数学-专项1 与垂线有关的计算与证明（原版）

专题1与垂线有关的计算与证明（原卷版）第一部分典例精析+变式训练类型一运用垂直的定义直接计算典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（）A．40° B．45° C．30° D．35°变式训练1．（2021春•江夏）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度数是（）A．37° B．53° C．43° D．63°典例2（2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．变式训练22．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数．

典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．变式训练1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF与∠BOF的度数．类型二运用方程思想进行计算典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．变式训练1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=13∠BOC，求∠

典例5（2021秋•泊头市期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠变式训练1．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG＝4：7，则∠DOF＝，∠DOH＝．2．（2021秋•城厢区期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．

类型三用计算的方法证明两直线垂直典例6（2022春•郾城区校级月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．试判断AB与CD有什么位置关系？并说明理由．变式训练1．（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？典例7（2019•衢江区开学）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝75°．（1）则DO⊥OE，请说明理由；（2）OE平分∠BOC吗？请说明理由．变式训练1．（蔡甸区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与AB垂直吗？为什么？

专题提优训练（2022•桐柏县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝40°，求∠AOD的度数（）A．110° B．120° C．130° D．140°第1题图第2题图第3题图2．（2022春•福清市期中）如图，点O在直线CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，则∠BOD等于（）A．25° B．65° C．75° D．90°3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝°．4．（2020春•兴国县期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．（1）求∠AOG的度数；（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．5．（2021春•双辽市期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG=13∠AOE，求∠

6．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ONCD．理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝°（）所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以+∠AOC＝90°（等量代换），即∠CON＝90°，所以（）（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．7．（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如图1：①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝°；②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是．8．如图，已知钝角∠ABC．

（1）在钝角∠ABC外，过点B作射线BE，射线BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．（2）在（1）的情况下，若∠EBD=57∠ABC，试求∠EBD和∠9．（未央区期末）如图，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．10．（2022春•大荔县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．11．（2019春•工业园区期末）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度数．12．（2022•江阴市期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∠AOD＝74°（1）求∠BOE的度数；

（2）试说明OF平分∠AOC．

13．（2022秋•滑县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．如果∠AOD＝40°，求∠POF的度数．14．（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠B