河北省金科大联考2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1河北省金科大联考2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中，，公差，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故选：D．2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线的方程为知，双曲线焦点在轴，且，又焦点在轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为.故选：C.3.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由直线经过两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C.4.在等差数列中，，则的值为（）A.20 B.15 C.10 D.5〖答案〗A〖解析〗在等差数列中，，则，因此．故选：A．5.已知四面体是的重心，若，则（）A.4 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点，所以，又，可得，所以.故选：B.6.已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的圆心为，半径为，过点作，垂足为，如图，由，可得，则，所以，可得，因为直线可化为，所以，可得.故选：C.7.已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗根据等差数列性质可得，则，当且仅当，即，时，取“”号．故选：C．8.已知抛物线为坐标原点，在抛物线上存在两点（异于原点），直线的斜率分别为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点的坐标分别为且，又两点都在C上，，则，，由，有，可得，有.故选:B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列1，，，，…，，…，则下列说法正确的是（）A.是它的第3项 B.是它的第4项C.是它的第9项 D.是它的第16项〖答案〗CD〖解析〗当时，，C正确，A错误；当时，，故D正确，B错误．故选：CD．10.如图所示，四边形为正方形，平面平面为的中点，，且，则下列结论正确的是（）A.B.直线到平面的距离为C.异面直线与所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为〖答案〗ACD〖解析〗由题四边形为正方形，平面平面为的中点，，且，所以，，故A正确；易知平面平面，所以平面，由，可知平面，所以直线到平面的距离为，即错误；异面直线与所成角即与所成角，因此余弦值为，故正确；易知平面，即，故与平面所成角的正弦值为，故正确.故选：ACD.11.已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（）A.数列是递增数列 B.是数列中的最小项C.和是中最小项 D.满足的的最大值为25〖答案〗AC〖解析〗对于A：因为，所以，即，因为，所以，数列是递增数列，A正确；对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误；对于C：因为，，所以当或时，取最小值，C正确；对于D：由不等式，可得，又因为，所以满足的的最大值为24，D错误．故选：AC．12.已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（）A.双曲线的标准方程为B.若直线的斜率为2，则C.若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点D.直线过定点〖答案〗ABD〖解析〗设等轴双曲线的标准方程为，由双曲线的实轴长为，可得，所以双曲线的标准方程为，故A选项正确；由上知，设直线的方程为两点的坐标分别为，联立方程，消去后整理为，所以，，所以，故B选项正确；由点依次从左到右排列知，所以，故不存在直线使得为线段的中点，故C选项错误；设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，所以，，点坐标为，直线斜率为，直线斜率为，若直线过定点，则，即.而恒成立，所以直线过定点，故D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列的通项公式是，则是该数列中的第________项．〖答案〗〖解析〗根据题意，得，解得，所以7是该数列中的第项．故〖答案〗为：14.若空间向量，，共面，则实数__________.〖答案〗1〖解析〗由题可知，故，所以，解得.故〖答案〗为：15.已知，，且（n为正整数），则________．〖答案〗1〖解析〗因为，，且，所以，，，，，，…，所以是以6为周期的数列，因为，所以．故〖答案〗为：.16.已知点是椭圆上异于上下顶点的任意一点，为坐标原点，过点作圆的切线，切点分别为，若存在点使得，则椭圆离心率的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗当时，由于切点，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，设，，则，因为，，所以，故，因此，即，，又离心率，解出.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知点，直线.（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）设经过点且与直线平行的直线方程为，将代入得，所以所求直线方程为；（2）直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为-2，所以经过点且与直线垂直的直线方程为，即.18.记为等差数列前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前20项和．解：（1）设公差为d，由题设有，解得，，所以；（2）由，则，因此，所以数列的前20项和为．19.已知点是双曲线上任意一点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）已知点，求的最小值.解：（1）由已知可得，所以双曲线的渐近线方程为，点到直线，即直线的距离，点到直线，即直线的距离，所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为，又在双曲线上，所以，所以，所以是一个常数；（2）因为，所以，解得或，所以，当时，的最小值为，所以的最小值为.20.设为等差数列的前n项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）是等差数列，设公差为，，；（2）由（1）得，则，．21.如图，在四棱锥中，平面为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且与底面所成角为.（1）求证：为线段的中点；（2）求平面与平面的夹角的正弦值.解：（1）因为平面平面，所以，又，且，面，所以平面，所以为与平面所成的角，由，有，所以为中点，因为平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以，所以为线段的中点；（2）由（1）知两两垂直，如图所示，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得到，由，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为，所以平面与平面的夹角的正弦值为.22.已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆的标准方程；（2）