湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知，那么（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，，所以.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知命题“”的否定是，故A正确.故选：A.3.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为.故选：D.4.三个数，，的大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数中，所以函数在上单调递增，则；函数中，所以函数在上单调递减，则；函数在上单调递增，则；所以.故选：B.5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得或，令，得，故排除CD；又当时，，故排除B.故选：A.6.已知角的终边在直线上，则（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗直线过第一象限和第三象限，若终边在第一象限，可取终边上一点，则，若终边在第三象限，可取终边上一点，则，故.故选：A.7.用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（）A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C.没有达到精确度的要求，应该接着计算D.没有达到精确度的要求，应该接着计算〖答案〗C〖解析〗由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.故选：C.8.已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，函数的增区间为，且，解得，由题意可知：，于是，解得，又，于是.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.如果，，那么B.如果，那么C.若，，则D.如果，，，那么〖答案〗AD〖解析〗选项A：，．，．A正确；选项B：，，，，，，即，B错误；选项C：若，，则，则，C错误；选项D：，，又，，，又，，D正确.故选：AD.10.下列各项不正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，当时，，当时，，故A错误；对于B，由对数的运算性质可知B错误；对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABC.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，故选项A正确；对于B，，且，则，所以，故选项B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故选项C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故选项D错误.故选：ABC.12.已知函数，且函数的图像如图所示，则（）A.B若，则C.已知，若为偶函数，则D.若在上有两个零点，则的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗由题意得，，又由，可得，又，所以，故选项A正确；若，则，故选项B错误；若为偶函数，则，即，故选项C正确；令，则，即在上有两个零点，，解得：，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简：__________.〖答案〗〖解析〗原式.故〖答案〗为：.14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由图得，等腰直角三角形，，解得，.故〖答案〗为：15.函数的零点个数为__________.〖答案〗4〖解析〗函数的零点个数转化为：与两个函数图象的交点个数，作出图象：由图可知，两个函数图象有四个交点，所以函数有4个零点.故〖答案〗为：4.16.已知函数，若，则实数的取值范围为__________________.〖答案〗〖解析〗，令，由于，所以的定义域为，又，所以是奇函数，当时，为增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增，则，于是，解得，即实数a的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求实数的值；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）由可得，即，若，则，解得.（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可知，则有：①，解得；②当时，即时，，不符合题意；③当时，即时，，符合题意；综上所述：实数的取值范围.18.已知.（1）若不等式的解集是，求实数的值；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意可知，和3是方程的两根，且，所以，解得.（2）由题可得，即对一切实数恒成立，当时，不等式化为，不符合题意；当时，有解得，综上可知，实数的取值范围为.19.已知，且均为锐角.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由，可得，解得.（2）.（3），因为，所以，又因为均为锐角，所以，而，所以，故，所以，所以.20.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.（1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值；（2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？解：（1）由题意可得：，解得，所以.（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼耗氧量为，则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为，因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则，化简得，则，即，可得，所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.21.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间的最大值和最小值；（3）荐在区间上恰有两个零点，求的值.解：（1），由，可得，即的单调递减区间为.（2）因为，所以，所以，所以，当时，即时，，当时，即时，.（3）因为，所以，同理，由题意可得，，即，所以，所以，即可得，因为，所以，所以，所以，因为，可设，则，所以，因为，且，所以，所以.22.已知，，且为偶函数.（1）求实数的值；（2）若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.解：（1）由，可知，又为偶函数，所以有，即，化简得，即，所以，得，经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数，故所求的值为2.（2）由（1）可知，即方程有且只有一个实数解，显然，所以上述方程可化为，即方程有且只有一个实数