数学-9.4.3 正方形（原卷版）

9.4.3正方形同步培优讲练综合1、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1、边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2、角——四个角都是直角；3、对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4、是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.3、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

一、正方形性质的认识【例1】下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线互相垂直且相等 D．平行四边形的对角线相等【例2】下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分 B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【例3】下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等且平分二、利用正方形的性质求角度【例1】如图，以正方形的边为边向正方形外作等边，与交于点F，则的度数是（）A．105° B．120° C．135° D．150°【例2】如图，正方形中，在延长线上取一点，使，连接，则的度数为A． B． C． D．

【例3】正方形中，点E是上一点，过点E作交射线于点F，连结．（1）若，求度数；（2）求证：三、利用正方形的性质求线段（最值）【例1】如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是18，则的长是．【例2】如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，则的长为．【例3】如图，在四边形中，，，，，平分，则的长为．

【例4】正方形中，对角线、交于点O，E为上一点，延长到点N，使，连接、．（1）求证：为直角三角形．（2）若，正方形的边长为6，求的长．【例5】如图，在正方形中，点、、分别在、、上，且，垂足为．（1）求证：；（2）若是的中点，且，，求的长．【例6】如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（）

A．8 B．10 C． D．利用正方形的性质求面积【例1】如图，直线过正方形的顶点，点至直线的距离分别为2和3，则此正方形的面积为．【例2】如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且．若，，则的面积为______．【例3】如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________．

五、正方形的判定定理【例1】下列说法正确的有几个①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2】下列说法中，正确的有个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1 B．2 C．3 D．4【例3】如图，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，连接．（1）求证：；（2）当时，求证：菱形为正方形．

六、正方形解答题【例1】在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN＝DD′；问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若BD′＝6，CM＝2，求线段MN的长.【例2】已知：如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，，相交于点P，并且．

(1)如图1，判断和的位置关系？并说明理由；(2)若，，求的长度；(3)如图2，，，点F在线段上运动时(点F不与C、D重合)，四边形是否能否成为正方形？请说明理由．【例3】如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F．(1)求证：四边形AEDF是正方形．(2)当时，求正方形AEDF的边长．【例4】问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．

（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_____．2、在四边形中，，，，点在上，且，则的长为．3.如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．

4.如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是正方形；(3)若四边形的面积为10，，求点之间的距离．5.已知，如图，四边形ABCD是菱