初高中数学暑假衔接

初高中数学衔接

专题一数与式的运算（3.5课时）

第一讲（2小时）

课题绝对值与二次根式课型衔接课

1、掌握绝对值的概念及相关的几何意义，会解不等式；

教学目标2、掌握二次根式的化简方法

3、掌握常见的乘法公式

教学重点绝对值的几何意义和二次根式的化简

教学难点绝对值不等式的求解和二次根式化简

教学内容及过程学习活动

一、绝对值

1、积极回答老师的问题，回顾相关

1、引导学生回顾绝对值的代数意义，强调数学语言的知识点

Q,6T>0,

1。1=<0,a=0,

的严谨性，表示为〔一

2、回顾绝对值的几何意义，引导学生思考：两数差

2、与老师一起进行相关例题的分析

的绝对值的几何意义：卜一耳表示在数轴上，数a和

和求解

数8之间的距离.

例1解不等式：卜一"+卜一3|>4

二、二次根式3、通过概念的学习，举例说明什么

是无理式，什么是有理式

1、回顾二次根式的概念，引入思考:什么是无理式？

例如〃等是无理式,而俄

2、通过例题讲解，告诉学生什么是分母有理化，引

入有理化因式的概念.等是有理式.

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不4、学生举例自己见过的有理式因式

含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化

因式。

一般地尸五与五,aG+b6^a4x-by[y,

+b与"五-b互为有理化因式.

3、二次根式"的意义

5、总结有理式的方法

fa,a>0,分母有理化的方法是分母和分子都

后"=同=1-a,a<0.

乘以分母的有理化因式，化去分母

中的根号的过程；而分子有理化则

4、例1将下列式子化为最简二次根式：

是分母和分子都乘以分母的有理化

(1)Jl2b(2)-0).(3<0)因式，化去分子中的根号的过程

6、总结二次根式的化简与运算过程

例2计算:百+(3-6).

中，二次根式的乘法可参照多项式

乘法进行，运算中要运用公式

例3试比较下列各组数的大小：

4a4b=y[ab(a>0,b>0).而对

(1)Vi2-VTT和VH-Vio.

于二次根式的除法，通常先写成分

2式的形式，然后通过分母有理化进

(2)戈+4和2母一瓜.行运算

例4化简：(6+及严4,(6-^2)2005

例5化简：(1),9-4近；

jx?H--7-2(0<X<1)

(2)Vx

V3—>/25/34-V2

例6已知6+0“月一0,求牢记相关的乘法公式

一5肛+3y2的值.(1)立方和公式

3+8)(/—"+/)=/+/.

1

三、运算公式

(2)立方差公式

1、回顾完全平方差和完全平方公式(a-b)(a2+ab+b2)a3-bi.

1

2、求证立方和、差公式和两数和、差立方公式及三

(3)三数和平方公式

数平方公式

(a+b+cf=/+〃+(?+2(仍+Zr+比).

3、例]计算+_1+])(/+X+1)

(4)两数和立方公式

例2已知"+"c=4,a"+/?c+ac=4,求3+6)3=/+3。%+3加+/.

！

/+/+,2的值.

(5)两数差立方公式

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

四、课堂总结与练习

五、家庭作业

课堂练习1

1.填空：

(1)若凶=5，则x=；若忖=|-4,则*=.

(2)如果向+网=5,且"一1,则b=；若”4=2,则c=.

2.选择题：

下列叙述正确的是()

(A)若同=例，则a=6(B)若同〉网，则”>b

(C)若"b，则同<问(D)若同=同，则a=±8

3.化简"x-5|-|2x-13|(x>5).

练习2

1.填空：

1-百

(1)1+6=——；

(2)若J(5—x)(x—3)2=(x-3)75^7,则x的取值范围是___；

(3)4724-6754+3796-27150=.

-^5+1—yjX~\++1+Jx-1

(4)若2，贝[]Jx+1+yJx—\Jx+l—y/x—\

2.选择题：

I~X__yfx

等式Vx-2行工成立的条件是()

(A)x#2(B)X>0(C)X>2(D)0<X<2

da2-I+Jl-a，

b=----------------------

3.若。+1，求a+b的值.

4.比较大小：2-S4-也(填或.

练习3

1.填空：

—a1--/?2=(-b+—a)

(1)9423()；

(2)(4m+y=16m2+4m+().

(3)(a+2b-c)2=/+4/+《2+()

2.选择题：

21,

x+—mx+k

(1)若2是一个完全平方式，则人等于)

11,1

、—tn2-m~—m~2

(A)m~(B)4(C)3(D)16

(2)不论a,匕为何实数，/+。2_2。_46+8的值)

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

4.分式(1课时)

1,分式的意义

444

形如石的式子，若B中含有字母，且BH°,则称万为分式.当M#o时，分式下具有下列性质：

A_AxM

B—BxM.

I

A_A^M

B—B^M

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

am+n+p

b至

像c+d,n+p这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

5x+4_A]B

例1若不+2)x、+2,求常数4,8的值.

1_£_1

例2(1)试证：〃(〃+D〃〃+1(其中n是正整数)；

111

-------11-•••H

(2)计算：1x22x3--------9x10；

-++…+-------<—

有

3:对任意大于1的正整数n,2x33x4-------〃(〃+1)2

c

c——

例3设。，且e>l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.

练习

1.填空题：

1_1

对任意的正整数n,"(〃+2)(“〃+2)；

2.选择题:

2x-y_2x

若x+y-3，贝jjy=

()

546

(A)1(B)4(C)5(D)5

3.正数・"满足/一y2=2盯，求尤+y的值.

1111

-----1------1-----+…H-------

4.计算1x22x33x499x100

专题一习题

A组

1.解不等式：

⑴H>3.⑵|-v+3|+|x-2|<7.

|x-l|+|x+l|>6

⑶

2.已知x+y=[,求/+丁+3初的值.

3.填空：

（1）（2+百）|8（2-6）”=.

（2）若4一"）7（1+"）2=2,贝心的取值范围是________；

___1____I____1______I__1________1I________1__I_________=

（3）1+V2>/2+y/3V3+V4>/4+y/5>/5+V6

B组

1.填空：

1.13a2-ab

a=一（｝——---------------

（］）23，贝［］3/+5"_2/

x2+3孙+/_

（2）若―+犯_2y2=0,贝1x2+y2

2.已知："=5"=3,求右+。的值.

C组

1.选择题：

(])若yj—a—b—2\fab—\[—b--J—a贝

)

(A)(B)”>b(C)a<h<0(D)b<a<0

a

(2)计算等于)

(A)G(B)&（C）一口(D)-日

2

2(X+-1T)-3(X+-)-1=0

2.解方程厂x

1111

---------1------------1----------+…+------

3.计算：1x32x43x59x11

111

---------------1------------------F•••H---------------------------[

4.试证：对任意的正整数n,有1x2x32x3x4n(n+1)(«+2)<_

专题二因式分解（1.5课时）

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变

形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外,还有公式

法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.

1.公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：；

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：

[4]3+%+'I=____________________

[5]"'+=------------------（立方和公式）

[6]0"------------------（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解.

2.分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如

〃皿+〃仍+/W+泌既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来

因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式

3.十字相乘法

（1）/+（p+q）x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是

常数项的两个因数之和.

・・x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）

•x2+（〃+q）x+=（x+p）（x+q）

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

（2）一般二次三项式"2+饭+C型的因式分解

由《出/+（年2+电。）》+年2=（3+4）0%+。2）我们发现，二;欠项系数0分解成的2,常数项。分解成年2,

把苗,出，。勺写成牝C2,这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到年2+%G,如果它正好等于.+云+。的一

次项系数匕,那么—+bx+c就可以分解成©X+。）（。2彳+C2）,其中6,G位于上一行，的，位于下一行.这种

借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用

十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法

【例题选讲】

16

（公式法）分解因式：（1）3点一8面；（2）a-ab

222

（分组分解法）分解因式：（1）的c2v2）-（/_/）〃（2）2x+4xy+2y-Sz

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：

⑴x2+5%-24（2）x2-2x-15

（3）J+xy_6y-（4）（f+x）2_8（r+x）+12

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：⑴12X2-5X-2；（2）5f+6盯-8），

例5（拆项法）分解因式Y-3/+4

【巩固练习】

1.把下列各式分解因式：

（]）ab{c2-d'）+cd{a~-b"）（2）x2-4mx+8mn-4w2

（3）x4+64（4）x3-1lx2+3lx-21

，2，一

a+b=—,ab=2...,

2.已知3,求代数式。%+2。力-的值.

—x~+x—1—x~+3>x+1—x~—x

3.现给出三个多项式2,2,2,请你选择其中两个进行加法运算，用巴结果因式

分解.

4已知a+b+c=O,求证；o'+a2c+b1c-abc+b3=0

专题二习题

1,分解因式：

（]）o'+1；（2）4x4-13x2+9-（3）b2+c2+lab+2ac+2bc-（4）3x-+5xy-2y2+x+9y-4

2.在实数范围内因式分解：

（1）x2-5x+3（2）-2\/2x-3-（3）3厂+4盯_/2.（4），-2x）-_7（r-2x）+]2

222

3.AA8C三边a,h,c^a+b+c^ab+hc+ca（试判定的形状.

4.分解因式:x2+x-（a2-a）.

专题三变量、函数（一次函数、反比例函数）（3课时）

【要点回顾】

1.平面直角坐标系（1课时）

[1]组成平面直角坐标系。叫做刀轴或横轴，

叫做轴或纵轴,x轴与y轴箍挫标轴，他们的公共原点。称为直角坐标系的原点。

[2]平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程对称点的坐标

X轴

)'轴

原点

/占\\\3,b)

直线x=a

直线）T

直线k》

2.函数图象（2课时）

[1]一次函数：称）'是X的一次函数，记为：y=H+"（k、b是常数，"0）

特别的，当b=0时，称）’是X的正比例函数。

⑵正比例函数的图象与性质：函数y=kx（k是常数，kHO）的图象是的一条直线，当时，图象过

原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大

而.

[3]一次函数的图象与性质:函数=H+"（k、b是常数，k*0）的图象是过点（0,b）且与直线丫=1«平行的一条

直线.设〉=履+"（40）,则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而

k

y=一

[4]反比例函数的图象与性质：函数x（k彳0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，

y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而•双

曲线是轴对称图形，对称轴是直线）'='与卜=一”;又是中心对称图形，对称中心是原点.

【例题选讲】

例1已知A（2/）、8仇，-3）,根据下列条件，求出A、8点坐标.

（1）A、8关于x轴对称；（2）A、8关于y轴对称；（3）A、B关于原点对称.

例2已知一次函数y=kx+2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、8两点，。为原点，若AAOB

的面积为2,求此一次函数的表达式。

k

例3如图，反比例函数.%的图象与一次函数y=〃?x+b的图象交于4L3）,B（〃,-1）两点.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当了取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.

【巩固练习】

m/八、

.y=一（mw0）

1.函数）'"乙+“与’X在同一坐标系内的图象可以是（）

2.如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点,D在第一象限角平分线上，又知"=6,=20,求8,0,。

点的坐标.

1七八八、

y=—xy=—（k>0）

3.如图，已知直线.2与双曲线.x交于48两点，且点A的横坐标为

4

（1）求我的值;

y=_（%〉0）

（2）过原点0的另一条直线/交双曲线.X于P，°两点（「点在第一象限），若由点P为顶点组成的

四边形面积为24,求点尸的坐标.

专题四二次函数（4课时）

1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（l课时）

问题1函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2,y=2X2,y=-2x2的图象，通过这些函数图象与函数y=x2的图

象之间的关系，推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系.

先画出函数y=x2,y=2x2的图象.

先列表：

X-3-2-10123・・・

x29410149

2x2188202818

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了.

再描点、连线，就分别得到了函数y=X2,y=2x2的图象(如图2-1所示)，从

图2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2x2的图象可以由函

数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=万x2,y=-2x2的图象,并研究

这两个函数图象与函数y=x2的图象之间的关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y=ax2(a#0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍,

得到.在二次函数y=ax2(a±0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.

问题2函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+1)2

+1与y=2x2的图象(如图2-2所示),从函数的同学我们不难发现，只要

把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到

函数y=2(x+1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有'形状相同，位置不同”

的特点.

类似地,还可以通过画函数y=-3x2,y=-3(x-1)2+1的图象,研究它们

图象之间的相互关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y=a(x+h)2+k(a丰0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；

h决定了二次函数图象的左右平移，而且、'h正左移,h负右移"；k决定了二次

函数图象的上下平移，而且、'k正上移，k负下移”.图2.2-2

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象的方法：

bbb2b2

-x—x-

由于y=ax2+bx+c=a(x2+a)+c=a(x2+a+4/)+c-4。

,b、2b2-4ac

=a(x+—)2+--——

2a4。

所以，y=ax2+bx+c(a#0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次

函数y=ax2+bx+c(a丰0)具有下列性质：

(1)当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为2屋4。，对称轴为直线x=-2。；

bbb

当x<2a时，y随着X的增大而减小；当X>2a时，y随着X的增大而增大；当乂=2。时，函数取最小值

4ac-b2

y=4a

b4ac-b2b

।——----------1—

（2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为2/4a，对称轴为直线x=-2a；

bbb

当*<2a时，y随着x的增大而增大；当x>2a时，y随着x的增大而减小；当*=2a时，函数取最大值

4ac-b2

y=4a.

上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问

题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

例1求二次函数y=-3x2-6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），用旨出当x取

何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.

解:,:v=-3x2-6x+1=-3（x+1）2+4,

.•・函数图象的开口向下；

对称轴是直线x=-1;

顶点坐标为（-1,4）;

当x=-1时，函数y取最大值y=4;

当x<-1时，y随着x的增大而增大；当x>-1时，y随着x的增大而减小；

（毕,。）（-毕,。）

采用描点法画图，选顶点A（-1,4））,与x轴交于点B3和c3，与y轴的交点为D（0,

1）,过这五点画出图象（如图2-5所示）.

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性,

使画图更简便、图象更精确.

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下

表所示：

x/元130150165

y/件705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此

时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润=日销售量yx(销售价x-120),日销售量v又是销售价x的一次函数，所以,欲求每天

所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求

出每天利润的最大值.

例3把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，求b,

c的值.

例4已知函数y=x2,-2<x<a，其中aN-2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时

所对应的自变量x的值.

练习

1.选择题：

(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()

(A)y=2x2(B)y=2x2-4x+2

(C)y=2x2-1(D)y=2x2-4x

(2)函数y=2(x-l)2+2是将函数y=2x2()

(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2.填空题

(1)二次函数y=2x2-mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m=,n=.

(2)已知二次函数y=x2+(m-2)x-2m,当m=时，函数图象的顶点在y轴上；当m=时，函数

图象的顶点在x轴上；当m=时，函数图象经过原点.

(3)函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当*=

时，函数取最值丫=；当*时，y随着x的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况，并画出其图象.

(1)y=x2-2x-3;(2)y=l+6x-x2.

4.已知函数丫=-X2-2X+3,当自变量X在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取

最大(小)值时所对应的自变量x的值：

(1)x<-2;(2)x<2;(3)-2<x<l;(4)0<x<3.

2二次函数的三种表示方式(1课时)

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1.一般式:y=ax2+bx+c(a*O);

2.顶点式：y=a(x+h)2+k(a/0),其中顶点坐标是(-h,k).

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y

=ax2+bx+c(a学0)的图象与x轴交点个数.

当抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴相交时,其函数值为零，于是有

ax2+bx+c=0.①

并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a±0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于是，不难发现，抛

物线y=ax2+bx+c(aHO)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别

式A=b2-4ac有关，由此可知，抛物线y=ax2+bx+c(a黄0)与x轴交点个数与根的判别式A=b2-4ac存在下

列关系：

(1)当A>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a学0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a*0)与x

轴有两个交点，则A>0也成立.

(2)当△=0时，抛物线y=ax2+bx+c(aM)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=ax2

+bx+c(aM)与x轴有f交点，则A=0也成立.

(3)当△<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a#O)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a右0)与x轴

没有交点，则A<0也成立.

于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a#O)与x轴有两个交点A(xl,0),B(x2,0),则xl,x2是方程ax2+bx+c=0

的两根，所以

bc

xl+x2=a,xlx2=a,

bc

即。=-(xl+x2),a=xlx2.

,hc

XH---XH----

所以,y=ax2+bx+c=a(aa)

=a[x2-(xl+x2)x+xlx2]

=a(x-xl)(x-x2).

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y=ax2+bx+c(a#O)与x轴交于A(xl,0),B(x2,0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x-

xl)(x-x2)(a±0).

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3.交点式：y=a(x-xl)(x-x2)(aM),其中xl,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用T殳式、顶点式、交点式这三种表达形

式中的某一形式来解题.

例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3,-1),求二次函数

的解析式.

例2已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.

例3已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

练习

1.选择题：

(1)函数y=-X2+X-1图象与x轴的交点个数是()

(A)0个(B)l个(C)2个(D)无法确定

(2)函数y=(x+l)2+2的顶点坐标是()

(A)(l,2)(6)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a

(a黄0).

(2)二次函数y=-x2+2y/3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

3.根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);

(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11)；

(3)函数图象与x轴交于两点(1-啦,0)和(1+啦，0),并与y轴交于(0,-2).

3二次函数的简单应用(1课时)

一、函数图象的平移变换与对称变换

1.平移变换

问题1在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平

移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形

状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.

例1求把二次函数y=x2-4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；

(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位.

2.对称变换

例2求把二次函数y=2x2-4x+l的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

(1)直线乂=-1;

(2)直线y=l.

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.

例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过

40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0<xW100)的信应付多少邮资(单位：分)？写出函数表达

式，作出函数图象

例4如图9-2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P,从点A出发

沿折线ABCD移动一周后，回到A点.设点A移动的路程为x,APAC的面积为y.

(1)求函数y的解析式；

(2)画出函数y的图像；

(3)求函数y的取值范围.

4二次函数的最值问题(1课时)

【要点回顾】

i.二次函数）'=a—+'x+c3/°）的最值.

b4ac-b2

x=-----------

二次函数在自变量X取任意实数时的最值情况（当a>0时，函数在2a处取得最小值4a,无最大值；

b4ac-b2

x------------

当。<0时，函数在2“处取得最大值4a，无最小值.

2.二次函数最大值或最小值的求法.

第一步确定a的符号，a>0有最小值，a<0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

3.求二次函数在某一范围内的最值.

如：），=加+云+，在腔了（“（其中他<〃）的最值.

第一步：先通过配方,求出函数图象的对称轴：x=；

第二步：讨论：

[1]若。>°时求最小值或。<°时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称?由小于〃?即“<m,即对称轴在加《工〈〃的左侧；

②对称轴加'/=”,即对称轴在加W〃的内部；

③对称轴大于"即为>”,即对称轴在〃?4%K〃的右侧。

[2]若”>0时求最大值或a<°时求最小值，需分两种情况讨论：

,m+〃

x0<----

①对称轴2,即对称轴在m<x<n的中点的左侧；

x0>----

②对称轴2,即对称轴在m<x<n的中点的右侧；

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置,具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值.

（1）y=2x__3x_5.（2）/=一厂—3x+4

例2当1W2时，求函数）'=一/一x+1的最大值和最小值.

例3当x20时，求函数丫=T（2-x）的取值范围.

y=—x2-x--

例4当fWxWf+l时，求函数.22的最小值（其中，为常数）.

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量〃?（件）与每件的销售价■元）

满足一次函数加=162—3X,30KX"54.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润）'与每件销售价x之间的函数关系式；

（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

巩固练习1,抛物线丁=/一（〃L4）X+2W-3,当机=时，图象的顶点在）’轴上；当机=时，图

象的顶点在工轴上；当〃z=时，图象过原点.

2.用一长度为/米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为.

3.设。>°,当-14x41时，函数>=一/一以+'+1的最小值是T，最大值是0,求db的值.

4.已知函数）'=，+2。》+1在—14x42上的最大值为4,求。的值.

5.求关于N的二次函数）'=--2比+1在TOG上的最大值（/为常数）.

专题五一元二次方程（3课时）

1根的判别式（L5课时）

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）,用配方法可以将其变形为

2

/b、2b-4ac

（"五）

4Y①

因为aS,所以，4a2>0.于是

（1）当b2-4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

—b+yjb2—4ac

xl,2=2a；

（2）当b2-4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

b

xl=x2=-2a；

,b

（x+丁）2

（3）当b2-4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2a一定大于或等于零，因此，原方

程没有实数根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a*0）的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元

二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的根的判别式，通常用符号"A"来表示.

综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),有

当△>0时，方程有两个不相等的实数根

-b+\Jb2-4ac

xl,2=2。；

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根

b

xl=x2=-2a-

(3)当A<0时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.

(1)x2-3x+3=0;(2)x2-ax-1=0;

(3)x2-ax+(a-1)=0;(4)x2-2x+a=0.

解：(1)•.△=32-4x1x3=-3<0,••方程没有实数根.

(2)该方程的根的判别式A=a2-4x1x(-1)=a2+4>0,所