新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第02讲 等差数列及其前n项和 高频精讲（原卷版）

第02讲等差数列及其前项和目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：等差数列基本量的运算 4高频考点二：等差数列的判断与证明 4角度1：定义法证明或判断 4角度2：等差中项法证明或判断 5高频考点三：等差数列的性质 7高频考点四：等差数列的单调性 8高频考点五：等差数列的前项和 9角度1：等差数列的项和的基本量计算 9角度2：含绝对值的等差数列的项和 10角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和 10高频考点六：等差数列的前项和的性质 12角度1：等差数列的片段和性质 12角度2：两个等差数列前项和的比的问题 12高频考点七：等差数列的前项和的函数特征 13角度1：等差数列的前项和的最值问题 13角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数 14第四部分：数学文化题 16第五部分：高考新题型 18角度1：开放性试题 18角度2：探究性试题 18温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）②等差中项法：2.等差数列的有关公式(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．(2)等差数列的前项和公式(其中)．3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．第二部分：高考真题回归1．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则公差_______．3．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．4．（2021·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．5．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：等差数列基本量的运算典型例题例题1．（2023春·贵州·高二校联考期中）已知等差数列的前8项和为68，，则（

）A．300 B．298 C．295 D．296例题2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列{an}中，，，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？练透核心考点1．（2023春·高二课时练习）在数列中，，，则的值为（

）A．96 B．98 C．100 D．1022．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．30 B．28 C．26 D．13高频考点二：等差数列的判断与证明角度1：定义法证明或判断典型例题例题1．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）数列中，，且，则这个数列的前20项的和为（

）A．495 B．765 C．450 D．120例题2．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知数列满足，，的通项公式为_________例题3．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知数列中，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．角度2：等差中项法证明或判断典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期中）已知数列满足：.(1)求的通项公式；例题2．（2023春·江西·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且满足，..求数列的通项公式；角度3：通项公式形如的形式典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：(1)；(2).角度4：前项和形如的形式典型例题例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；例题2．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且．(1)求及数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的的值．练透核心考点二1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已如数列的前项和为，，当时，．(1)证明数列为等差数列，并求；(2)求数列的前项和为．4．（2023秋·陕西西安·高二西安市远东一中校考期末）已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；高频考点三：等差数列的性质典型例题例题1．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）设等差数列的前项和为，且，．则（

）A．29 B．32 C．35 D．38例题2．（多选）（2023春·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）已知首项为的等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·高二课时练习）在等差数列中，是方程的根，则＝________.例题4．（2023·青海西宁·统考二模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.练透核心考点三1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列中，，则（

）A．30 B．15 C．5 D．103．（2023春·广东广州·高二广东华侨中学校考期中）若前项和为的等差数列满足，则（

）A．46 B．48 C．50 D．524．（多选）（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（

）A． B．C．的最大值是 D．当且仅当时，高频考点四：等差数列的单调性典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是例题2．（多选）（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列 C． D．例题3．（2023春·高二课时练习）设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________.练透核心考点1．（2023·高二课时练习）等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，当取最大值时的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10高频考点五：等差数列的前项和角度1：等差数列的项和的基本量计算典型例题例题1．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72例题2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________例题3．（2023·上海·高三专题练习）若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．角度2：含绝对值的等差数列的项和典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知在前项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．例题2．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和是，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·高二课时练习）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________．例题3．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．练透核心考点五1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）记为等差数列的前n项和．若，则_______．3．（2023·高二课时练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（

）A．9 B．10C．11 D．124．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．5．（2023·高二课时练习）一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是______．6．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求.（2023·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前n项和．高频考点六：等差数列的前项和的性质角度1：等差数列的片段和性质典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（

）A．130 B．170 C．210 D．260例题2．（2023春·高二课时练习）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）记为等差数列的前项和．若，，则______．角度2：两个等差数列前项和的比的问题典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）等差数列的前项和分别为，且，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10例题2．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则__________．练透核心考点六1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．9 B．11 C．13 D．252．（2023春·广东梅州·高二丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列的前n项和记为，且，，则=（

）A．70 B．90 C．100 D．1203．（2023春·高二课时练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（）A． B． C． D．25．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________6．（2023春·湖北·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则________．高频考点七：等差数列的前项和的函数特征角度1：等差数列的前项和的最值问题典型例题例题1．（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．例题2．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，若时，最小，则=___________.例题3．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数典型例题例题1．（多选）（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）数列的通项公式为，其前项和为，则使最大的的取值可以是（

）A．9 B．10 C．11 D．12例题2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等差数列的公差为，首项，当且仅当时，其前项和取得最大值，则的取值范围是______．例题3．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）设等差数列的前项和为，且.(1)若，求的公差；(2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.练透核心考点七1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．172．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（

）A．11 B．12 C．13 D．143．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为________.4．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．5．（2023春·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，是的前项和，，.(1)判断是否是数列中的项，并说明理由；(2)求的最值.（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值．第四部分：数学文化题1．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（

）（参考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．15803．（2023·全国·高三专题练习）“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列，，，…，，的和，可设计一个正立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个，第2行为2个，第3行为3个，…，第行为个1；再选一个数列（其前项和已知），可设计一个倒立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为个，第2行为个，第3行为个，…，第行为1个1.这两个三角数阵就组成一个行列的菱形数阵.若已知，则运用垛积术，求得数列，，，…，，的和为____________.