0,选A.

10.已知圆x2+(y—l)2=2上任一点P(x,y),其坐标均使得不等式x+y

+m20恒成立，则实数m的取值范围是()

A.[1,+°°)B.(-8,1]

C.[—3,+°°)D.(—8,—3]

答案A

解析如图，圆应在直线x+y+m=0的右上方，圆心C(0,1)到1的距离

为且]吐，切线字应满足'=镜,/.Il+m|=2,m=l或川=一3(舍去).从

而一mW—1,1.

11.直线x-y+2=0与圆与(x-3T+(y—3)2=4相交于交B两点，则以€B

的值为()

A.-1B.0

C.1D.6

答案B

(x-3)2+(y-3)2=4,

解析联立，x-y+2=o,消去”

得x?—4x+3=0.解得Xi=l,X2=3.

/.A(l,3),B(3,5).

又C(3,3),ACA=(-2,0),CB=(0,2).

ACA•CB=-2X0+0X2=0.

12.由直线y=x+l上的一点向圆(x—3V+y2=l引切线，则切线长的最小

值为()

A.1B.2:

C.木D.3

答案C

解析设直线上一点P,切点为Q,圆心为M,

则IPQI即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1,

IPQI=^/|PM|*2-*49|MQi2=^|PM|2-l,要使|PQ1最小，即求|PM|最小，此题转

化为求直线y=x+l上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y=x+l的距离

|3-0+1|

为d,贝！Jd=2蜴

qf+（-i）2

|PM|最小值为次修，|PQ|="PM|2—1={(2镜)2-1=小,选c.

13.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为

Q9R

答案(x+2)2+(y-^)2=y

解析对于直线3x—4y+12=0,当x=0时，y=3；当y=0时，x=-4.

/O2_I_425

即以两点(0,3),(—4,0)为端点的线段为直径，则r=A\—圆心为(一

43、口r/3、

2»万)，即(一2,-).

•••圆的方程为(x+2)?+(y—y=中

27

14.从原点0向圆C：x?+y2—6x+了=0作两条切线，切点分别为P,Q,

则圆C上两切点P,Q间的劣弧长为.

答案”

9

解析如图，圆C：(x-3)2+y2=-,

3

所以圆心C(3,0),半径r=a.

乙

在R3OC中，NP0C=.

则劣弧PQ所对圆心角为空.

O

23

弧长为鼻冗X-=n.

O乙

15.若直线1：4x—3y—12=0与x,y轴的交点分别为A,B,0为坐标原点,

则△A0B内切圆的方程为.

答案(x-l)2+(y+l)2=l

解析由题意知,A(3,0),B(0,一4),则|AB|=5.

3+4—5

...△A0B的内切圆半径r=—广=1，内切圆的圆心坐标为(1，-1).

.•.内切圆的方程为(x—l)2+(y+l)2=l.

16.一个圆与y轴相切，圆心在直线x—3y=0上，且在直线y=x上截得的

弦长为2巾，求此圆的方程.

答案x2+y2-6x-2y+l=0或x2+y2+6x+2y+1=0

解析方法一：•••所求圆的圆心在直线x—3y=0上，且与y轴相切,

，设所求圆的圆心为C(3a,a),半径为r=3|a|.

又圆在直线y=x上截得的弦长为2币，

圆心C(3a,a)到直线y=x的距离为d=上六T.

VI+12

...有d°+(，7)2=r；即2a?+7=9aM.'.a=±1.

故所求圆的方程为

2

(X-3)2+(y—l)2=9或(X+3¥+(y+l)=9.

方法二：设所求的圆的方程是(x—aT+(y—b)2=Y,

|a—b|

则圆心(a,b)到直线x—y=0的距离为

木­

2=(h^l)2+(诉2.

即2/=(a—bT+14.①

由于所求的圆与y轴相切，，r2=a2.②

又因为所求圆心在直线x-3y=0上，

.,.a—3b=0.③

联立①②③，解得

a=3,b=l,召=9或a=—3,b=—1,r2=9.

故所求的圆的方程是

(X-3)2+(y—1)2=9或(X+3)?+(y+l)2=9.

方法三：设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,

np1,_________

圆心为(一于一R,半径为。为+E?—4F.

令x=0,得y2+Ey+F=0.

由圆与y轴相切，得△=(),即E?=4F.④

I—邛

DF2,2

又圆心(一5,-2)到直线x-y=O的距离为小,

Q+早2广

由已知，得22+(巾)2=己

即(D—E)2+56=2(D2+E2—4F).⑤

DE

又圆心(一5，—-)在直线x—3y=0上，

乙乙

/.D-3E=0.@

联立④⑤⑥，解得

D=—6,E=—2,F=1,或D=6,E=2,F=l.

故所求圆的方程是x2+y2—6x—2y+l=0

或x24-y2+6x+2y+l=0.

17.已知圆C：x?+y2+2x+a=0上存在两点关于直线1：mx+y+l=O对

称.

(1)求实数m的值；

(2)若直线1与圆C交于A,B两点，漪•谅=-3(0为坐标原点)，求圆C

的方程.

答案(l)m=l(2)x2+y2+2x-3=0

解析(1)圆C的方程为(x+l)?+y2=l—a,圆心C(一1,0).

•.•圆C上存在两点关于直线1：mx+y+l=O对称,

，直线1：mx+y+l=O过圆心C.

/.—m+l=0,解得m=L

x2+y'+2x+a=0,

(2)联立＜消去y,得

_x+y+l=0,

2x?+4x+a+1=0.

设A(xi,yi),B(X2,y2)»

A=16-8(a+l)>0,/.a<l.

a+1

由X|+x2=-2,x,x2=­得

...a+1

y»2=X]—1)(—x2—1)=2-1.

:=:

/.0A•0B=x1x2+yiy2a+1—l=a=—3.

，圆C的方程为x2+y2+2x-3=0.

第4课时圆与圆的位置关系及圆的综合问题

22

1.两圆G：x+y+2x—6y-26=0,C2：x'+y?—4x+2y+4=0的位置关系

是()

A.内切B.外切

C.相交D.外离

答案A

解析由于圆G的标准方程为(x+l)?+(y—3)2=36,故圆心为弓(一1,3),

半径为6；圆&的标准方程为(x—2)2+(y+l)z=l，故圆心为G(2,-1),半径

为1.因此，两圆的圆心距|CQ|=d(—1-2)?+(3+1)2=5=6—1,显然两

圆内切.

2.直线x-V3y=0截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是()

JIJI

A.—B.—

6o

JI2Ji

C・5

答案D

2

解析画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为€1=1,

正+(4)

JIIT2n

，,ZAC0=n至一至=亍

3.已知直线1：x+ay—l=0(aGR)是圆C：x"+y2—4x—2y+1—0的对称

轴.过点A(—4,a)作圆C的一条切线，切点为B,则1AB|=()

A.2B.472

C.6D.2710

答案C

解析由题意得圆C的标准方程为(x—2)?+(y-l)2=4,所以圆C的圆心为

(2,1),半径为2.因为直线1为圆C的对称轴，所以圆心在直线1上，则2+a

-1=0,解得a=—1,连接AC,BC,所以|AB「=|AC「一|BC「=(—4—2尸+(—

1-1尸一4=36,所以|AB|=6,故选C.

4.直线y=一半x+m与圆x?+y2=l在第一象限内有两个不同的交点，则

O

m的取值范围是()

答案D

解析当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m=l；

m==1,解得>11=平(切

当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d=

2

1+

点在第一象限），所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要

2-

l<m<-

3°

5.圆x2+y2—4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，其圆心为P,若/APB

=90°,则实数c的值是()

A.-3B.3

C.D.8

答案A

解析