数学-专项45 以函数为背景的直角三角形的存在性问题（原版）

专题45以函数为背景的直角三角形的存在性问题【题型演练】一、解答题1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点．(1)求此二次函数解析式和点C的坐标；(2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．

(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值；(3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．

(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，，①求点的坐标；②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于A，B两点，点A的坐标为．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段上任意一点（不含端点），若是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（在B的左侧），与y轴交于点C，已知点，此抛物线对称轴为

(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（不包括的边界），求t的取值范围；(3)如图2，设点P是抛物线上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；(3)在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．13．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．

(1)求点，，的坐标；(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交于、两点，与轴交于点，其中点，为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)在坐标轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．

(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，，①求点的坐标；②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）；(2)求的面积（用含m的代数式表示）；(3)是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，直接写出抛物线的表达式，若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图①连接，为等腰直角三角形，，求的最小值；(3)如图②，连接，若，求点P的坐标．18．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上．(1)求的值；(2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式；(3)当是直角三角形时，求点的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

(1)求抛物线的表达式；(2)请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点，使以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存