7.3 三角函数的图像和性质 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

高中数学苏教版必修第一册第7章三角函数7.3三角函数的图像和性质第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质课标阐释思维脉络1.能利用单位圆和三角函数的定义画y=sinx,y=cosx的图象.(数学抽象、直观想象)2.掌握“五点法”画正弦曲线与余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦图象.(直观想象)3.初步掌握正弦、余弦函数的基本性质,并理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(数学运算、逻辑推理)情境导入将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.知识点拨一、“五点”法作图及正弦函数、余弦函数的图象

函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx图象图象画法“五点法”关键五点(0,0),,(π,0),,(2π,0)(0,1),,(π,-1),,(2π,1)微判断(1)函数y=sinx与y=cos(+x)的图象完全相同.(

)(2)直线y=与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象有两个交点.(

)答案

(1)×

(2)√微练习

函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(

)答案

B解析

y=sin(-x)=-sin

x,故图象与y=sin

x的图象关于x轴对称,故选B.二、正弦函数、余弦函数的性质

函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期性2π2π单调性在每一个闭区间

[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上都是增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上都是减函数,其值由1减小到-1在每一个闭区间

[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上都是减函数,其值由1减小到-1函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx最值当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时,取得最小值-1当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1奇偶性奇函数偶函数对称轴x=kπ+,k∈Zx=kπ,k∈Z对称中心(kπ,0),k∈Z,k∈Z名师点析

(1)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.(2)正弦曲线有无数个对称中心,它们为点(kπ,0)(k∈Z);也有无数条轴对称图形,其对称轴的方程为x=kπ+(k∈Z).(3)余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称中心的坐标为

(k∈Z),对称轴方程为x=kπ(k∈Z).微判断(1)函数y=sinx的图象向右平移

个单位得到函数y=cosx的图象.(

)(2)存在实数x,使得cosx=.(

)(3)函数y=sinx,x∈(0,π)是奇函数.(

)(4)函数y=sinx的增区间恰好是y=sin(-x)的减区间.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)×(4)√微练习

1答案

A微练习

2函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是(

)A.-1

B.1C.-

D.-5答案

C探究一用“五点法”作函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图:(1)y=+sinx,x∈[0,2π];(2)y=1-cosx,x∈[0,2π].解

(1)选用“五点法”画一个周期的图象,列表:描点画图,然后由周期性得整个图象.(2)选用“五点法”画一个周期的图象,列表:描点画图,然后由周期性得出整个图象.反思感悟用“五点法”画函数y=Asin

x+b(A≠0)(或y=Acos

x+b(A≠0))在区间[0,2π]上的简图的步骤(1)列表:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.变式训练1函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的简图是(

)答案

A解析

列表:观察各图象发现A项符合.探究二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=sin(cosx).(2)函数的定义域为R,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos

x)=f(x),所以函数f(x)=sin(cos

x)是偶函数.反思感悟利用定义判断函数奇偶性的三个步骤

若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(-x)与f(x)有何关系,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;(2)f(x)=cos(2π-x)-x3sinx.解

(1)函数的定义域为R,又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,因为f(x)=cos

x-x3sin

x,所以f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos

x-x3sin

x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.探究三正弦函数、余弦函数的单调性例3求下列函数的减区间:反思感悟求正弦、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin

z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.变式训练3已知函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象过(π,-1)点,且在区间

上为增函数,则ω的值为

.

例4比较下列各组数的大小:(1)sin250°与sin260°;解

(1)∵函数y=sin

x在90°到270°上是减函数,且90°<250°<260°<270°,∴sin

250°>sin

260°.反思感悟比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.变式训练4比较下列各组数的大小.(2)∵sin

194°=sin(90°+104°)=cos

104°,而0°<104°<160°<180°,且y=cos

x在[0,π]上是减函数.∴cos

104°>cos

160°,即sin

194°>cos

160°.探究四三角函数的最值例5求下列函数的最值.反思感悟与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.4.求形如y=,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.素养形成利用数形结合思想解决解的个数问题典例

方程lgx=sinx的解的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin

x和y=lg

x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.解析

在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lg

x与y=sin

x的图象,如图

无交点.如图所示,由图知有三个交点,故方程有三个解.答案

D方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.变式训练(1)方程2x=cosx的解的个数为(

)A.0 B.1C.2 D.无穷多个(2)在区间(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是(

)答案

(1)D

(2)C解析

(1)画出函数y=2x和y=cos

x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.(2)在同一坐标系中画出函数y=sin

x,x∈(0,2π),y=cos

x,x∈(0,2π)的图象,当堂检测1.用“五点法”作函数y=cos2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是(

)答案

B答案

B3.函数y=cos2x在下列哪个区间上是减函数(

)答案

C解析

若函数y=cos

2x是减函数,应有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,即kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,可得0≤x≤.答案

B5.下列关系式中正确的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°答案

C解析

∵sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°,cos

10°=sin(90°-10°)=sin

80°.由正弦函数的单调性得sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.高中数学苏教版必修第一册第7章三角函数7.3.2三角函数的图像与性质第2课时正切函数的图象与性质课标阐释思维脉络1.能借助单位圆中的正切线画出y=tanx的图象.(直观想象)2.掌握正切函数y=tanx的性质,并能运用性质解决问题.(数学抽象、逻辑推理)情境导入正弦、余弦函数的图象可以通过平移实现相互转化,请根据同角三角函数关系思考,正切函数的图象可以由正弦、余弦函数图象平移得到吗?知识点拨函数y=tan

x的图象与性质

解析式y=tanx图象微判断(1)正切函数的定义域和值域都是R.(

)(2)正切函数在整个定义域上是增函数.(

)(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.(

)(4)正切函数没有对称轴,但有对称中心.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√微练习

1tanx≥1的解集为(

)答案

D微练习

2答案

C探究一正切函数的定义域和值域例1求下列函数的定义域:反思感悟1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan

x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解.(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.2.与正切函数有关的求解值域的方法为换元法和正切函数图象的运用.答案

(-∞,-1]∪[1,+∞)探究二与正切函数有关的周期性、奇偶性、对称性问题例3关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:①对任意的φ,f(x)既不是奇函数也不是偶函数;③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.其中正确的说法的序号是

.

答案

②③④

反思感悟正切型函数y=Atan(ωx+φ)的周期性、奇偶性、对称性

变式训练2关于函数f(x)=-tan2x,有下列说法:A.①②③ B.②④⑤C.②④

D.③④⑤答案

C探究三正切函数的单调性及应用反思感悟1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tan

x