新教材2023版高中数学第五章计数原理2排列问题2.1排列与排列数学生用书北师大版选择性必修第一册

2．1排列与排列数[教材要点]要点一排列的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，并按照________________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．状元随笔(1)排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．(2)一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．(3)从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的顺序不同的排列，都不是同一个排列．(4)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．要点二排列数的概念把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有________________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作________．状元随笔“排列数”与“排列”的区别“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．()(4)A52表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．(2．[多选题]下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数3．A62＝(A．30B．24C．20D．154．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．题型一排列的概念例1判断下列问题是不是排列问题：(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？(3)有12个车站，共需准备多少种车票？(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？方法归纳判断一个具体问题是不是排列问题，就是从n个不同元素中取出m个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．跟踪训练1(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛．(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛．(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛．在上述三个问题中，是排列问题的是________．题型二简单的排列问题例2(1)某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是()A．24B．22C．20D．12(2)写出下列问题的所有排列：①从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数．②由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出．方法归纳利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪训练2(1)若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是()A．12条B．9条C．8条D．4条(2)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．易错辨析混淆排列问题和分步问题例36个人走进只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有________种不同的坐法．解析：坐在椅子上的3个人是走进屋子的6个人中的任意3个人，若把人看成元素，将3把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从6个元素中取3个元素占据3个不同的位置，显然是从6个元素中任取3个元素的排列问题，从而，不同的坐法共有：6×5×4＝120(种).答案：120【易错警示】易错原因纠错心得本题容易错认为不是排列问题，得到错解：6个人坐3把不同的椅子，相当于从含6个元素的集合到含3个元素的集合的映射，故有36种不同的坐法．排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素是可以重复选取的．[课堂十分钟]1．[多选题]从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列问题中是排列问题的是()A．相加可得多少个不同的和？B．相除可得多少个不同的商？C．作为椭圆x2a2＋y2b2＝1中的D．作为双曲线x2a2－y2b2＝1中的2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有()A．3种B．4种C．6种D．12种3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为()A．5B．10C．20D．604．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是______________________________________________________________________________________________________________.5．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．2．1排列与排列数新知初探·课前预习要点一一定的顺序要点二不同排列的个数A[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．故选AD.答案：AD3．解析：A62＝6！4！＝6×答案：A4．解析：12，13，21，23，31，32共6个．答案：6题型探究·课堂解透例1解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长人选，与顺序有关，所以是排列问题．(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关．(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关．(4)不是．只是选出3个座位，与顺序无关．跟踪训练1解析：对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．答案：(1)例2解析：(1)分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共6种排法，所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．故选D.(2)①所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数．②画出树形图，如图所示．由上面的树形图可知，所有的四位数为：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，共24个四位数．答案：(1)D(2)见解析跟踪训练2解析：(1)画树形图如下：故共有12条．故选A.(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213,230,231,301,302,310,312,320,321.答案：(1)A(2)见解析[课堂十分钟]1．解析：A中，∵加法满足交换律，∴A不是排列问题；B中，∵除法不满足交换律，如53≠35，∴B是排列问题；若方程x2a2+y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定；在双曲线x2a2-y2b2答案：BD2．解析：由排列定义得，共有A33＝答案：C3．解析：此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有5×4＝20(种)不同的送书方法.答案：C4．解析：画出树