陕西省西安重点中学2024届高三模拟考试（一）数学（理科）试题（含答案）

西安重点中学高2024届高三模拟考试（一）数学（理科）（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．C．D．3．中，为线段中点，若，则的值为（）A．B．C．D．4．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长．现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（）（参考数据：）A．秒B．秒C．秒D．秒5．已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（）A．B．C．D．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）①若，则②若，那么③若，则④若，则A．②④B．①②C．②③D．③④7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若且，则（）A．B．C．2D．8．若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为（）A．8B．28C．56D．709．函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（）A．B．C．3D．10．已知，若，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．若函数有两个不同的极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知数据的平均数为15，则其方差为___________．14．函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则___________．15．在中，，点在线段上，且满足，，则等于___________．16．如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，分别为的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，折起，使重合于点，则四棱锥的高为___________，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为___________．三、解答题（本大题共7小题，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题（共60分）17．（12分）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．（1）求数列和数列的通项公式；（2）若求数列的前项和．18．（12分）某班组织投篮比赛，比赛分为两个项目．比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．已知选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是0.5．（1）求选手甲参加项目合格的概率；（2）已知选手甲参加项目合格的概率为0.6．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由．19．（12分）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．（1）求证：；（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．21．（12分）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线的标准方程．（2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围．（二）选考题（共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．）22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，且与交于点与交于点（与点不重合），求面积的最大值．23．（10分）已知，函数，不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）若的最小值为，求证：．参考答案一、选择题：123456789101112ABCBBADCACDB二、填空题：13．14．15．16．三、解答题：17．解：（1）依题意可得，①，当时，②，①-②，，且在①式中令或（舍去），，综上可得．（2）由（1）可得，．18．解：（1）由题意得选手甲参加A项目合格的概率为．（2）选手甲应选择先进行项目，理由如下：由题意，若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为0，5，10，则，所以累计得分的期望；若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为0，5，10，则，所以累计得分的期望，所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行项目比赛．19．（1）证明：在三棱柱中，由平面平面，得，在平面内过作于，由平面平面，平面I平面，得平面，而平面，则有，显然平面，因此平面，又平面，所以．（2）过点作，由，得，由（1）知平面平面，则，即直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，，假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，令，则，设平面的一个法向量，则，令，得，显然平面的一个法向量，依题意，，解得，即，所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为．20．解：（1），，曲线在点处的切线方程为，即．（2）对任意的恒成立，，令，则函数在上单调递增，．在唯一，使得，即，且当时，，即；当时，，即．所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则在上单调递增，所以，满足条件的实数的最小整数值为．21．解：（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为．由抛物线的定义，得，解得，当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为．（2）设，由题意可知，的斜率存在且均不为0，设直线的方程为，将其代入，得，则有．同理可得：设直线的方程为，则．所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，又易知，所以的取值范围为．22．解：（1）直线的参数方程为（为参数，），故，则，即；故的极坐标方程为：．把绕坐标原点逆时针旋转得到，故的极坐标方程为：．（2）曲线的极坐标方程为，且与交于点与交于点，