备战2024年高考模拟数学试卷02(新高考Ⅰ数学试卷专用)(解析版)

PAGEPAGE1备战2024年高考数学模拟卷02（新高考Ⅰ卷专用）第I卷（选择题）一、单项选择题1．设集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意得，，则，则，故A错误；，或，则，故B正确；又，，故C错误；，故D错误.故选：B.2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗设，因，则，即，而，则，解得，所以.故选：C3．设平面向量，，且，则=（

）A．1 B．14 C． D．〖答案〗B〖解析〗因为，所以又，则所以，则，故选：4．已知等比数列的首项为3，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗由题意知等比数列的首项为3，设公比为q，由，则，即或，当时，，即，即“”不是“”的充分条件；当时，即，则，即，即，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B5．若对任意的，且当时，都有，则实数的最小值是（

）A． B． C．5 D．〖答案〗C〖解析〗由题设知：且，，令且，即在上递增，所以在上恒成立，而递减，所以，故实数的最小值是5.故选：C6．设直线上存在点到点的距离之比为2．则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗设，则，即，整理得到，圆心为，半径，故直线与圆有交点，即，解得.故选：D.7．已知，若方程在的解为，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，由得，因为，所以，根据对称性有，解得，所以.故选：A.8．加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（

）

A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18〖答案〗D〖解析〗由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．故选：D．二、多项选择题9．某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：μg/m³）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（

）A．甲地区：平均数为80，众数为70B．乙地区：平均数为80，方差为40C．丙地区：中位数为80，方差为40D．丁地区：极差为10，80%分位数为90〖答案〗BD〖解析〗A：10天数据如下：满足平均数为80，众数为70，不符合；B：若表示第天数据，则，如果其中一天的数据超过100，则，故没有超过100的数据，符合；C：10天数据如下：，此时中位数为80，方差约为40，不符合；D：若其中一天的数据超过100，由于极差为10，则最小数据超过90，与80%分位数为90矛盾，故10天没有超过100的数据，符合；故选：BD10．已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一级阶梯第二级阶梯第三级阶梯若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，则（

）A． B．C． D．〖答案〗ACD〖解析〗设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.因为，所以，解得A正确；由，得.当时，，即，所以，B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，则两式相减可得.因为，所以，则，即，故均正确.故选:ACD.11．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面是边长为4的正方形，在底面的投影分别为的中点，若，则下列结论正确的有（

）A．该几何体的表面积为B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为C．直线与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗设在平面的投影分别为的中点，由于，，所以到平面的距离为,由于上、下两层等高，所以到平面的距离为2，又，由于,所以,所以≌,同理可得≌≌≌，≌≌≌，则点B到FG的距离为，则的面积为，的面积为．故该几何体的表面积．A正确．将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且均在球面上，设球心到下底面的距离为x，由于四边形为边长为的正方形，四边形为边长为4的正方形，则其对角线长度分别为4，，则，解得，则该球体的半径为，体积为．B不正确．以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，平面的一个法向量为，则，设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为．C正确．设平面的法向量为，则，令，得，则点到平面的距离为．D正确．故选：ACD12．已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（

）A．的周期为4B．的图象关于直线对称C．D．〖答案〗AC〖解析〗为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，可得，则的周期为4，故A选项正确；又，则的图象关于对称，故选项B错误；又，所以，故选项C正确；由以上可知，，但是不知道等于多少，函数的周期为4，则，故D错误.故选：AC.第II卷（非选择题）三、填空题13．古镇旅游是近年旅游的热点，某旅游短视频博主准备到江西婺源古村落、瑶里古镇、驿前古镇、河口古镇、密溪古村五个地方去打卡，每个地方打卡一次，则先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为.故〖答案〗为：.14．在棱长为1的正方体中，点、分别是线段、（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面.若，则四面体的体积为.〖答案〗〖解析〗如下图所示：

由线段平行于平面，且平面，平面平面，由线面平行的性质定理可得，由可得，又正方体棱长为1，可得所以的面积为，设到平面的距离为，易知到平面的距离为，由可得；所以四面体的体积为.故〖答案〗为：15．已知函数，若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，由，得由，得；由在上恰有两个零点可得，解得.故〖答案〗为：16．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为.〖答案〗〖解析〗如图，，要使最小，则最大，即需最小.设，则，∴当，即时，，，此时或，.故〖答案〗为：.四、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．(1)求B；(2)若，且的面积为，求b.解：(1)，由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因为，所以.(2)由(1)得，所以的面积为，得，由及正弦定理，得，所以.由余弦定理，得，所以.18．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·(1)若P是的中点，证明：；(2)若平面，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体的体积．解：(1)以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若是的中点，则，，，于是，∴，即．(2)由题设知，，，是平面内的两个不共线向量．设是平面的一个法向量，则，取，得．又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时．设，而，由此得点，，∵PQ∥平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而．将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积．19．已知函数，曲线在处的切线方程为．(1)求的〖解析〗式；(2)当时，求证：；(3)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围.(1)解：由题可得，∵曲线在处的切线方程为，∴，即，∴．(2)证明：令，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∴，∴．(3)解：∵对任意的恒成立，∴对任意的恒成立，令，，则，由(2)可知当时，恒成立，令，可得；令，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∴实数k的取值范围为．20．已知等差数列的前项和为，，为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.解：(1)设等差数列的公差为.由，可知，，即因为为整数，所以，结合不等式组解得，所以.(2)由(1)可知.当为偶数时，.又，即对任意偶数都成立，所以.同理，当为奇数时，，又，即对任意奇数都成立，易知当奇数时，函数取得最小值-15，故.综上，.21．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.解：(1)从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为，记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，则，，，所以；(2)X的所有可能取值为2，3，4，则，，，故X的分布列如表：X234P故.22．已知平面内动点，P到定点的距离与P到定直线的距离之比为，(1)记动点P的轨迹为曲线C，求