2024年高考数学优等生培优第14讲 复合函数与第15讲 抽象函数-原卷版 57

第14讲复合函数通关一、复合函数定义设且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量x的函数，称为是x的复合函数，记为通关二、复合函数的单调性(同增异减)对于复合函数，为内层函数，为外层函数，则复合函数的单调性符合下表：外层函数单调性内层函数单调性函数单调性增增增减减减增减减增结论一、复合函数的求值与求参1.复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.2.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值.【例1】设函数，则_______；若，则实数的值为_______.【变式】若函数，则函数的值域是————结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性1.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间.2.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调减（增）区间.【例2】函数的值域是（） A. B. C. D.【变式】如果函数在区间上的最大值14，则的值为（） A. B.1 C.3 D.或3结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性1.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间.2.若，函数的单调减（增）区间即函数的单调减（增）区间.【例3】设函数在区间上是减函数，则的最小值为（） A.2 B.1 C. D.【变式】函数的单调递增区间是（） A. B. C. D.结论四、复合函数的奇偶性（内偶则偶，内奇同外）若则奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数【例】4、若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是（） A.函数是奇函数 B.函数是奇函数 C.函数是奇函数 D.函数是奇函数【变式】已知为R上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则（） A.函数为偶函数 B.函数为奇函数 C.函数为偶函数 D.函数为奇函数结论五、复合函数的零点关于的方程根的个数，令，1.作出的图像；2.解方程，求出对应的解；3.结合的值和的图像，令，将所求的个数汇总后即为的根的个数.【例5】已知函数，则函数的零点个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5【变式】函数的图像如图所示，则方程的实数根的个数为（） A.3 B.6 C.9 D.12第15讲抽象函数通关一、抽象函数模型抽象模型原函数通关二、抽象函数的单调性抽象函数单调性的判断,关键是根据题目所给的性质和符号条件,构造相应的关于的函数值,从而比较出与的大小,同时还要注意,等变形技巧.通关三、抽象函数的奇偶性抽象函数奇偶性的判断往往借助于赋值法和定义,对于已给恒等式中出现的两个或两个以上的变量,利用赋值的方法将其替换成都出现的形式,在恒等式中仅有这两种形式或是具体函数值的形式,而不会出现新的函数结构.通关四、抽象函数的注意事项解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“".注意定义域优先原则,赋值法（常量赋值和变量赋值,换元法.结论一、型已知函数对任意实数都有,且当时,.求在上的值域.【变式】函数对任意的实数有,且当时,有.(1)求证:在上为增函数；(2)若,解不等式.结论二、型【例】2已知函数的定义域是,当时,,且.(1)求的值；(2)证明:在定义域上是增函数.【变式】的定义域为,且对一切都有,当时,有.求的值；(2)判断的单调性并证明；(3)若,解不等式.结论三、型【例3】设函数定义在上,当时,,且对任意,有,当时,.(1)证明：；(2)证明：在上是增函数.【变式】已知对一切,满足,且当时,.求证：时,在上为减函数.结论四、型【例4】给出四