（普通班）高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第二课时 利用导数研究函数的极值与最值基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的极值1,2,4,7,9导数研究函数的最值3,5,11,14导数研究函数的极值与最值综合问题6,8综合问题10,12,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016汕头模拟)若a>0,b>0,f(x)=4x3-ax2-2bx,且函数在x=1处有极值,则ab的最大值等于(C)(A)3 (B)6 (C)9 (D)2解析:因为f′(x)=12x2-2ax-2b.又因为在x=1处有极值,所以a+b=6,且Δ=(-2a)2+96b>0,因为a>0,b>0,所以ab≤（a+b2所以ab的最大值等于9.故选C.2.(2016保定模拟)设a∈R,若函数y=x+alnx在区间（QUOTE1e,e）有极值点,则a取值范围为(B)(A)（QUOTE1e,e） (B)（-e,-QUOTE1e）(C)(-∞,QUOTE1e)∪(e,+∞) (D)(-∞,-e)∪(-QUOTE1e,+∞)解析:y′=1+QUOTEax(x>0),y′=1+QUOTEax为单调函数,所以函数在区间(QUOTE1e,e)有极值点,即f′(QUOTE1e)f′(e)<0,代入解得(1+ae)(1+QUOTEae)<0⇔(a+e)(a+QUOTE1e)<0,解得-e<a<-QUOTE1e.故选B.3.函数y=lnx-x在x∈(0,e]上的最大值为(C)(A)e (B)1 (C)-1 (D)-e解析:函数y=lnx-x的定义域为(0,+∞),又y′=QUOTE1x-1=1-xx令y′=0得x=1,当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;当x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1.4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f′(x)的图象不可能是(D)解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f′(x)的图象不可能是D.5.(2016唐山质检)若函数y=x3-QUOTE32x2+a在[-1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]上的最小值是(C)(A)-QUOTE12 (B)0 (C)QUOTE12 (D)1解析:y′=3x2-3x=3x(x-1)>0,解得x>1或x<0,y′>0,解得0<x<1,y′<0,所以当x∈[-1,1]时,[-1,0]函数增,[0,1]函数减,所以当x=0时,函数取得最大值f(0)=a=3,y=x3-QUOTE32x2+3,f(-1)=QUOTE12,f(1)=QUOTE52,所以最小值是f(-1)=QUOTE12.故选C.6.若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是(C)(A)(-5,1) (B)[-5,1)(C)[-2,1) (D)(-5,-2]解析:f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数a满足a<1<6-a2且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.解a<1<6-a2,得-5<a<1,不等式a3-3a≥f(1)=-2,即a3-3a+2≥0,即a3-1-3(a-1)≥即(a-1)(a2+a-2)≥0,即(a-1)2(a+2)≥0,即a≥-2.故实数a的取值范围是[-2,1).故选C.7.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是.

解析:f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f′(x)=0有两个不等实根.因为f(x)=ax3+x,所以f′(x)=3ax2+1.要使f′(x)=0有两个不等实根,则a<0.答案:(-∞,0)8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是.

解析:f′(x)=-3x2+2ax,根据已知2a得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4.根据函数f(x)的极值点,可得函数f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,f′(n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增,所以f′(n)的最小值为f′(-1)=-9.[f(m)+f′(n)]min=f(m)min+f′(n)min=-4-9=-13.答案:-139.(2016淄博联考)已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1存在极值,则实数m的取值范围为.

解析:因为函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值,又存在极小值,f′(x)=3x2+2mx+m+6=0,它有两个不相等的实根,所以Δ=4m2答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)10.(2016长春模拟)已知函数f(x)=x-QUOTE1x,g(x)=alnx(a∈R).(1)当a≥-2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈(0,QUOTE12],求h(x1)-h(x2)的最小值.解:(1)由题意得F(x)=x-QUOTE1x-alnx,其定义域为(0,+∞),则F′(x)=x2令m(x)=x2-ax+1,则Δ=a2-4.①当-2≤a≤2时,Δ≤0,从而F′(x)≥0,所以F(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a>2时,Δ>0,设F′(x)=0的两根为x1=a-a2-4所以F(x)的单调递增区间为(0,a-a2-42)和F(x)的单调递减区间为(a-a2-综上,当-2≤a≤2时,F(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>2时,F(x)的单调递增区间为（0,a-a2-42）和F(x)的单调递减区间为（a-a2-(2)对h(x)=x-QUOTE1x+alnx,x∈(0,+∞)求导得,h′(x)=1+QUOTE1x2+QUOTEax=x2+ax+1x2h′(x)=0的两根分别为x1,x2,则有x1·x2=1,x1+x2=-a,所以x2=QUOTE1x1,从而有a=-x1-QUOTE1x1.令H(x)=h(x)-h（QUOTE1x）=x-QUOTE1x+（-x-QUOTE1x）lnx-[QUOTE1x-x+(-x-QUOTE1x)·lnQUOTE1x]=2[(-x-QUOTE1x)lnx+x-QUOTE1x],H′(x)=2(QUOTE1x2-1)lnx=2(1当x∈(0,QUOTE12]时,H′(x)<0,所以H(x)在(0,QUOTE12]上单调递减,又H(x1)=h(x1)-h(QUOTE1x1)=h(x1)-h(x2),所以[h(x1)-h(x2)]min=H(QUOTE12)=5ln2-3.能力提升练(时间:15分钟)11.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>QUOTE12),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(D)(A)2 (B)3 (C)4 (D)1解析:由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=QUOTE1x-a=0,得x=QUOTE1a,当0<x<QUOTE1a时,f′(x)>0;当x>QUOTE1a时,f′(x)<0.所以f(x)max=f(QUOTE1a)=-lna-1=-1,解得a=1.12.(2016江西上高二中模拟)若函数f(x)=x2-QUOTE12lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围为.

解析:由题意可知,k-1≥0,k≥1,又因为f′(x)=2x-12x=所以f(x)在(0,QUOTE12)上单调递减,在(QUOTE12,+∞)上单调递增,所以k-1<QUOTE12<k+1⇒-QUOTE12<k<QUOTE32,综上所述,实数k的取值范围是[1,QUOTE32).答案:[1,QUOTE32)13.(2016合肥联考)已知函数y=f(x)=lnx(1)求函数y=f(x)的图象在x=QUOTE1e处的切线方程;(2)求y=f(x)的最大值;(3)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.解:(1)f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=1-因为f(QUOTE1e)=-e,又因为k=f′(QUOTE1e)=2e2,所以函数y=f(x)在x=QUOTE1e处的切线方程为y+e=2e2(x-QUOTE1e),即y=2e2x-3e.(2)令f′(x)=1-因为当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,在(e,+∞)上为减函数.所以fmax(x)=f(e)=QUOTE1e.(3)因为a>0,由(2)知:F(x)=alnxx所以F(x)在[a,2a]上的最小值F(x)min=min{F(a),F(2a)}.因为F(a)-F(2a)=QUOTE12lnQUOTEa2,所以当0<a≤2时,F(a)-F(2a)≤0,F(x)min=F(a)=lna.当a>2时,F(a)-F(2a)>0,F(x)min=F(2a)=QUOTE12ln2a.14.已知f(x)=3x2-x+m(x∈R),g(x)=lnx.(1)若函数f(x)与g(x)的图象在x=x0处的切线平行,求x0的值;(2)求当曲线y=f(x)与y=g(x)有公共切线时,实数m的取值范围;(3)在(2)的条件下,求函数F(x)=f(x)-g(x)在区间[QUOTE13,1]上的最值(用m表示).解:(1)f′(x)=6x-1,g′(x)=QUOTE1x(x>0),由题意知6x0-1=QUOTE1x0(x0>0),即6x02-x解得x0=QUOTE12或x0=-QUOTE13,又因为x0>0,所以x0=QUOTE12.(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)相切且在切点处有公共切线,由(1)得切点横坐标为QUOTE12,所以f(QUOTE12)=g(QUOTE12),所以QUOTE34-QUOTE12+m=lnQUOTE12,即m=-QUOTE14-ln2,数形结合可知,m>-QUOTE14-ln2时,f(x)与g(x)有公共切线,故m的取值范围是(-QUOTE14-ln2,+∞).(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-lnx,故F′(x)=6x-1-QUOTE1x=6=(3当x变化时,F′(x)与F(x)在区间[QUOTE13,1]上的变化情况如表:x[QUOTE13,QUOTE12)(QUOTE12,1]F′(x)-0+F(x)↘极小值↗又因为F(QUOTE13)=m+ln3,F(1)=2+m>F(QUOTE13),所以当x∈[QUOTE13,1]时,F(x)min=F(QUOTE12)=m+QUOTE14+ln2(m>-QUOTE14-ln2),F(x)max=F(1)=m+2(m>-QUOTE14-ln2).精彩5分钟1.(2016文登模拟)设a∈R,若函数y=ex+2ax(x∈R)有大于0的极值点,则(C)(A)a<-QUOTE1e (B)a>-QUOTE1e(C)a<-QUOTE12 (D)a>-QUOTE12解题关键:问题转化为y′=0有正数解.解析:由y=ex+2ax,得y′=ex+2a.由题意,得ex+2a=0有正数解,当x>0时,ex=-2a>1,即a<-QUOTE12.故选C.2.若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+(A)33 (B)3 (C)3+1 (D)3解题关键:运用分类讨论思想和方程思想求解.解析:f′(x)=x2+a令f′(x)=0,得x=a或x=-a(舍去),①若a≤1时,即0<a≤1时,在[1,+∞)上f′(x)<0,f(x)max=f(1)=11+a=解得a=3-1,符合题意.②若a>1,即a>1,在[1,a]上f′(x)>0,在[a,+∞)上f′(x)<0,所以f(x)max=f(a)=a2a=解得a=QUOTE34<1,不符合题意,综上知,a=3-1.故选D.3.(2015郑州质检三)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有2f(x)+xf′(x)>x2,则满足不等式(x+2014)2f