2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 2-2双曲线的简单几何性质 课件48张

第二章2.2双曲线的简单几何性质基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.基础落实·必备知识全过关知识点

双曲线的几何性质

不闭合的开放曲线

标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性质图形

焦点

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性质焦距

范围

或

y∈

或

x∈

对称性对称轴:

;对称中心:

顶点

轴实轴:线段

,实轴长:

;虚轴:线段

,虚轴长:

;实半轴长:

,虚半轴长:

离心率e=

∈

渐近线

|F1F2|=2cx≤-ax≥aRy≤-a

y≥a

R坐标轴

原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)A1A22aB1B22bab(1,+∞)名师点睛1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为

(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.3.因为

,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率等于

.过关自诊1.[人教A版教材习题]双曲线4x2-y2+64=0上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于

.

17解析

把双曲线方程化为标准方程,得

,所以a=8.由双曲线定义可知,点P到两焦点距离的差的绝对值等于16,设点P到另一个焦点的距离为m,有|m-1|=16,解得m=17或m=-15(舍去).故点P与另一个焦点的距离等于17.2.[人教A版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);3.[人教A版教材习题]已知下列双曲线的方程,求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程:(1)16x2-9y2=144;(2)16x2-9y2=-144.重难探究·能力素养全提升探究点一由双曲线方程研究其几何性质【例1】

求双曲线9y2-4x2=-36的x,y的取值范围、顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.变式探究求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.规律方法

由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

A.两个双曲线有公共顶点B.两个双曲线焦距相同C.两个双曲线有公共渐近线D.两个双曲线的离心率相等BC探究点二由双曲线的几何性质求标准方程【例2】

根据以下条件,求双曲线的标准方程.规律方法

1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(5)渐近线为y=kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).变式训练2求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)过点(2,0),与双曲线

离心率相等.探究点三双曲线的渐近线与离心率问题角度1.求双曲线的离心率或取值范围【例3】

设点F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则双曲线C的离心率为(

)A规律方法

求双曲线离心率及范围的常见方法(1)求双曲线离心率的常见方法:①若可求得a,c,则直接利用e=得解;②若已知a,b,或得到a,b的关系式,可利用

求解;③若得到的是关于a,c的齐次方程,则方程两边同除以a的最高次幂,转化为关于e的方程求解.(2)求离心率范围的技巧:①根据条件建立a,b,c的不等式,类似于求离心率的方法转化求解;②通过解不等式得

的范围,求得离心率的范围.变式训练3如图所示,F1和F2分别是双曲线(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为

.

解析

连接AF1(图略),由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°.角度2.双曲线的渐近线与离心率的综合

D规律方法

双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助

进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.A探究点四与双曲线定义有关的最值问题规律方法

利用双曲线的定义对|MA|+|MB|进行转化,注意最小值一般在三点共线时取得.A(2)已知F是双曲线

的左焦点,点A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为

.

9解析

设双曲线的右焦点是F1,由双曲线的定义,得|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当点P在线段AF1上时取等号,故最小值为9.本节要点归纳1.知识清单:(1)双曲线的几何性质及应用.(2)等轴双曲线.(3)与双曲线有关的最值问题.2.方法归纳:数形结合法、待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.成果验收·课堂达标检测123451.[2023宁夏青铜峡市高级中学高二期末]双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是(

)C123452.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(

)A.4 B.-4 C123453.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(

)A.x2-y2=8 B.x2-y2=4C.y2-x2=8 D.y2-x2=4A