新教材2023版高中数学第三章空间向量与立体几何章末质量检测北师大版选择性必修第一册

章末质量检测(三)空间向量与立体几何一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知空间向量a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，则λ＋μ＝()A．3B．－3C．5D．－52．在三棱锥A­BCD中，E是棱CD的中点，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))3．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c4．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列选项中与向量eq\o(MC1,\s\up6(→))相等的是()A．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cD.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c5．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于()A．2B．0C．1D．无意义6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是CC1，D1B1的中点，则EF与AB1所成角的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝eq\r(6)，则AA1与平面AB1C1所成的角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，则下列四式中其中正确的有()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))C.eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))10．以下四个命题中，其中正确的是()A．已知e1和e2是两个互相垂直的单位向量，a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，且a⊥b，则实数k＝6B．已知正四面体O­ABC的棱长为1，则(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝1C．已知A(1,1,0)，B(0,3,0)，C(2,2,3)，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上正投影的数量是eq\f(\r(5),5)D．已知a＝e1－2e2＋e3，b＝－e1＋3e2＋2e3，c＝－3e1＋7e2({e1，e2，e3}为空间向量的一个基)，则向量a，b，c不可能共面11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2B.eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是()A．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线B．当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1D．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝________.14．已知a＝(x，－3,4)，b＝(－2，y，－8)，且a∥b则|a|＝________.15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝eq\r(5)，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．16．如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．18．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为直角梯形，DE∥CF，∠EDC＝90°，四边形ABCD为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AD＝DE＝2，CD＝CF＝4，点P为CF的中点，点Q为BE的中点．(1)求证：DQ⊥BP；(2)求二面角Q－AD－B的余弦值．19．(本小题满分12分)四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点D到平面PFB的距离．20．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF＝2BE＝2.(1)求直线AD和平面AEF所成角的大小；(2)求二面角E－AF－D的平面角的大小．21．(本小题满分12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求eq\f(BD,BC1)的值．章末质量检测(三)空间向量与立体几何1．解析：因为a∥b，所以eq\f(λ＋1,6)＝eq\f(1,μ－1)＝eq\f(λ,4)，所以4λ＋4＝6λ，所以λ＝2，所以eq\f(1,μ－1)＝eq\f(1,2)，所以μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C.答案：C2．解析：因为E是棱CD的中点，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选D.答案：D3．解析：对于A，因为2a＝eq\f(4,3)(a－b)＋eq\f(2,3)(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基，A不正确；对于B，因为2b＝eq\f(4,3)(b－a)＋eq\f(2,3)(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基，B不正确；对于C，因为找不到实数λ，μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基，C正确；对于D，因为c＝eq\f(1,2)(a＋c)－eq\f(1,2)(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基，D不正确．故选C.答案：C4．解析：如图所示，∵MC1＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋CC1，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，CC1＝c，∴MC1＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋CC1＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋CC1＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，故选B.答案：B5．解析：由题得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1，－2)，又a为平面ABCD的法向量，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up6(→))＝0,a·\o(AC,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋y＝0,1－y－2z＝0))，则y＝1，那么y2＝1.故选C.答案：C6．答案：C7．答案：B8．答案：A9．答案：ABC10．解析：A中，∵a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，且a⊥b，∴a·b＝(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝2keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋(3k－8)e1·e2－12eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2k－12＝0，解得k＝6，所以A正确．B中，(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＋1×1×cos90°＋1×1×cos90°＋1×1×cos60°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，所以B正确．C中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，2，0)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上正投影＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1×（－1）＋1×2＋3×0,\r(（－1）2＋22＋02))＝eq\f(\r(5),5)，所以C正确．D中，假设向量a，b，c共面，则a＝xb＋yc，所以e1－2e2＋e3＝x(－e1＋3e2＋2e3)＋y(－3e1＋7e2)，e1－2e2＋e3＝(－x－3y)e1＋(3x＋7y)e2＋2xe3，所以1＝－x－3y，－2＝3x＋7y，1＝2x，得x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，所以向量a，b，c共面，所以D不正确．故选ABC.答案：ABC11．解析：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝AA1·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，(AA1＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝AA12＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2AA1·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋3×2×eq\f(1,2)＝6而2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2(1＋1＋2×eq\f(1,2))＝2×3＝6，所以A正确．AC1·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(AA1＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))－AA1·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))2＝0，所以B正确．向量B1C＝A1D，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.所以向量A1D与AA1的夹角是120°，向量B1C与AA1的夹角是120°，则C不正确．又BD1＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))则|BD1|＝eq\r(（\o(AD,\s\up6(→))＋AA1－\o(AB,\s\up6(→))）2)＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2)＝eq\r(3)BD1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝1所以cos〈BD1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(BD1·\o(AC,\s\up6(→)),|BD1|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以D不正确．故选AB.答案：AB12．答案：ACD13．解析：直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，CC1＝c，BA1＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋AA1＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋CC1＝a－b＋c故答案为a－b＋c.答案：a－b＋c14．解析：因为a∥b，所以存在λ使得b＝λa⇒(－2，y，－8)＝λ(x，－3，4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝λx，,y＝－3λ，,－8＝4λ，))解得：λ＝－2，x＝1，所以a＝(1，－3，4)⇒|a|＝eq\r(1＋9＋16)＝eq\r(26).故答案为eq\r(26).答案：eq\r(26)15．答案：eq\f(8\r(85),85)16．答案：eq\r(3)－1eq\f(2,3)17．证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，又eq\f(－2,4)＝eq\f(3,－6)＝eq\f(－3,6)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))共线，即AB∥CD.因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，又eq\f(0,－2)≠eq\f(－4,－1)≠eq\f(1,－2)，所以AD与BC不平行，所以四边形ABCD为梯形．18．解析：(1)证明：∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，∠EDC＝90°，DE⊂平面CDEF，∴DE⊥平面ABCD；又AD⊥CD，如图，以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，Q(1，2，1)，P(0，4，2)，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝(1，2，1)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2，0，2)∴eq\o(DQ,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝1×(－2)＋2×0＋1×2＝0，∴DQ⊥BP.(2)设平面ADQ的一个法向量m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DA,\s\up6(→))＝0，,m·\o(DQ,\s\up6(→))＝0，))所以，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝0，,x＋2y＋z＝0，))令y＝－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝－1，,z＝2))则m＝(0，－1，2)又DE⊥平面ABCD，故取平面ABCD的一个法向量n＝(0，0，1)∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(2,1×\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)∴由图可知，二面角Q­AD­B的余弦值为eq\f(2\r(5),5).19．解析：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1).则eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))∥平面PFB.又∵D不在平面PFB内，∴DE∥平面PFB.(2)设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(FP,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1，∴n＝(2，－1，1)，又eq\o(FD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，∴点D到平面PFB的距离d＝eq\f(|\o(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).20．解析：(1)因为BE∥FD，所以B，E，F，D四点共面，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz如图所示，则A(eq\r(3)，0，0)，F(0，－1，2)，E(0，1，1)，D(0，－1，0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1，1)，设m＝(x1，y1，z1)为平面AEF的一个法向量，则有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))·m＝0,\o(AE,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x1－y1＋2z1＝0,－\r(3)x1＋y1＋z1＝0))，令y1＝1可得，m＝(eq\r(3)，1，2)设直线AD和平面AEF所成角为θ，则sinθ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·