八年级数学分式方程

课题16.3分式方程（一）

教学

目的1.分式方程的概念。

2.解分式方程的一般步骤。

3.了解分式方程验根的必要性。

4.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识

到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的

途径。

重点1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。

2.明确分式方程验根的必要性。

难点明确分式方程验根的必要性。

教学

手段

教学内容和过程

一.复习、引入

1.解一元一次方程的一半步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为以1。

引例：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大船速

顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时

间相等，江水的流速为多少？

分析：本题两个主要的关系：顺水速度=船速+水速；逆水速

度=船速一水速。

设江水流速为-千米/时，则轮船顺流航行100千米所用时间为

则-小时，逆流航行60千米所用时间为旦小时，根据“两次航

20+v20-v

行所用时间相等”这一等量关系，

可得到方程%-=旦。

20+v20-v

这个方程的坟墓中含未知数V,像这样的方程叫分式方程。

二.新课

1.分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

以前学过的分母中不含未知数的方程叫做整式方程。

思考：分式方程的特征是什么？分母中含未知数。

练习去下列方程中哪些是分珞才想s哪些是整式方程？3

-----------=-—---I1—=7/---------------=-1-----------=

xy%—2x

jr—1

x——=22x+-——-=1()

5

2.下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：上。=上_

20+v20-v

解方程得基本思路是使方程逐步化为x=。的形式。那么，怎么样

把分式方程化为整式方程？去分母。

首先找到方程中各分母的最简公分母：(20+v)(20-v)

方程两边同乘(20+u)(20-v),得：100(20-v)=60(20+v)

解得：v=5

检验：将“=5代入原分式方程中，左边=4=右边，因此-5是分

式方程的解。

答：江水的流速为5千米/时。

归纳:

(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做

法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式

方程的一般思路和做法。

(2)在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方

法：转化的数学思想(化归思想)。

例1：解分式方程：—

x-5X2-25

去分母：方程两边同乘最简公分母(x-5)(x+5),

得：x+5=10

x=5

检验：把x=5代入原分式方程中，分母x-5和25的值为0,使

得分式无意义。

因此，x=5是整式x+5=10的解，但不是原分式方程的解。所以这

个分式方程无解。

3.(1)思考：在上面两个分式方程中，为什么旦=旦①去

••20+v20-v

分母后所得整式方程的解就是①的解，而一L=Y—②去分母

x-5x-25

后所得整式方程的解却不是②的解呢？

分析：解分式方程去分母时，方程两边同乘一个含未知数的式子

(最简公分母)。

方程①两边同乘(20+丫)(20i),得到的整式方程的解：y=5o

当v=5时，(20+丫)(20-丫)70,也就是说方程①两边同乘了一个不为

0的式子，因此所得的整式方程的与①的解相同。

方程②两边同乘(x-5)(x+5),得到的整式方程的解：x=5°

当x=5时，(x-5)(x+5)=0,也就是说方程②两边同乘了一个等于0

的式子，所得的整式方程的解使②出现分母为0的现象。因此这

样的解不是②的解，通常把它叫做②的增根。

(2)增根:在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不

适合于原方程的根.

在这里增根特指，使最简公分母为零的根。

产生的原因：分式方程两边同乘以一个委因式后，所得的根是擎

式方程的根,而不是分界方程的根.

(3)思考:在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么

是不是就不要这个解呢？采取什么样的方法补救？

答：还是要把分式方程转化为整式方程来解，解出整式方程的解

后可用检验的方法来看是不是方程的解。

思考:怎样检验比较简单？还需要将整式方程的解分别代入原方

程得左、右两边吗？

答：不用。产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为

零造成的。

因此，最简单的检验方法：

把整式方程的解代入最简公分母。若使最简公分母的值不为

0,则是原方程得解；

否则，这个解不是原分式方程的解，是增根。一般地，说明

原方程无解。

思考:上述检验方法的依据是什么？

答：这种检验方法能排除使分母为0的未知数的值，即保证所保

留的解既满足去分母后的整式方程，又使原分式方程的分母

不等于0。因此是原分式方程的解。

4.例1：解方程：(1)-=—

xx-3

解：方程两边同乘x(x-3)：2x=3x-9

x=9

检验：％=9时-，x(x-3)工0,所以％=9是原方程的解。

技巧：叉乘。直接得到：2%=3%-9,求解。

(2)—=1+—

x-3x~3

解：方程两边同乘(x-3)：4-x=x-3+l

%=3

检验：％=3时一，x-3=0,所以％=3不是原方程的解，原分式方

程无解。

技巧：丑项。原方程可化为±且=2,

x-3

即1=2,矛盾，故原方程无解。

x5

(3)-----------1-----------=1

2x-55-2x

技巧：通分。得：急=°

%=0

检验略。

3

例2：--1

x—1(x—l)(x+2)

解：去分母，方程两边同乘(x-l)(x+2),得:

x(^x+2)—(九一l)(x+2)—3

x=1

检验：X=1时，(x-l)(x+2)=0,%=1不是原方程的解，原分

式方程无解。

5.归纳:

解分式方程的思路：分式方程去分母＞整式方程

解分式方程的一般步骤:

1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.

2、解这个整式方程.

3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为

0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方

程的解，必须舍去.

4、写出原方程的根.

练习2：⑴

—=———2

x—12%—2

⑵曰=六

2Y2

(3)--------=

2x-\x+2

/A\x-14x+2

(4)5-=

X+1厂―1X—1

(5)□--一