中考数学一轮培优微专题 中点问题七大模型

微专题中点问题七大模型(绵阳：2考；宜宾：3考；眉山：4考)中点问题常用性质及常见辅助线作法：1.多个中点或平行＋中点构造中位线；2.直角＋斜边中点直角三角形斜边中线；3.中线或与中点有关的线段倍长中线构造全等；4.等腰＋底边中点等腰三角形“三线合一”；5.三角形面积＋中点被中线分割成的两个小三角形面积相等；6.同一边遇垂直＋中点垂直平分线性质；7.圆＋弦或弧的中点垂径定理及圆周角定理模型一出现多个中点或平行＋中点(中点在平行线上)时，常考虑构造三角形中位线模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题．针对演练1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为(

)A.50° B.40°C.30° D.20°第1题图B2.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是(

)A.12 B.14C.16 D.18第2题图B模型二已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即得到CD＝AD＝BD＝AB，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，可简记为“直角＋中点，等腰必出现”．针对演练3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，且CD＝5，则△ABC的中位线EF的长是(

)A.4 B. C.5 D.第3题图C模型三遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍长中线法构造全等三角形模型分析如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用．4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长，交AC于点F，使得AF＝EF，求证：AC＝BE.第4题图(证法一)证明：如解图①，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG.∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，∴△ADC≌△GDB(SAS)．∴AC＝GB，∠G＝∠EAF，又∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠BED.∴BE＝BG，∴AC＝BE.第4题解图①(证法二)证明：如解图②，延长ED到点G，使得DG＝DE，连接CG.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵∠BDE＝∠CDG，∴△BED≌△CGD(SAS)．∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.∴∠G＝∠EAF.∴AC＝GC.∴AC＝BE.第4题解图②模型四等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质模型分析如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题．针对演练5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为________．第5题图8模型五中线等分三角形面积模型分析如图，AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.(△ABD与△ACD是等底同高的两个三角形)针对演练6.在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝(

)A.2 B.8C.4 D.1第6题图A模型六遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质模型分析如图，当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到AE＝BE，证明线段间的数量关系．针对演练7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE

的长为________．第7题图8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝_________.第8题图模型七遇到圆中弦(或弧)的中点，利用垂径定理及圆周角定理模型分析如图，(1)O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂线构造中位线；(2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．针对演练9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为(

)A.2

B.3

C.3.5

D.4