2024年高考数学优等生培优第3讲 复数的概念和性质-解析版38

第3讲复数的概念和性质通关一、复数的定义形如形如的数叫复数，其中叫复数的实部，叫复数的虚部，为虚数单位且规定.要点诠释：（1）因为实数可写成，所以实数一定是复数；（2）复数构成的集合叫复数集，记为通关二、虚数单位的周期性计算得计算得,继续计算可知具有周期性,且最小正周期为4,故有如下性质：(1);(2).通关三、复数核心运算1.运算律：1.运算律：2.模的性质:.3.重要结论：(1)(2);(3)或.结论一、复数的分类【例1】已知,若为虚数单位是实数,则（） A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】因为是实数,所以,所以.故选C.【变式】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】因为“"得或,只有,且,复数为纯虚数,否则不成立;复数为纯虚数,所以且,所以.因此,i是虚数单位,则"是“复数为纯虚数"的必要不充分条件.故选.结论二、复数相等,则,则且.【例2】若复数,则（）【答案】5【解析】因为复数,所以,解得,故.【变式】已知是虚数单位,若(,则实数的值为（） A. B. C. D.2【答案】【解析】因为,所以,即-4i, 所以,解得.故选.结论三、共轭复数与与共轭，则,（）【例3】若,则（） A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以.故选D.【变式】若复数,其中为虚数单位,则共若复数（） A. B. C. D.答案【解析】因为复数,所以.故选.结论四、复数的加法与减法及意义1.运算法则：1.运算法则：设是任意两个复数,那么(1);(2).2.几何意义:(1)复数是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数;(2)复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数.其中分别为所对应的向量.【例4】设复数满足,则_______________【答案】【解析】复数满足,所以,故.【变式】设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则（） A. B. C. D.4【答案】【解析】对应的点的坐标为,因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以关于虚轴对称的点的坐标为,则对应的复数,则.故选.结论五、复数的乘法1.运算法则：1.运算法则：设,则.2.运算率:对任意的,交换律:;结合律:;分配律:.要点许释:.【例5】（） A. B. C. D.【答案】【解析】.故选.【变式】设,且为正实数,则（）A. B.1 C.0 D. 【答案】【解析】是正实数,故.故选D.结论六、复数的除法设设,则,即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算.【例6】（） A. B. C. D.-【答案】D【解析】.故选.【变式】 A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选D.结论七、复数的模1.几何意义:1.几何意义:,即复数的模表示点与原点,的距离.特别地,时,是实数,则.2.运算法则:直接根据复数的模的公式|和性质进行计算.【例7】已知复数,则（）【答案】【解析】因为复数,所以.故答案为.【变式】已知为虚数单位,复数,则【答案】1【解析】因为为虚数单位,复数,则.故答案为.结论八、复数常见运算技巧(1)(1)(2);(3)(4);(5).【例8】已知复数，则（）.A． B． C．2 D．【答案】B【解析】故选B.【变式】设，是复数，则下列命题中的假命题是（）.A.若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A选项，若，则，所以为真命题;对于B选项，若则和互为共轭复数，所以为真命题;；对于C选项，设，若则，所以为真命题；对于D选项，若则为真，而所以为假命题.故选D.结论九、复数的几何意义在复平面内，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.【例9】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为，所以,解得.故