江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求，1.本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.2.答题前，请务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔将答题卡上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确填涂.3.所有试题的〖答案〗全部在答题卡上作答，考试结束后，只要将答题卡交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则且，解得.故选：C.2.在等差数列中，若，，则的公差为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗设等差数列的公差为，因，所以，即，所以.故选：A.3.已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，则，故渐近线方程为故选：D4.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗当射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转射线时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量也在变大，当射线从射线逆时针匀速旋转到轴正半轴时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量在变小，综合选项可得，选线A符合，故选：A.5.已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，且是的中点则，即，所以，即，所以.故选：C.6.“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（）A.63 B.64 C.127 D.128〖答案〗A〖解析〗设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等，即每次向外作的正方形面积和为，而，故向外作了5次正方形又，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，则，所以“勾股树”上所有正方形的个数为.故选：A.7.已知函数（为自然常数），记，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，因为是增函数，且，所以当时，单调递增，又，所以，即.故选：B.8.已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则的面积最大值为（）A B.12C. D.〖答案〗C〖解析〗将点代入得，所以，所以抛物线方程为，明显直线的斜率均存在，且不为零，设直线的斜率分别为，设过点并与已知圆相切的直线方程为，即，则，整理得，联立，消去得，，解得，所以，还是得，故，当直线与消去得，得，所以，则，得，即，同理，则直线的方程为，整理得，令，根据，可得则直线的方程为，即，联立，消去得，可得，点到直线的距离，所以，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，，所以.故选：C..二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知曲线，，则下列结论正确的有（）A.若，则曲线是圆B.若，则曲线是焦点在轴上的椭圆C.若，则曲线是焦点在轴上的双曲线D.曲线可能是抛物线〖答案〗AC〖解析〗对于A，由题意不妨设，则方程，化简可得，所以方程的图象为圆心是原点，半径为的圆，故A正确；对于B，整理方程，可得，由，则，则方程表示的图象是焦点在轴上的椭圆，故B错误；对于C，整理方程，可得，由，则，则方程表示的图象是焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，方程显然不存在一次项，所以不能表示抛物线，故D错误.故选：AC.10.已知，直线，则下列结论正确的有（）A.直线和可能相切B.直线过定点C.直线被截得的弦最长时，直线的方程为D.直线被截得的弦长最小值为〖答案〗BCD〖解析〗变形为，圆心为半径，对于B，变形为，故恒过定点，故B正确；对于A,由于直线经过的定点在圆内，所以直线和相交，A错误，对于D，当定点与圆心的连线垂直于时，此时圆心到直线的距离最大为，所以所截得的弦长最小为,D正确对于C，当在直线上时，，解得，直线方程为，故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，故C正确．故选：BCD．11.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.仅有两个极值点B.有两个极大值点C.是函数的极大值点D.是函数的极大值点〖答案〗BC〖解析〗根据的图象，可得当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在，处取得极大值，在处取得极小值，故A错误；B正确；C正确；D错误.故选：BC.12.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设等比数列的公比为，由，由于，所以．又，即，于是，由于正负不定，故无法确定与0的大小，A错误；，B正确；，C正确；，故，D错误．故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为______.〖答案〗〖解析〗直线的斜率为，故直线的方程为，即，当时，，当时，，所以直线与，轴围成的三角形面积为.故〖答案〗为：1.14.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗由已知，则，又，即切点为，所以曲线在处的切线方程为.故〖答案〗为：.15.已知正项数列是等差数列，若，，则的值为______.〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，，由，，，，，解得，.故〖答案〗为：4.16.已知函数，曲线关于直线对称的曲线为，若曲线是某函数的图象，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗根据已知条件曲线与曲线的图象关于直线对称，设直线是直线关于直线对称的直线，直线与直线的夹角为，直线的倾斜角为，直线与直线的夹角也为，由此可知直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，直线的方程为；若曲线是某函数的图象，则直线与曲线的图象有且只有一个交点，根据对称性可知直线与函数有且只有一个交点；，令，解得，当时，，在上，单调递减；当，，上，单调递增；，当时，，当时，，，所以函数图象如图所示：根据直线与函数有且只有一个交点，确定，此时实数的取值范围为：.故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且.（1）求动点的轨迹方程；（2）若圆与只有一个公共点，求的值.解：（1）设，则，，则，整理得动点的轨迹方程为；（2）圆与只有一个公共点则圆与圆内切或外切，又圆圆心在圆内，所以圆与圆内切，且圆的半径大，所以，解得.18.已知正项等比数列，其前项和，且满足，，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：对任意正整数，均成立，求数列的最大项的值.解：（1）因为，，成等差数列，所以，又是正项等比数列，设公比为，则，解得，或（舍），故所以数列的通项公式为；（2）当时，，当时，，又，所以，从而，又，故当且时，数列单调递增，即；当且时，数列单调递减，即；又，所以数列的最大项的值为.19.已知函数（为自然常数），为实数.（1）若在上存在极值，求的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.解：（1）若在上存在极值，则在上存在变号零点，易得，令，显然，则，解得或，可得，解得，所以的取值范围为.（2）由（1）可得：，若对任意，恒成立，且，可得，若，当，可得，可得在内恒成立，则在单调递增，可得，符合题意，综上所述：的取值范围为.20.已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的前项和.解：（1）①，②，①-②得，整理得，或，又，得或（舍去），若，则，得，舍去，，即，数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）可得，即，，，令，则，两式相减得，，.21.已知椭圆的离心率为分别为的左、右焦点，为上顶点，且的内切圆半径为．（1）求的方程；（2）是上位于直线异侧的两点，且，证明：直线经过定点．解：（1）因为的离心率为，所以，所以①，设的内切圆半径为，面积为，则，又，所以②，由①②解得，所以的方程为．（2）显然直线斜率存在，设其方程为，则点到直线的距离，同理，直线斜率存在，设其方程为，则点到直线的距离，因为，所以，即，整理得，联立直线与的方程，消去得，所以，，即，同理，所以直线的斜率，所以直线方程为，所以直线经过定点．22.已知函数，为实数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范