新教材2023版高中数学第3章概率3.2离散型随机变量及其分布列3.2.3离散型随机变量的数学期望学生用书湘教版选择性必修第二册

3．2.3离散型随机变量的数学期望新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一离散型随机变量的数学期望(均值)一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝______________为X的数学期望或均值❶.批注❶(1)离散型随机变量的数学期望(均值)刻画了离散型随机变量的平均水平．(2)数学期望(均值)是一个常数，在大量实验下，它总是稳定的，不具有随机性．要点二几类特殊分布的均值类别数学期望(均值)两点分布X～B(1，p)E(X)＝________二项分布X～B(n，p)E(X)＝________超几何分布X～H(N，M，n)E(X)＝________要点三离散型随机变量的数学期望的性质对于离散型随机变量X，若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b❷.批注❷当a＝0时，E(b)＝b，也就是说常数的数学期望是这个常数的本身；当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b；当b＝0时，E(aX)＝aE(X)．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．()(3)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.()2．若随机变量X的分布列为X－101p111则E(X)＝()A.0B．－1C.－16D．－3．若随机变量X～B(6，12)，则数学期望E(X)＝(A.6B．3C.32D．4．已知随机变量ξ的期望为15，则E(3ξ＋5)＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性离散型随机变量的期望例1甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是23，乙获胜概率是13.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求方法归纳求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤巩固训练1为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的，(小李上下班各计一次单程)．(1)求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；(2)求X的分布和数学期望E(X)．几个常用分布的数学期望例2某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．求乙正确完成面试题数η方法归纳求二项分布与超几何分布的数学期望的方法巩固训练2一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为________．离散型随机变量数学期望的性质例3某城市出租车的起步价为10元，即行驶路程不超出4km时，费用为10元；若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km，某司机经常驾车在民航机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5min按1km路程计费，不足5min的部分不计费)，这个司机在一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量，设他所收费用η.(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；(2)若随机变量ξ的分布列为ξ15161718P0.10.50.30.1求所收费用η的数学期望．方法归纳利用离散型随机变量的性质求数学期望的策略1．若题目给出随机变量Y与X的关系Y＝aX＋b，a，b为常数，直接利用E(Y)＝aE(X)＋b求解2．若题目未给出随机变量Y与X的关系，可根据题意列出Y与X的关系Y＝aX＋b，再利用E(Y)＝aE(X)＋b求解巩固训练3已知随机变量X的分布列为X－2－1012P11111若Y＝2X－3，求E(Y)．3.2.3离散型随机变量的数学期望新知初探·课前预习[教材要点]要点一x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn要点二pnpnM[基础自测]1．(1)×(2)×(3)×2．解析：E(X)＝(－1)×12＋0×16＋1×13答案：C3．解析：随机变量X～B(6，12)，则数学期望E(X)＝6×12答案：B4．解析：因为随机变量ξ的期望为15，所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.答案：50题型探究·课堂解透例1解析：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5，P(X＝2)＝23×2P(X＝3)＝13×2P(X＝4)＝23×1P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881所以X的分布列为X2345P52108数学期望E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×8巩固训练1解析：(1)在一个工作日内上下班出行费用为4元，即乘坐公共交通和骑共享单车各一次，故其概率为P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48.(2)依题意，X可能的取值是2，4，6，P(X＝2)＝0.6×0.6＝0.36；P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48；P(X＝6)＝0.4×0.4＝0.16.因此X的分布列为X246P0.360.480.16由此可知，X的数学期望为E(X)＝2×0.36＋4×0.48＋6×0.16＝3.6.例2解析：设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是{0，1，2，3}．P(η＝0)＝C30×(13)3P(η＝1)＝C31×(23)1×(13)P(η＝2)＝C32×(23)2×(13P(η＝3)＝C33×(23)3应聘者乙正确完成题数η的分布列为η0123P16128方法一∴E(η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×方法二∵η～B(3，23∴E(η)＝3×23＝巩固训练2解析：方法一由题知，ξ的所有取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝C43C63＝15，P(ξ＝1)＝C21C42所以随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×1方法二由题意知ξ～H(6，2，3)，所以E(ξ)＝3×2答案：1例3解析：(1)由题意，得η＝10＋2(ξ－4)，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.因为η＝