2024步步高考二轮数学新教材讲义专题一　第1讲　函数的图象与性质含答案

2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲函数的图象与性质[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．考点一函数的概念与表示核心提炼1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．例1(1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋eq\r(3－x)的定义域为()A．(2,3] B．(－2,3]C．[－2,3] D．(0,3](2)(2023·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋7，x≤2，,3＋logax，x>2))的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是()A．[eq\r(2)，＋∞) B．(1，eq\r(2))C．(1，eq\r(2)] D．(eq\r(2)，＋∞)规律方法(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．跟踪演练1(1)(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋4，x<10，))则f(8)等于()A．10B．9C．7D．6(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列为“M函数”的是()A．f(x)＝sinxcosx B．f(x)＝lnx＋exC．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x考点二函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2(1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝ln|x|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))的图象可能为()(2)(多选)(2023·吉安模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－4B．x3x4＝1C．1<x4<4D．0<x1x2x3x4≤4规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．跟踪演练2(1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0<x≤1，))则下列图象错误的是()考点三函数的性质核心提炼1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．3．函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．考向1单调性与奇偶性例3(2023·泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．b<a<c考向2奇偶性、周期性与对称性例4(多选)(2023·盐城统考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列说法正确的有()A．函数g(x)的图象关于直线x＝1对称B．函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称C．函数f(x)是以4为周期的周期函数D．函数g(x)是以6为周期的周期函数二级结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或fx＋a＝\f(1,fx)))，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.跟踪演练3(1)(2023·林芝模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(6，＋∞)B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3)))(2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，则下列结论正确的是()A．g′(x)为奇函数B．f(2)＝2C．g′(2)＝2D．f(2022)＝2第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x与g(x)＝logbx的图象可能是()(2)(2023·六盘水质检)设a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝log0.80.7，则a，b，c的大小关系为()A．b>c>a B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(多选)(2023·惠州模拟)若6a＝2,6b＝3，则()A．a＋b＝1 B.eq\f(b,a)>1C．ab<eq\f(1,4) D．b－a<eq\f(1,5)(2)(2023·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1函数零点个数的判断例2(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交点个数为()A．1B．2C．3D．4考向2求参数的值或范围例3若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝________.规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3x－4，x≥0，,x2＋2x，x<0))的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(2)(2023·九江模拟)函数f(x)＝4sin

eq\f(π,2)x－|x－1|的所有零点之和为________．考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4(1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤(参考数据：lg2≈0.3010)()A．2次B．3次C．4次D．5次(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg

eq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3(1)(2023·合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln6.3≈1.84)()A．2B．3C．4D．5(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知eq\r(2)≈1.414，结果取一位小数)()A．4.0天 B．4.3天C．4.7天 D．5.1天第3讲导数的几何意义及函数的单调性[考情分析]1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．考点一导数的几何意义与计算核心提炼1．导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上．2．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.例1(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝eq\f(ex,x＋1)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为()A．y＝eq\f(e,4)x B．y＝eq\f(e,2)xC．y＝eq\f(e,4)x＋eq\f(e,4) D．y＝eq\f(e,2)x＋eq\f(3e,4)(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________．易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．跟踪演练1(1)(2023·湖北省七市(州)联考)已知m>0，n>0，直线y＝eq\f(1,e)x＋m＋1与曲线y＝lnx－n＋2相切，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值是()A．16B．12C．8D．4(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，__________.考点二利用导数研究函数的单调性核心提炼利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域．(2)求f(x)的导数f′(x)．(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．例2(2023·武汉华中师大一附中模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－eq\f(a,2)x2＋ax，a∈R.(1)当a＝0时，求f(x)在x＝0处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．跟踪演练2(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝eq\f(lnx－lnt,x－t).(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三单调性的简单应用核心提炼1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．例3(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2 B．eC．e－1 D．e－2(2)(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝e|x|－x2，若a＝f(ln4)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln

\f(1,e2)))，c＝f(21.1)，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．跟踪演练3(1)(2023·山西统考)若对于∀x1，x2∈(－∞，m)，且x1<x2，都有>1，则m的最大值是()A．2e B．eC．0 D．－1(2)(2023·咸阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，则不等式f(x－1)－1<eπ的解集是________．第1讲函数的图象与性质例1(1)A(2)C跟踪演练1(1)C(2)AB例2(1)A(2)AB[函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,|log2x|，x>0))的图象如图所示，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4，则直线y＝t与函数y＝f(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4，由图象可知log2x4∈(0,4)，则1<x4<16，故C错误；由图象可知－4<x1<－2，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－xeq\o\al(2,1)－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0,4)，故D错误．]跟踪演练2(1)A(2)D例3D[因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)<0.因为g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数．当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0.即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，所以g(3)<g(log25.1)<g(20.8)，即b<a<c.]例4BC[对于A选项，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．由f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(－x)＋g(2＋x)＝1，可得g(2＋x)＝g(2－x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，则g(2－x)－f(－2－x)＝3，又因为f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(x)＋f(－2－x)＝－2，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，B正确；对于C选项，因为函数f(x)为偶函数，且f(x)＋f(－2－x)＝－2，则f(x)＋f(x＋2)＝－2，从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，则f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，C正确；对于D选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，且f(x)＝f(x－4)，所以g(x)－f(x)＝3，又因为f(x)＋g(2－x)＝1，所以g(x)＋g(2－x)＝4，又因为g(2－x)＝g(2＋x)，则g(x)＋g(x＋2)＝4，所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4，故g(x＋4)＝g(x)，因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误．]跟踪演练3(1)D(2)ABD[∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)为奇函数，故A正确；又f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，令x＝2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＋g′2＝2，,f2－g′2＝2，))解得f(2)＝2，g′(2)＝0，故B正确，C错误；∵f(x)－g′(4－x)＝2，∴f(x＋4)－g′(－x)＝2，又g′(x)为奇函数，则f(x＋4)＋g′(x)＝2，又f(x)＋g′(x)＝2，∴f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2022)＝f(2)＝2，故D正确．]第2讲基本初等函数、函数与方程例1(1)B(2)D跟踪演练1(1)ABC(2)[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x≤1.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x均在R上是减函数，则f(x)在R上是减函数，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．例2C[因为y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))向左平移eq\f(π,6)个单位长度所得函数为y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x，所以f(x)＝－sin2x，而y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)显然过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))与(1,0)两点，作出y＝f(x)与y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的大致图象如图所示，考虑2x＝－eq\f(3π,2)，2x＝eq\f(3π,2)，2x＝eq\f(7π,2)，即x＝－eq\f(3π,4)，x＝eq\f(3π,4)，x＝eq\f(7π,4)处f(x)与y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的大小关系，当x＝－eq\f(3π,4)时，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))＝－1，y＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))－eq\f(1,2)＝－eq\f(3π＋4,8)<－1；当x＝eq\f(3π,4)时，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝－sin

eq\f(3π,2)＝1，y＝eq\f(1,2)×eq\f(3π,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(3π－4,8)<1；当x＝eq\f(7π,4)时，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)))＝－sin

eq\f(7π,2)＝1，y＝eq\f(1,2)×eq\f(7π,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(7π－4,8)>1.所以由图可知，f(x)与y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交点个数为3.]例3e解析如图，显然a>0.当x≤0时，由单调性得方程ex＝－ax有且仅有一解．因此当x>0时，方程ex＝ax只有一解．即y＝ax与y＝ex相切，y′＝ex，令y′＝a得x＝lna，故当x＝lna时，ex＝ax，得elna＝alna，即a＝alna，从而a＝e，故当a＝e时，y＝ax与函数y＝ex相切，此时方程ex＝ax有一解，若方程ex＝a|x|恰有两个不同的解，则a＝e.跟踪演练2(1)B(2)6例4(1)D(2)ACD[因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且∈[60,90]，∈[50,60]，所以≥，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg

eq\f(p,p0)，得p＝，因为＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则，所以>10，所以－>20，不可能成立，故B不正确；因为eq\f(100p2,p1)＝≥1，所以p1≤100p2，故D正确．]跟踪演练3(1)C(2)C第3讲导数的几何意义及函数的单调性例1(1)C(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化简，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．跟踪演练1(1)D(2)y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x解析先求当x>0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝eq\f(1,x)，得切线斜率为eq\f(1,x0)，又切线的斜率为eq\f(y0,x0)，所以eq\f(1,x0)＝eq\f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为eq\f(1,e)，切线方程为y＝eq\f(1,e)x.根据偶函数图象的对称性知，当x<0时的切线方程为y＝－eq\f(1,e)x.综上可知，两条切线方程为y＝eq\f(1,e)x，y＝－eq\f(1,e)x.例2解(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex，f′(0)＝(0－1)