数学-专项2 相交线与平行线中蕴含的数学思想（带答案）

专题2相交线与平行线中蕴含的数学思想（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一数形结合思想典例1（2021春•丰台区校级期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠DAE＝∠BCF，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由．（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？思路引领：（1）利用邻补角的定义以及平行线的判定得出即可；（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质进而得出∠FDA＝∠BCF，进而得出答案．解：（1）AE∥FC，理由：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠1，∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；（2）AD∥BC，理由：∵DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠ADB，∵AE∥FC，∴∠FDA＝∠BAD，∵∠DAE＝∠BCF，∴∠FDA＝∠BCF，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．总结提升：此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解题关键．变式训练1．（2022春•平舆县期末）如图，点E、D、C、F在一条直线上，AF与BE交于点O，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．

（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．思路引领：（1）根据平角的性质和已知条件，∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°即可得∠ADF＝∠BCF，即可得出答案；（2）由已知条件∠ABC＝2∠ABE，∠ABC＝2∠E，可得∠ABE＝∠E，再由平行线的判定即可得出答案；（3）根据平行线的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD，可得解：（1）AD∥BC，理由如下：因为∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°．所以∠ADF＝∠BCF．所以AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：因为BE平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠ABE．因为∠ABC＝2∠E，所以∠ABE＝∠E．所以AB∥EF．（3）因为AD∥BC，所以∠DAB+∠ABC＝180°．因为BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，所以∠ABE=12∠ABC，∠BAF=1所以∠ABE+∠BAF＝90°．

因为AB∥EF，所以∠E＝∠ABE，∠F＝∠BAF，所以∠E+∠F＝90°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行证明是解决本题的关键．类型二方程思想典例2（2022春•黄陂区期末）如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于E，连接AE，若∠BDC＝6∠BAE，则∠AEC的度数为．思路引领：过E作EF∥AB，可得∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，设∠DCE＝∠BCE＝α，则∠ABC＝2α，设∠BAE＝β，则∠BDC＝6∠BAE＝6β，依据三角形内角和定理，即可得到α+β＝30°，进而得出∠BAE+∠DCE＝30°，即∠AEC＝30°．解：如图，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，∵∠BCD的平分线CE交BD于E，∴可设∠DCE＝∠BCE＝α，则∠ABC＝2α，∴∠DBC＝2∠ABC＝4α，设∠BAE＝β，则∠BDC＝6∠BAE＝6β，∵△BCD中，∠BCD+∠CDB+∠DBC＝180°，∴2α+6β+4α＝180°，∴α+β＝30°，∴∠BAE+∠DCE＝30°，∴∠AEC＝30°，故答案为：30°．

总结提升：本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．变式训练1．（2021春•越秀区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．（1）求∠AOE的度数；（2）射线OF从OE出发，绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°），如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数．思路引领：（1）先求∠AOC，再求∠AOE．（2）先求∠BOE，再求∠BOF即可．解：（1）∠AOC与∠BOD互为对顶角．∴∠AOC＝∠BOD＝75°．∵OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．∴∠AOE＝75°×2（2）∵∠AOE+∠BOE＝180°．∴∠BOE＝180°﹣30°＝150°．∵OF平分∠BOE．∴∠BOF=1∴∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝75°+75°＝150°．总结提升：本题考查角度的求法，充分利用对顶角，邻补角，角平分线的性质是求解本题的关键．

2．（2022春•朔州期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．思路引领：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+25）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，∴∠EFD＝∠MEF+70°∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；故答案为：100°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，

∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，∴∠EFD＝∠MEF+70°，∴∠EFD＝∠BEF+50°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，∴∠P＝25°．总结提升：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．类型三整体思想典例3（2022春•阆中市期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，则∠F的度数为（）

A．120° B．135° C．150° D．不能确定思路引领：过F作FQ∥AB，过E作EH∥AB，求出AB∥CD∥EH∥FQ，根据平行线的性质求出∠MFN＝∠1+∠8，∠MEN＝∠3+∠6＝90°，即可求出答案．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∵EM⊥EN，∴∠MEN＝90°，∵MF平分∠AME，NF平分∠DNE，∴∠1＝∠2，∠7＝∠8，过F作FQ∥AB，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，AB∥CD∥FQ，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠1＝∠MFQ，∠8＝∠NFQ，∴∠MEN＝∠4+∠5＝∠3+∠6＝90°，∠MFN＝∠1+∠8，∵∠1+∠2＝180°﹣∠3，∠7+∠8＝180°﹣∠6，∴2∠1+2∠8＝180°+180°﹣（∠3+∠6）＝360°﹣90°＝270°，∴∠1+∠8＝135°，∴∠MFN＝135°，

故选：B．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定、角平分线定义、垂直定义等知识点，能够求出∠MEN＝∠3+∠6＝90°、∠MFN＝∠1+∠8是解此题的关键．变式训练1．（2020春•鲤城区校级月考）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠BAE＝25°，∠DCE＝20°，求∠AEC的度数；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝α°，∠ABC＝β°，求∠AEC的度数；（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问∠ADP|∠ACB−∠ABC|思路引领：（1）过点E作EM∥AB，则EM∥AB∥CD，根据平行线的性质及角的和差即可求得答案；（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠ABC+∠BAD+∠ADC，又由角平分线的性质，即可求得答案；（3）由三角形内角和定理，可得∠ADP+90°＝∠ACB+∠DAC，∠ADP+∠DFO＝∠ABC+∠BEO，再利用角平分线的性质和三角形的外角的性质可得答案．解：（1）如图1，过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，

∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM，∠BAE＝∠AEM，∵∠BAE＝25°，∠DCE＝20°，∴∠AEC＝∠CEM+∠AEM＝∠DCE+∠BAE＝25°+20°＝45°；（2）如图2，延长BC交AD于点F，∵∠BFD＝∠B+∠BAD，∠BCD＝∠BFD+∠D，∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，∴∠ECD＝∠ECB=12∠BCD，∠EAD＝∠EAB=1∵∠AEC+∠ECB＝∠ABC+∠EAB，∴∠AEC＝∠ABC+∠EAB﹣∠ECB＝∠ABC+∠EAB−12∠BCD＝∠ABC+∠EAB−12（∠ABC+∠BAD+∠ADC）=12（∠ABC﹣∠ADC）即∠AEC=β−α（3）∠ADP|∠ACB−∠ABC|的值不发生变化，其值为1如图3，记AB与PQ交于E，AD与CB交于F，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵PQ⊥MN，∴∠DOF＝∠BOE＝90°，∵∠DOF+∠ADP＝∠DAC+∠ACB①，∠ADP+∠DFO＝∠OEB+∠ABC②，所以①﹣②得，90°﹣∠DFO＝∠DAC+∠ACB﹣∠OEB﹣ABC，∴90°﹣∠DFO+（∠OEB﹣∠DAC）＝∠ACB﹣ABC，∴∠ADP+∠ADP＝∠ACB﹣ABC，∴2∠ADP＝∠ACB﹣ABC，∴∠ADP|∠ACB−∠ABC|总结提升：此题为几何变换综合题，考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、垂直的性质以及角平分线的定义，熟练掌握、平行线的性质、三角形外角性质及角平分线的性质、等量代换是解决问题的关键．类型四分类讨论思想典例4（2021春•伊春期末）如果∠1的两边与∠2的两边互相平行，且∠1＝（3x+20）°，∠2＝（8x﹣5）°，则∠1的度数为．思路引领：根据：∠1的两边与∠2的两边互相平行得出∠1＝∠2或∠1+∠2＝180°，代入求出x，即可得出答案．解：∵∠1的两边与∠2的两边互相平行，∴∠1＝∠2或∠1+∠2＝180°，∵∠1＝（3x+20）°，∠2＝（8x﹣5）°，∴3x+20＝8x﹣5或3x+20+8x﹣5＝180，解得：x＝5，或x＝15，当x＝5时，∠1＝35°，当x＝15时，∠1＝65°，故答案为：35°或65°．总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，能知道“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”是解此题的关键．

变式训练1．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是．思路引领：分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD＝∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．解：∵DE∥CF，∴∠COD＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ODE＝27°，∴∠COD＝27°．在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，分析入射光线OD的不同位置是做本题的关键．2．（2022春•双城市期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：11．

（1）求∠COE的度数．（2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数．思路引领：（1）根据∠AOC+∠AOD＝180°可得∠AOC和∠AOD的度数，根据对顶角相等可得∠BOD＝70°，再利用角平分线定义可得∠DOE＝35°，再根据邻补角定义可得∠COE的度数；（2）分两种情况画图，进而求出∠COF的度数．解：（1）∠AOC：∠AOD＝7：11，∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD＝70°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝35°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝145°；（2）分两种情况，如图1，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝145°﹣90°＝55°，如图2，∠COF＝∠360°﹣∠COE﹣∠EOF＝125°．总结提升：此题主要考查了垂线、邻补角、对顶角，关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．第二部分专题提优训练1．（2021春•南沙区月考）若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（x+10）°，∠β＝（2x﹣25）°，则∠α的度数为．

思路引领：根据两角的两边互相平行得出两角相等或互补，得出方程，求出即可．解：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α+∠β＝180°或∠α＝∠β，∵∠α＝（x+10）°，∠β＝（2x﹣25）°，∴x+10+2x﹣25＝180或x+10＝2x﹣25，解得：x＝35或65，∴∠α＝45°或75°，故答案为：45°或75°．总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．2．（2021•荔湾区期中）如果∠α的两边与∠β的两边分别平行，且2∠β﹣∠α＝30°，则∠α的度数为．思路引领：根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠α表示出∠β，然后列出方程求解即可．解：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α＝∠β或∠β＝180°﹣∠α，∴2∠α﹣∠α＝30°或2（180°﹣∠α）﹣∠α＝30°，解得∠α＝30°或∠α＝110°，∴∠α的度数是30°或110°．故答案为：30°或110°．总结提升：本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补．3．（2020秋•石家庄期中）已知∠AOB＝90°．（1）如图1所示，若OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝70°，则∠BOC的度数是；（2）如图2所示，若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝60°，求∠EOD的度数；（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是．

思路引领：（1）根据题意可得∠EOD=12（∠AOB+∠（2）根据已知得所求∠EOD＝∠EOC﹣∠COD，而∠COD=12∠BOC，∠EOC=1（3）分析两种可能性，当0°＜α＜90°时和90°＜α＜180°时，计算方法同（2）；解：（1）由题知∠EOD=12（∠AOB+∠∴∠BOC＝2∠EOD﹣∠AOB＝2×70°﹣90°＝50°；（2）由题知∠EOD＝∠EOC﹣∠COD=12∠AOC−12∠BOC=12（∠AOB+∠（3）①若OE或OD至少有一个在∠AOB内部时，则∠EOD＝∠EOC﹣∠COD=12∠AOC−12∠BOC=12（∠AOB+∠②若OE和OB都在∠AOB外部时（如右图），则∠EOD=12（∠AOC+∠BOC）=1综上∠EOD的度数为45°或135°．总结提升：本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．4．如图，CD与BH相交于点G，∠B＝∠BGD，∠CGF+∠BFE＝180°．求证：∠B＝∠EFH．（请先完成下面的填空，再继续完成此题的证明．）证明：∵∠CGF+∠BFE＝180°（已知），

∴CD∥EF（）．思路引领：根据平行线的判定可先证明AB∥CD，CD∥EF，再根据平行线的传递性可证明AB∥EF，可证明∠B＝∠EFH．证明：∵∠B＝∠BGD（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∵∠DGF＝∠BFE，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFH．故答案为：内错角相等，两直线平行．总结提升：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．5．（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．思路引领：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质证得∠BEF=12∠ABC，∠DEF=12∠ADC，进而得出∠BED＝∠

（2）根据平行线的性质证得∠BEF=12∠ABC，∠DEF=12∠ADC，进而得出∠BED＝∠BEF解：（1）过E作EF∥AB，∴ABE＝∠BEF，∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝25°，∴∠BEF＝25°，∵a∥b，∴AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE＝∠DEF，∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；（2）∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF，∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∴∠BEF=1∵a∥b，∴AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE＝∠DEF，∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠DEF=12∴∠DEF=1∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=1

即∠BED=1总结提升：本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．6．（2022春•乾安县期末）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，（1）求∠2和∠4的度数；（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角；（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．思路引领：（1）由平行线的性质可求得∠2，再求得∠4；（2）由（1）的结果可得到这两个角相等或互补；（3）根据（2）的规律可知这两个角互补，利用方程可求得这两个角．解：（1）∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝115°，∵EF∥MN，∴∠4+∠2＝180°，∴∠4＝180°﹣∠2＝65°；（2）由（1）可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，

故答案为：相等或互补；（3）由（2）可知这两个角互补，设一个角为x°，则另一个角为2x°，根据题意可得x+2x＝180，解得x＝60，∴这两个角分别为60°和120°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．7．（2021春•武安市期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝110°．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表示）．思路引领：（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），

∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB＝∠DAP+∠FBP＝40°+70°＝110°．（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P＝2∠P1；理由：由（2）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，∴∠P＝2∠P1．②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2=12∠CAP，∠EBP2=1∴∠AP2B=12∠CAP+1=12（180°﹣∠DAP）+1＝180°−12（∠DAP+∠＝180°−12∠＝180°−12总结提升：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．8．（2022春•荔湾区期末）已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与∠

EAB的数量关系并证明；（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．思路引领：（1）利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解；（2）利用（1）的结论及角平分线的定义求解；（3）利用平行线的性质，综合角的和差、角平分线的定义、平角，对顶角求解．（1）证明：反向延长AB交CE于点F，过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BAE＝∠GEA，∠C＝∠GEF，∴∠BAE＝∠GEC+∠AEC＝∠E+∠C．（2）∠EAB＝360°﹣2∠F．证明：由（1）得∠EAB＝∠ECD+∠AEC，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∴∠AEC＝2∠CEF，∠ECD＝2∠ECF，∴∠EAB＝∠ECD+∠AEC

＝2∠CEF+2∠ECF＝2（∠CEF+∠ECF）＝2（180°﹣∠F）＝360°﹣2∠F．（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠AME＝2x，∵CD∥AB，AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE=12∠CNG＝90°−∵ET∥AB，AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°−12∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°−12y﹣2x，∠MGN＝x+∵2∠MEN+∠MGN＝105°，∴2（90°−12y﹣2x）+x+∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．

总结提升：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，综合角的