浙江省2020年高二数学上学期期中考试卷（七）

浙江省2020年高二数学上学期期中考试卷（七）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

1.直线x-V3y+3=0的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.两圆X?+y2=4与（X+1）2+（y-1）2=1的位置关系是（）

A.内含B.相交C.相切D.相离

3.已知不同直线a,b,I,不同平面a,V，则下列命题正确的是（）

A.若a，l,b±l,贝ija〃bB.若a，Y，P±Y>则a〃B

C.若b±v'则b〃|3D.若a，l,Plh则a〃B

4.如图，在正方体ABCD-A[B[C[D]中，异面直线A]D与D£所成的角为（）

5.一个圆锥的表面积为n,它的侧面展开图是圆心角为120。的扇形，则该圆锥的高为（）

A.1B.>/2C.2D.272

6.点P在直线I：x-y-1=0上运动，A（4,1）,B（2,0）,贝U|PA|+|PB|的最小值是（）

A.>/5B.C.3D.4

IT

7.如图，ZC-AC=BC,M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使

JT

二面角B'-MN-B的大小为三，则BN与平面ABC所成角的正切值是（）

B

MC

A季戏C*D.华

8.已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P,Q分别是线段BC,

DE上的动点(包括端点)，PQ=、/^.设线段PQ中点的轨迹为1，则1的长度为()

A.2B.返C.冗c冗

—D.一

2

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

9.在空间直角坐标系o-xyz中，点A(1,2,2),则|0A|=，点A到坐标平面

yoz的距离是.

10.已知直线h：ax+y-6=0与卜：x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若则a=，

此时点P的坐标为.

11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是个,

它的表面积是____________.

僻视图

12.在长方体ABCD-AjBQiD]中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动，则直线D】E

与AiD所成角的大小是,若D]E，EC,则AE=.

13.已知圆C：(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离

是

14.在正三棱柱ABC-AiB©中，各棱长均相等,BQ与B]C的交点为D,则AD与平面BB]C]C

所成角的大小是.

15.已知点P(l,1),圆C：x2+y2-4x=2,过点P的直线1与圆C交于A,B两点，线段AB

的中点为M(M不同于P),若|OP|=QM|,贝心的方程是.

三、解答题(本大题共5小题，共74分)

16.如图，已知正方体ABCD-AiB[C[D]的棱长为3,M,N分别是棱AA”ABk

的点，且AM=AN=1.

(I)证明：M,N,C,D]四点共面；

(II)求几何体AMN-DD]C的体积.

17.设直线1的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aGR).

(I)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程；

(II)若1与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求a的值.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD，底面ABCD,E,F

分别为PA,BD的中点，PA=PD=AD=2,AB=2及，/DAB=45°.

(I)求证：EF〃平面PBC；

(II)求证：平面DEF_L平面PAD.

19.如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折

起，使FGLBG.

(I)证明：EB,平面AEFD；

(II)求二面角G-BF-E的余弦值.

20.如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A,

B两点.当时，|AB|=SE

(1)求圆C的方程；

(II)当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T,使得/ATB始终被y轴平分？若存

在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

四、附加题（本小题满分15分）

22Q

21.己知椭圆三告=1的离心率为且它的一个焦点Fi的坐标为（0,1）

a2b23

（I）试求椭圆的标准方程：

（II）设过焦点Fi的直线与椭圆交于A,B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求aNAB

的面积的最大值.

参考答案

一、单项选择题

1.A.2.B.3.D.4.C.5.B6.C.7.D.8.D.

二、填空题

9.解：根据空间中两点间的距离公式，得：|OA|=712+22+22=3-

VA(1,2,2),

.•.点A到平面yoz的距离=川=1.

故答案为：3,1

10.解：,直线h：ax+y-6=0与0x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,hJJ2，

axl+lx(a-2)=0,

解得a=l,

x+y-6=0

解方程《，解得x=3,y=3,...P(3,3).

x-y=0

故答案为：1,(3,3).

H.解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2,高是2的等腰

三角形，其面积为2X2=2

与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2,高长为1,故是直角三角形，其面积为aX2X1

=1,

另两个侧面是等腰三角形，底边长为近，腰长为泥，其面积为吉9

.•.表面积是2+1+18=21,

故答案为：1,21.

12.解：•.•在长方体ABCD-AiBiGD］中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动，

...以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD］为z轴，建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),D)(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),

设E(1,t,0),0<t<2,

贝|JD[E=(I,t,-1),AjD=(-1,0,-1),

/.DJE*AJD=-1+0+1=0,

，直线D]E与A]D所成角的大小是90°.

V-D7E=(1,t,-1),EC=(-1.2-t,0),D]E，EC,

AD^E-EC=-1+t(2-t)+0=0,

解得t=l,.*.AE=1.

故答案为：90°,1.

13.解：圆C：(x-2)2+(y+m-4)2=1表示圆心为C(-2,-m+4),半径R=1的圆,

求得|OC|=14+(-m+4)'>

，m=4时，|OC|的最小值为2

故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|的最小值-R=2-1=1,

故答案为：1.

14.解：如图，取BC中点E,连接DE、AE、AD,

依题意知三棱柱为正三棱柱，

易得AE_L平面BB(C]C,故/ADE为AD与平面BB[C]C所成的角.

设各棱长为1，则AE理，DE=±,

22

AR

tanZADE=—

JZADE=60°.

R

15.解：圆C的方程可化为(x-2)2+y2=6,

所以圆心为C(2,0),半径为巫，

设M(x,y),则而=(x-2,y),(1-x,1-y),

由题设知行•而=0,

故(x-2)(1-x)+y(1-y)=0,

即(x-1,5)2+(y-0.5)2=0.5.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x-1.5)(y-().5)2=05.

M的轨迹是以点N(1.5,0.5)为圆心，Y2为半径的圆.

2

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上，

又P在圆N上，从而ONJ_PM.

因为ON的斜率为,，

所以1的斜率为-3,

故1的方程为y-l=-3(x-1),即3x+y-4=0.

故答案为：3x+y-4=0.

三、解答题

16.(I)证明：：A[D]〃AD,A]D,=AD,

又BC〃AD,BC=AD,AID]〃BC且A[D]=BC

连接A]B,则四边形A]BCD]是平行四边形

所以A[B〃D]C...

在△ABA]中，AM=AN=1,AA【=AB=3

_.AMAN”.

所以AAJAB'所以MN〃A]B…

所以MN〃D]C,所以M,N,C,D]四点共面....

(II)解：因为平面ABBiAi〃平面DCCPi,

又M,N,C,D]四点共面.

所以平面AMN〃平面DD]C

延长CN与DA相交于点P,

因为AN〃DC

所以姗_PA即工__PA_解得PA-J

AWDC-PD3-PA+3解传P*2

同理可得QA,，所以点P与点Q重合

所以D]M,DA,CN三线相交于一点，

所以几何体AMN-DD]C是一个三棱台，…

17.解:(I)由题意知,a+lxO,即ax-1....

当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0,

此时a=2,直线1的方程为3x+y=0；...

当直线1不过原点时，即a*2时，

由截距相等，得即a=0,

a+1

直线1的方程为x+y+2=0,

综上所述，所求直线1的方程为3x+y=0或x+y+2=0....

(II)由题意知，a+”0,a-2*0,

且1在X轴，y轴上的截距分别为£一，a-2…

a+1

由题意知，4|2?||a-2|=6,即(a-2)2=i2|a+l|,…

2a+1

当a+l>0时，解得"8±6血...

当a+1<0时，解得a=-4,综上所述3=8±6亚或2=-4....

18.证明：(I)连结AC,因为底面ABCD是平行四边形，

所以F是AC中点.

在aPAC中，又E是PA中点，所以EF〃PC.

又因为EFC平面PBC,PCU平面PBC,

所以EF〃平面PBC；

(H)在4ABD中，因为AD=2,AB=2a,NDAB=45。，

222

由余弦定理得：BD=^2+(272)-2X2X2V2Xy=-

所以BD1AD.

因为面PAD_1_底面ABCD,且面PADc面ABCD=AD,

又BDU平面ABCD,

所以BD_Lt®PAD.

因为BDU面DEF,

所以平面DEF_L平面PAD.

19.(I)证明：设正方体的棱长为2,

在RtzXBGF中，GF=V2，BF=V5

所以

VEF±AE,EF±EB,.-.EFlffiAEB.

：AD〃EF,，AD_L面AEB,AADIAB

所以在RtZ\BGF中，得AB=我…

在AAEB中，又AE=BE=1；.EBJ_AE

XEF±EB.-.EB±®AEFB...

(II)解：取EF的中点H,则GHLEF,由(I)知，EBL面AEFB,

所以面EFCB_L面AEFB,所以GH_L面EFCB,

作HOLBF,垂足为O,连接GO,由三垂线定理知，GO±BF,

所以NGOH就是所求二面角G-BF-E的平面角....

在RtaGHO中，GH=1,HO^，

所以GC匚皆，所以cosNG0H=鬻=零

75GO6

所以二面角G-BF-E的余弦值为近....

6

20.解：(I)设圆心C(0,b),b>0,则半径r=b,...

IO_1I

则圆心C(0,b)至］支向x+3的星巨离d=°c

得，b=2或b=-4(舍)

.•.圆c的方程为...x2+(y-2)2=4...

(II)假设存在点T(0,t),设A(xi，y])，B(x2,y2)

联立方程组J

得(1+k2)x2+2kx-3=0

__2k

Xi+xX---------2

21+k2

则

一3

XtX----5

21+k2

即.

X1x2

/.2kX]X2+(3-t)(X]+X2)=0,

・・・6k+2k(3-t)=0对k取任意实数时都成立,At-3=3即t=6

故存在定点T(0,6),使得NATB始终被y轴平分.…

四、附加题

21.解：(I)设椭圆的半焦距为c,则c=l,

又e—W，可解得a=E，

33

..222G

..0=a-c=2,

22

二椭圆的标准方程为？-+2=1;

32

（II）设过焦点FI的直线为1,

①若I的斜率不存在，则A（0,-“），B（0,V3）,即|AB|=2jj，

显然当N在短轴顶点（0,近）或（0,-V2）时，4NAB的面积最大,

此时，4NAB的最大面积为Jx2后扬加.

②若1的斜率存在，不妨设为k,贝心的方程为y=kx+l,

设A（X],yP,B（X2，丫2），

y=kx+l

联立方程：y2x2,消去y整理得:(2k2+3)x2+4kx-4=0,

万十万同

4k4

..xi+x=---5-，xix=---5—,

22k2+322k2+3

则IABI诉示％-（广1）

2k"+3

•；当直线与1平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线1的距离最大，

设切线匕y=kx+m,（m<-A/2），

y=kx+m

联立方程：，y2x2，消去X整理得：（2k2+3）y2+4kmy+2m2-6=0,

+=1

L-3"T

^△=(4km)2-4(2k2+3)(2m2-6)=0,

解得m2=2k2+3,(m<-,

,|m-1|

又点N到直线1的距离d=J卜2],

.S'ADI山丘3+1)

2k2+3

22

212(m-