（普通班）高三数学一轮复习 第十一篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 二项分布与正态分布基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第7节二项分布与正态分布【选题明细表】知识点、方法题号条件概率1,14独立事件的概率3,10二项分布2,5,6,9,11,12,15正态分布4,7,8,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.投掷两枚骰子,已知有一枚点数是5的条件下,则另一枚点数也是5的概率是(C)(A)QUOTE12 (B)QUOTE16 (C)111 (D)112解析:法一基本事件的全体Ω中含有36个基本事件,记事件A为一枚点数是5,则事件A含有的基本事件是(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共11个,P(A)=1136,记事件B为另一枚点数是5,则AB就是事件两枚点数都是5,基本事件只有一个,故P(AB)=136,故P(B|A)=P(法二把基本事件的全体减缩为Ω′={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)},显然另一枚点数也是5的概率为1112.已知随机变量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是(D)(A)6,2.4 (B)6,5.6 (C)2,5.6 (D)2,2.4解析:E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,E(η)=E(8-ξ)=8-E(ξ)=2,D(η)=D(8-ξ)=(-1)2D(ξ)=2.4.故选D.3.若事件A,B,C相互独立,且P(A)=0.25,P(B)=0.50,P(C)=0.40,则P(A+B+C)等于(D)(A)0.80 (B)0.15 (C)0.55 (D)0.775解析:A,B,C相互独立,则有P(A+B+C)=1-P(QUOTEA)P(QUOTEB)P(QUOTEC)=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.40)]=1-0.225=0.775.故选D.4.(2015宁德高三5月质检)已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1～N1(90,86)和ξ2～N2(93,79),则以下结论正确的是(C)(A)第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定(B)第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定(C)第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定(D)第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定解析:根据ξ～N(μ,σ2)中μ,σ的意义可知选项C正确.5.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为(A)(A)81125 (B)54125 (C)36解析:击中目标的次数X～B(3,0.6),至少有两次击中目标为事件{X≥2},P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C32(35)2·QUOTE25+C33(QUOTE356.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:根据题意,本题为独立重复试验,由概率公式得:C5k(QUOTE12)k×(QUOTE12)5-k=C5k+1(QUOTE12)k+1×(QUOTE12)4-k,解得k=2.故选C.7.(2015江西省八所重点中学高三联考)在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则落在(0,80)内的概率为(B)(A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2解析:因为ξ服从正态分布N(100,σ2),所以曲线的对称轴是直线x=100,因为ξ在(80,120)内取值的概率为0.8,所以ξ在(80,100)内取值的概率为0.4,又ξ在(0,100)内取值的概率为0.5,所以ξ在(0,80)内取值的概率为0.5-0.4=0.1.故选B.8.(2015山西省康杰中学等四校四三次联考)设随机变量X～N(3,62),若P(X>m)=0.3,则P(X>6-m)=.

解析:根据正态分布的定义可知对称轴为x=3,而m与6-m关于x=3对称,所以P(X>m)=P(X<6-m)=0.3,故P(X>6-m)=1-P(X<6-m)=1-0.3=0.7.答案:0.79.一次数学测验由25道选择题构成,答正确得4分,不作答或答错不得分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的方差是.

解析:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ,所得的分数为η,则η=4ξ,由题意知ξ～B(25,0.6),则E(ξ)=25×0.6=15,D(ξ)=25×0.6×0.4=6,E(η)=E(4ξ)=4E(ξ)=60,D(η)=D(4ξ)=42×D(ξ)=96,所以该学生在这一次测验中的成绩的方差是96.答案:9610.甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为QUOTE12与QUOTE34.(1)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(2)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.解:设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,则P(A)=QUOTE12,P(B)=QUOTE34.(1)法一由题设知P(A)=QUOTE12,P(QUOTEA)=QUOTE12.故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P(QUOTEAQUOTEA)=QUOTE34,法二由题设知P(A)=QUOTE12,P(QUOTEA)=QUOTE12.故甲投球2次至少命中1次的概率为C21P(A)P(QUOTEA)+P(A)P(A)=QUOTE34.(2)由题设知P(A)=QUOTE12,P(QUOTEA)=QUOTE12,P(B)=QUOTE34,P(QUOTEB)=QUOTE14.甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各命中一次;甲命中2次,乙2次均不命中;甲2次均不命中,乙命中2次.概率分别为P1=C21P(A)P(QUOTEA)C21P(B)P(QUOTEB)=316,P2=P(AA)P(QUOTEBQUOTEB)=164,P3=P(QUOTEAQUOTEA)P(BB)=964.所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为P=P1+P2+P3=316+164+964能力提升练(时间:15分钟)11.已知ξ～B(n,QUOTE12),η～B(n,QUOTE13),且E(ξ)=15,则E(η)等于(B)(A)5 (B)10 (C)15 (D)20解析:因为ξ～B(n,QUOTE12),所以E(ξ)=QUOTEn2,又E(ξ)=15,则n=30.所以η～B(30,QUOTE13),故E(η)=30×QUOTE13=10.故选B.12.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,则成功次数X标准差的最大值是(B)(A)5 (B)5 (C)25 (D)50解析:设成功次数为随机变量X,由题意可知X～B(100,p),则D(X)=100p(1-p)≤10×13.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于.

解析:P(ξ<4)=0.8,则P(ξ>4)=0.2,又图象关于直线x=2对称,P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,则P(0<ξ<4)=0.6,P(0<ξ<2)=0.3.答案:0.314.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放在验钞机上检验发现是假钞,则两张都是假钞的概率是.

解析:设事件A表示“抽到的两张都为假钞”;事件B表示“抽到的两张中至少有一张为假钞”,则所求的概率为P(A|B),又P(AB)=P(A)=C5P(B)=C5所以P(A|B)=P(AB)P(B)答案:215.(2015商丘二模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下落,小球在下落的过程中,将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率分别是QUOTE13,QUOTE23.(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率;(2)在容器的入口处依次放入4个小球,记ξ为落入B袋中的小球个数,求ξ的分布列和数学期望.解:(1)记“小球落入A袋中”为事件M,“小球落入B袋中”为事件N,则事件M的对立事件为事件N.而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P(M)=(QUOTE13)3+(QUOTE23)3=127+827=QUOTE13,从而P(N)=1-P(M)=1-QUOTE13=QUOTE23.(2)显然,随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.且ξ～B(4,QUOTE23).故P(ξ=0)=C40(QUOTE23)0×(QUOTE13)4=181,P(ξ=1)=C41(QUOTE23)1×(QUOTE13)3=881,P(ξ=2)=C42(QUOTE23)2×(QUOTE13)2=827,P(ξ=3)=C43(QUOTE23)3×(QUOTE13)1=3281,P(ξ=4)=C44(QUOTE23)4×(QUOTE13)0=1681.则ξ的分布列为ξ01234P1883216故ξ的数学期望为E(ξ)=4×QUOTE23=QUOTE83.16.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望.参考数据:若ξ～N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×5100+166×7100+170×8100+174×2100+178×2100+182168.72cm,高于全市的平均值168cm.(2)由频率分布直方图知,后3组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×50=10,即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10.(3)因为P(168-3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974,所以P(ξ≥180)=1-0.0013×100000=130.所以全市前130名的身高在180cm以上(含180cm),这50人中180cm以上(含180cm)的有2人.随机变量ξ可取0,1,2,于是P(ξ=0)=C82C102=2845,P(P(ξ=2)=C22C所以E(ξ)=0×2845+1×1645+2×145=QUOTE25精彩5分钟1.(2015九江三模)已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个小球(取后放回),连取三次,则取得的小球的最大标号为3的概率为(B)(A)QUOTE23 (B)1927 (C)2027 (D)QUOTE79解题关键:所求概率即为三次独立重复试验至少发生一次的概率.解析:根据题意每次取球时取到标号为3的小球的概率为QUOTE13