新教材2023版高中数学第3章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程学生用书湘教版选择性必修第一册

3.4曲线与方程最新课程标准(1)了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．(2)理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(3)掌握求轨迹方程的方法．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一曲线的方程与方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解❶；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点❷.此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．要点二坐标法确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质．我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想．批注❶阐明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性、不杂)；批注❷阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性、不漏).基础自测1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．()(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．()(3)方程y＝1x与方程y＝1x(x>0)是同一条曲线的方程．(2．方程y＝9-x2表示的曲线是A．一条直线B．圆C．半圆D．不表示任何图形3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上4．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为()A.x＋y＝4B．x－y＝4C．|x＋y|＝4D．|x|＋|y|＝45．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1曲线与方程的概念例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上方法归纳1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．巩固训练1已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0题型2用直接法求曲线方程例2已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且PM·PF＝0，延长MP到点N，使得|PM|＝|PN|，求点N的轨迹方程．方法归纳用直接法求轨迹方程的一般步骤巩固训练2已知点C(4，0)，A(－4，0)，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为14，求动点P题型3代入法求轨迹方程例3已知三角形ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，求三角形ABC的重心的轨迹方程．方法归纳用代入法求轨迹方程的一般步骤巩固训练3已知DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且DPDM＝12，当点P在圆x2＋y2＝4上运动时，求点3．3.2抛物线的简单几何性质新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)．答案：A3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.答案：D4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．答案：B5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.答案：6题型探究·课堂解透例1解析：方法一由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－p2)因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，所以m2=6p所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.方法二设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－p2)，准线l：y＝p2，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，所以3＋p2＝5又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±26.所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.巩固训练1解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(±32，12)(取点A在则有14＝±32a，解得a＝±所以抛物线方程为y2＝±36x答案：C例2解析：由y=kx+1，y2=4x，得k2x2＋(2k－4)x＋当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝14，此时y＝∴直线l与C只有一个公共点(14，1)，此时直线l平行于x当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，其中Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述：(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．巩固训练2解析：经验证点M(3，2)在抛物线开口内部，结合函数图象，可知过点M(3，2)与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M平行与x轴的直线，即y＝2.答案：B例3解析：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－p2由|PF|＝2得：1＋p2＝2，得p＝所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=kx-1，y2=4x⇒k2x2－(2k2＋4)Δ＝16k2＋16＞0.∴x1＋x2＝2k∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2+4k2解得：k＝±1，所以k的值为1或－1.巩固训练3解析：(1)由题设，F(1，0)，则直线l为y＝x－1，联立抛物线得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，则|yA－yB|2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，∴|AB|＝1+1k2·|yA－yB(2)∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(12，0)所以p＝1，抛物线方程为y2＝2x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，|AB|＝x1＋x2＋p，所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝x1+x答案：(1)B(2)A3．4曲线与方程新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：方程两边平方得方程x2＋y2＝9(y≥0)．答案：C3．解析：将点M的坐标代入直线l、曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．答案：B4．解析：点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为|x|和|y|，|x|＋|y|＝4.答案：D5．解析：设M(x，y)，∵点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，∴x-02+y+22＝|根据平面几何知识得：y＜3，原方程化为x-02+y+2两边平方，得x2＋(y＋2)2＝(2－y)2，整理得x2＝－8y，即点M的轨迹方程是x2＝－8y.答案：x2＝－8y题型探究·课堂解透例1解析：根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错，如曲线y＝1-x2表示的半圆的点的坐标都是方程x2＋y2答案：B巩固训练1解析：根据曲线的方程的定义知选C.答案：C例2解析：由|PM|＝|PN|，则P为MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，P(0，y2)由PM·PF＝0，得(－x，－y2)·(1，－y2)＝所以(－x)·1＋(－y2)·(－y2)＝0，则y2＝4即点N的轨迹方程是y2＝4x.巩固训练2解析：设P(x，y)，由题意得，yx+4×yx-4＝化简得，P的轨迹方程为x216-y24＝1(x≠±4)，所以P的轨迹是除去(－4，例3解析：设△ABC的重心G(x，y)，点C(x′，y′)，则有x=-3+3+x因为点C在曲线上y2＝6x上，所以有(3y)2＝6×3x，即y2＝2x，因为三角形的三