陕西省西安市2024届高三第一次质量检测文科数学试题

西安市2024年高三年级第一次质量检测文科数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（）A．B．C．D．2．已知i为虚数单位，且，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．54．若，则“”是“，夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点，我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天？（参考数据：）（）A．19B．35C．45D．556．某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．C．D．87．已知，则的最小值为（）A．B．C．D．8．若，则（）A．B．0C．D．19．已知定义在上的函数是奇函数且满足，数列满足，且（其中为的前n项和），则（）A．3B．0C．D．610．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A．B．C．D．11．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（）A．CH的长是定值B．在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为C．当时，三棱锥的体积为D．点H到面的最大距离为12．关于函数，下列选项正确的是（）A．为奇函数B．在区间上单调递减C．的最小值为2D．在区间上有两个零点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某高三年级共有800人，从中随机抽取50人参加比赛，按系统抽样的方法进行等距抽取．将全体学生进行编号分别为1~800，并按编号分成50组，若第3组抽取的编号为36，则第16组抽取的编号为___________．14．若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是___________．15．若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和__________．16．已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：x12345y1.523.5815（1）求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱．）（2）求年销售量y关于年投资额x的回归方程．并预测投资额为700万元时的销售量．（参考：）参考：18．（12分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱BC的中点．（1）求证：平面平面ABC；（2）若，求点C到平面的距离．19．（12分）在（1）；（2）；（3）．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件___________（填写所选条件的序号）．（1）求角C；（2）若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．20．（12分）已知为双曲线C的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）点A，B在双曲线C上，直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，点Q在直线AB上，若，是否存在定点T，使得为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若的最小值为1，求a．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）若点在直线l上且，射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q，求对的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集包含，求a的取值集合．

西安市2024年高三年级第一次质量检测文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1．C由题得，所以，故．2．C，则，对应点的坐标为在第三象限．3．B作出不等式组所表示的平面区域．当经过点时，z取得最大值，即．4．B若向量夹角为钝角，则且不共线所以，解得且，所以“”是“向量夹角为钝角”的必要不充分条件．5．B设x天后当“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，即，，．6．A如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥即为该几何体．其中为直角三角形，，所以其面积为；为等腰三角形，，点C到边BD的距离为4，所以其面积为；为等腰三角形，，所以点C到边AB的距离为，所以其面积为；为等腰三角形，，所以点C到边AD的距离为，所以其面积为．综上，该几何体各个面中面积最大的面为，其面积为．7．D因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立，8．B因为，所以，即，则所以则，即．9．A，又是奇函数，是周期为3的周期函数．又，①当时，有②，由①-②，得，即是首项为，公比为2的等比数列，，定义在上的奇函数是周期为3的周期函数，．10．D圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，则圆C的方程，设，由，可得，整理得，则圆与圆有公共点，则，即，解之得．11．B取的中点G，连接GH，GE，则，且，又，且，所以，且，是平行四边形，，而，故A正确；对于B，取AE的中点O，连接，所以，即点O为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；对于C，连接，连接，，即，所以，即分别为的中点，，．又M为DE的中点，，，又平面，又，又平面CFH，，故C正确；对于D，令点D到面的距离为h，因为H为中点，所以点H到面的距离为．因为，因为三棱锥的底面积是定值，所以当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，取AE的中点O，连接，则平面ABE，所以，即，解得，所以点H到面的最大距离为，故D正确．故选：B．12．D由题知，．所以，所的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数；故A不正确；当时，，因为，所以，所以，所以在区间上单调递增；故B不正确；因为，故C不正确；当时，，令，得，无解；当时，函数无意义，当时，，令，得，得无解，当时，函数无意义，当时，，令，得，得，得，当时，函数无意义，当，令，得得，无解，当时，函数无意义，当时，，令，得，得，得，综上所述：在区间上有两个零点和．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．详解：800人一共分成50组，每组16人，所以组距为16，系统抽样可以看成是一个组距为16的等差数列，由第三组，得．答案：24414．详解：因为，则．所以，函数的减区间为，增区间为，所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得．答案：15．详解：由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以．所以．所以．所以，故，所以数列的前n项和，答案：16．详解：圆，圆心，半径，所以，又椭圆，则，右焦点为，所以，又，即，所以，即，所的最大值为15，最小值为3．则的最大值与最小值之和为18．答案：18三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．详解：（1）由题意，，，，，，变量x和y的线性相关程度很强；（2），∴年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为．当时，，所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为19.2千件．18．详解：（1）证明：设．四边形是菱形，D为棱BC的中点，．在中，，由，解得．，即．，且平面．平面，且平面ABC．平面平面平面ABC；（2）由和（1）知平面ABC，是点到平面ABC的距离．平面ABC，，则是以为斜边的直角三角形，，点D为棱BC的中点，，的面积，的面积．设点C到平面的距离为h，则．，解得．点C到平面的距离为．19．详解：选（1）：，，；选（2）：，；选（3）：，，；（2），又，在三角形BCD中，，当且仅当时取等号，的最小值为．20．详解：（1）设双曲线C的方程为，由题意知，解得双曲线C的方程为；（2）设直线AB的方程为，，消去y，得，则，直线PA方程为，令，则，同理，由，可得，,，即，当时，，此时直线AB方程为，恒过定点，显然不成立；，此时直线AB方程为，恒过定点，，取PE中点T，为定值，∴存在点使为定值．21．详解：（1），所以曲线在点处的切线方程，即．（2），令，则，令，则，当时，，则，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递增，且，所以，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以．所以成立，当时，当时，在上单调递减，，在上单调递减，因为，所以在上单调递减，此时，舍去．当时，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，舍去；当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，，舍去，综上，．（二）选考题：共10分