安徽省黄山市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

安徽省黄山市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列有关学科的图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A．生物 B．科学 C．化学 D．物理2．下列函数解析式中，是的二次函数的是（

）A． B．C． D．3．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（

）A． B． C． D．4．下列事件中属于必然事件的是（

）A．抛出一枚硬币，落地后正面向上B．明天太阳从西边升起C．篮球队员在罚球线投篮次，至少投中一次D．实心铁球投入水中会沉入水底5．如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（

）

A． B． C． D．6．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（

）A． B． C． D．7．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（

）A． B． C． D．8．点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（

）A． B． C． D．9．如图，圆锥的底面半径是，母线长是．如果点是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（

）A． B． C． D．10．如图，斜边为6的直角三角板和边长为6的正方形按如图所示的方式放置，其中，在同一直线上，点重合．固定正方形，将三角板沿射线向右平移，当点与点重合时停止运动．在此过程中，设点移动的距离为，两个图形重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致为（

）A． B．C． D．二、填空题11．若关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值为．12．如图，是的直径，点，，均在上，若，则的度数为．13．小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以为顶点的抛物线一部分，鱼线长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角恰好为，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点在以为圆心，7为半径的圆周上运动，连接．（1）当动点与点距离最远时，此时线段的长度为；（2）连接，当为等腰三角形时，则点坐标为．三、解答题15．解下列方程：(1)(2)16．在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答：(1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中所扫过的面积；(2)作出关于原点对称的，并直接写出点的坐标．17．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当时，该方程的两个根分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的面积．18．某手套生产厂家一月份生产手套的产量为双，由于天气变暖，工厂决定减少手套生产产量，使三月份产量下降到双．(1)求从一月份到三月份手套的月平均下降率；(2)按照这个下降率，预计四月份产量为多少？19．年月日黄山市迎来了一场激动人心的体育盛会——黄山马拉松．当日，来自全国各地的参赛选手齐聚黄山北门、太平湖畔，通过参加比赛感受秀美黄山的自然风光、人文风情和城市魅力，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神．比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”、以及“欢乐跑”三种不同项目．甲﹑乙﹑丙三人分别各参加了其中一个项目．(1)甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是；(2)请画树状图求解“甲﹑乙﹑丙三人恰好分别参加三种不同项目”的概率．20．仔细阅读以下画图过程，并解决问题：如图1，已知及圆上一点.作法：①如图2，连接并以为边作交于点；②在圆上依次取点，点，点，点，使得；③顺次连接各点，得到六边形；④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．图1

图2

图3

解决问题：(1)若六边形的面积为，求的半径的长；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．21．某公司共有个生产车间，分别生产与两种不同的产品，其中个生产车间生产产品（其中为正整数，且），剩余的生产车间生产产品．今年每个生产产品的生产车间的平均收入（单位：万元）与车间数量（个）之间的关系如图所示．(1)求当时，关于的函数解析式；(2)若已知今年公司产品的年总收入（单位：万元）与车间数量（个）的关系为：（x为正整数且），设公司年总收入为（单位：万元），求关于的函数解析式．（注：公司年总收入=产品的年总收入产品的年总收入）(3)请问公司今年的总收入能超过万元吗？说明理由．22．下面是某数学兴趣小组对二次函数最值问题进行的探究活动：已知抛物线与直线交于点．任务一：求的值和直线的解析式；任务二：当自变量的取值范围为时，求出函数的最大值和最小值；任务三：将抛物线沿轴平移个单位长度，得到抛物线，且当自变量满足时，的最小值为，求的值．23．阅读与理解：如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且．操作与证明：（1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题：①证明：；②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；猜想与探索：（2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论．参考答案：1．A【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据定义逐一分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A．2．C【分析】根据：形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意；B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、，是二次函数，符合题意；D、，不是二次函数，不符合题意；故选C．3．C【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键掌握根与系数关系并能够熟练使用．利用根与系数之间的关系求解即可．【详解】解：设另一个根为a，由根与系数之间的关系得：，解得：．故选：C．4．D【分析】本题考查的是随机事件，不可能事件，必然事件的含义，掌握“必然事件的含义”是解本题的关键．在一定条件下，必然发生的事件是必然事件，在一定条件下，不可能发生的事件是不可能事件，在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件是随机事件，根据定义逐一分析即可．根据定义分析即可．【详解】解：抛出一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；明天太阳从西边升起，是不可能事件，故B不符合题意；篮球队员在罚球线投篮次，至少投中一次，是随机事件，故C不符合题意；实心铁球投入水中，会沉入水底，是必然事件，故D符合题意；故选：D．5．C【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解．【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，，∴方程的一个解，∴方程的解为：，即．故选：C．6．D【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，，，，故选：D．7．A【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，在中，利用勾股定理进行求解即可．掌握垂径定理，是解题的关键．【详解】解：∵直线过点，且于点，∴，连接，则，∴，在中，由勾股定理，得：，解得：；故选：A．8．B【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由A、B两点纵坐标相同，两点关于抛物线的对称轴对称，可求得对称轴为直线，显然其顶点纵坐标不可能是3，故A不符合题意，C、D两项可排除，从而可确定答案．【详解】解：∵A、B两点纵坐标相同，∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，故选项C、D可排除；∵顶点的纵坐标不可能是3，∴选项A可排除；∴顶点只可能是选项B中的坐标；故选：B．9．B【分析】此题考查了圆锥的计算；首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．【详解】解：连接，过作于，设圆锥侧面展开图的圆心角为，圆锥底面圆周长为，，则，，，，由，可求得，，，即这根绳子的最短长度是，故选：B．10．D【分析】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，分重叠部分的面积为三角形和四边形，两种情况，求出函数解析式，进行判断即可．【详解】解：当重叠的部分为三角形时，如图：由题意，得：，∴，∴，此时图象为过原点的开口向上的一段抛物线；当重叠部分为四边形时，当点在线段上时，如图：∵，，∴，，，∴，∴，∴此时函数图象是开口向下的一段抛物线；当点移动到点外侧时，如图：此时：，∵，∴，∴；此时的图象是一段开口向下的抛物线，当点移动到边上开始到点移动到点之前，重叠部分是三角形，如图：此时：，∵，∴，∴，此时是一段开口向上的抛物线；当点与重合时，；综上：满足题意的只有选项D；故选D．11．【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解及解一元二次方程；把根代入方程中即可求得k的值，但要注意二次项系数不为0．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，∴，解得：，但，即，∴；故答案为：3．12．【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先求解，再证明，再结合角的和差关系可得答案．【详解】解：∵，∴，∵是的直径，∴，∴，故答案为：13．【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，理解二次函数的性质，根据特殊角的三角函数值确定顶点坐标是解题关键．先求得，的值，确定抛物线的顶点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式．【详解】解：由题意可得，，，，在中，，，∴，∴点坐标为，设鱼竿所在抛物线的解析式为，把代入解析式，可得，解得，∴鱼竿所在抛物线的解析式为，故答案为：．14．20或或【分析】本题考查了点到圆上点的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，注意分类讨论．（1）连接，当点P在线段延长线上时，最长，由勾股定理求出的长，即可求得最大值；（2）分三种情况考虑：，易得此时点P的坐标；，过P作轴于E，过P作轴于N，连接；设，利用勾股定理建立方程即可求解；，此种情况不存在．【详解】解：（1）如图，连接，当点P在线段延长线上时，最长，此时；∵点的坐标为，点的坐标为，∴，由勾股定理得：；∵，∴；故答案为：20．（2）分三种情况：当时，如图，此时点P在y轴上，且在点A下方，∵∴点P的坐标为；当时，如图，过P作轴于E，过P作轴于N，连接；则，，∴四边形是矩形，∴；设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，∴点P的坐标为或当，的最小值为，此种情况不存在．综上，点P的坐标为或或；故答案为：或或．15．(1)(2)【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）先把左边分解因式可得，再化为两个一次方程，解方程即可；（2）先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．【详解】（1）解：∵，或，；（2）∵，或．

．16．(1)图见解析，；(2)图见解析，，【分析】本题考查了作图——旋转变换，轴对称变换，以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质和关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．（1）根据旋转的性质画出图形，再由扇形面积公式求出线段在旋转过程中所扫过的面积即可；（2）根据关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数，画出图形，再写出点的坐标即可．【详解】（1）解：如图为所求作的图形；由题意可知，，，线段在旋转过程中所扫过的面积；（2）解：如图，为所求作的图形，，故答案为：．17．(1)详见解析(2)【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）证明：，，无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）当时，原方程为，，，∴，∴

18．(1)二、三两个月手套的月平均下降率为．(2)按照这个下降率，预计四月份产量为双【分析】本题考查平均下降百分率问题，读懂题意，根据等量关系建立一元二次方程是解决问题的关键．（1）设二﹑三两个月手套的月平均下降率为，则由等量关系建立方程，解方程即可得到答案；（2）由（1）中得到的百分率，直接代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：设二﹑三两个月手套的月平均下降率为，由题意得，，解得（舍），答：二、三两个月手套的月平均下降率为．（2）解：（双）；答：按照这个下降率，预计四月份产量为双．19．(1)(2)，图见解析【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况总数即可．【详解】（1）∵比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”、以及“欢乐跑”三种不同项目，∴甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是．故答案为：；（2）如图，∵共有27种等可能发生的情况，符合题意的情况有6种，∴“甲﹑乙﹑丙三人恰好分别参加三种不同项目”的概率为：．20．(1)的半径为2(2)直线与相切，理由见解析【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定；（1）根据题意得出六边形为圆内接正六边形，过作于点，设的半径为，进而根据的面积为即个等边三角形的面积，得出的半径的长；（2）连接，证明，得出即可得证．【详解】（1）解：在中，且，

，，；又六边形为圆内接正六边形，过作于点，设的半径为，则有，，，解得．答：的半径为2．（2）直线与相切．

理由：连接．为的切线，，，

与相切．21．(1)(2)(3)公司一年的总收入不能超过万元【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，分类讨论是解答本题的关键．（1）分当时和当时两种情况求解即可；（2）设为A产品的年收入，先表示出，再根据求解即可；（3）根据一次函数和二次函数的性质，结合（2）的结论求解即可．【详解】（1）由图可知，当时，函数；

当时，令一次函数，过点，，解得，故当时，函数解析式为，函数；（2）设为A产品的年收入，，∵，；（3）不能．理由：当时，，，∴当时，，当时，，，且图象